钟表中的角.doc

钟 表 中 的 角
李 海 剑
角是一种常见的几何图形，也是中学数学的重要内容。角在生活中处处可见，本文着重探究日常生活中钟表时针、分针、秒针的夹角问题。
一、 相关知识：
1、 本文中的夹角是指两条射线围成的范围是[0,180]的角。
2、 规定十二点整为零点线。
3、 由钟表的基本常识可知：时针每小时经过30度，每分钟经过=0.5度，每秒钟经过度；分针每分钟经过=6度，每秒钟经过= 度；秒针每秒钟经过=6度。
二、 探究方法：
利用差角原理，根据不同时刻时针、分针、秒针从零度线开始经过的角度的差去探究时针、分针、秒针的夹角。
三、探究：
（一）时针与分针夹角
1、整点时刻：
m点整时（），时针从零度线开始经过了30m度，分针在零度线，设时针与分针的夹角 （[0,180°]），由30 m - 0 可知：
故=arcos(cos30m).
2、整半点：
m点半时，时针经历了m+ =m+ 小时，因此从零度线开始经过了30(m+)度，从零度线经过了630=180度，由差角和夹角的取值范围可知，时针与分针的夹角为：当>180 °时，=；当>180 °时，=360°-，故：=arcos(cos)。
3、 整刻钟：
（1）m点15分时，时针经历了m +=m +小时，从零度线开始经过了30(m+)度，分针经过了156=90度，因此时针与分针的夹角=arcos(cos).
（2）同理可得：m点45分时，时针与分针的夹角=arcos(cos)。
4、任意时刻：
m点n分时，时针经历了（）小时，经过了30()度，分针经过了6n度，故：时针与分针的夹角为：=arcos(cos)
（二）推广：
m点n分p秒时，时针经历了()小时，经过了30()度；分针从零度线经历了()分钟，经过了6()度；秒针经过了6度。故：
时针与分针的夹角为=arccos( cos)；
时针与秒针的夹角为=arc cos(cos )；
分针与秒针的夹角为= arc cos(cos )。
总之，在相关钟表夹角的探究中，只要抓住问题的本质，用恰当的方法去解决，就会便于理解和掌握。