吉林省农安县新农乡中考数学二轮专题复习 专题十 综合型问题教案-人教版初中九年级全册数学教案.doc

专题10——综合型问题
题型特征：综合型试题是将所学的知识在一定的背景下进行优化组合，找到解决问题的方案，在解决问题的时候所用到的知识不再是单一的知识点，而是相关的知识，可能同时用到方程、函数，也有可能是三角形与多边形，也有可能是相关学科的知识，这类题目对学生综合能力的要求较高，同时这类题目有相对新颖的背静环境，数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．
解题思路：
解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法，要善于总结解数学综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习解综合题的关键．
具体策略：
类型之一 代数类型的综合题
代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法等．解代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．
类型之二 几何类型的综合题
几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．
类型之三 几何与代数相结合的综合题
几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.它不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力.
代数综合题
【题型特征】 综合题是指涉及的知识面较宽、解题过程较复杂、解题方法较灵活的有一定难度的题目.数学综合题大致可分为以代数知识为主体的综合题;以几何知识为主体的综合题;代数、几何知识相结合的综合题.
以代数知识为主体的综合题,简称代数综合题,是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题.“分析探求思路,优化实施解答,反思验证结论”是解代数综合题的基本过程,在这个过程中要善于运用转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和方程思想.
代数综合题涉及的知识类别常是“你中有我,我中有你”,因此不易将它们作十分明显的分类.为了复习方便,我们将其分为:方程不等式型、函数型.
【解题策略】代数综合题主要以方程或函数为基础进行综合.解题时一般用分析综合法解,认真读题找准突破口,仔细分析各个已知条件,进行转化,发挥条件整体作用进行解题.解题时,计算不能出差错,思维要宽,考虑问题要全面.
类型一　方程不等式型
∵x2-x-1=0,∴x2=x+1.则原式=1.
【提醒】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,由已知一元二次方程解出x的值,再把x的值代入进行计算即可.
举一反三
1.已知m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+n=1,则代数式2k2-8k+6的最小值为(　　).　
A. -2 B. 0 C. 2 D. 2.5
2.若-2xm-ny2与3x4y2m+n是同类项,则m-3n的立方根是　　　　. 
类型二　函数型
典例2　如图,矩形OABC的顶点A(2,0),C(0,2).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°,得矩形OEFG,线段GE,FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF,GH,GO和x轴于点M,P,N,D,连接MH.
(1)若抛物线l:y=ax2+bx+c经过G,O,E三点,则它的表达式为:　　　　　　　　; 
(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;
(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R,E两点之间(不含点R,E)运动,设△PQH的面积为S,当时,确定点Q的横坐标的取值范围.
(1)
【全解】 (1)如图(1),过点G作GI⊥CO于点I,过点E作EJ⊥CO于点J,
∵A(2,0),C(0,2),∴OE=OA=2,OG=OC=2.∵∠GOI=30°,∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°,
∴G(-,3),E(,1).
设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,∵经过G,O,E三点,

(2)(3)

【技法梳理】 (1)求表达式一般采用待定系数法,通过函数上的点满足方程求出.
(2)平行四边形对边平行且相等,恰得MN为OF,即为中位线,进而横坐标易得,D为x轴上的点,所以纵坐标为0.
(3)已知S范围求横坐标的范围,那么表示S是关键.由PH不为平行于x轴或y轴的线段,所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题,此法底为两点纵坐标得差,高为横坐标的差,进而可表示出S,但要注意,当Q在O点右边时,所求三角形为两三角形的差.得表达式再代入,求解不等式即可.另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R,E之间的限制.
举一反三
类型二
3.现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.
(1)求A,B两种商品每件各是多少元?
(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过350元,但不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?
4.如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求点A,B,D的坐标;
(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为点H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD,求证:∠AEO=∠ADC;
(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.

【小结】 本类题考查了一次函数、二次函数性质与图象,直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点.注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点,需要加强理解运用.

课后精练：
类型一　
1.若,则(x+y)2015等于(　　).　A. -1 B. 1 C. 32015 D. -32015
2.若a+b=2,ab=2,则的值为(　　).A. 6 B. 1 C. 3 D. 2
3.若-2amb4与5an+2可以合并成一项,则mn的值是(　　).　
A. 2 B. 0 C. -1 D. 1
4.先化简,再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.
5.先化简,再求值:,其中x满足x2-4x+3=0.
类型二　
6.如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数
在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是(　　).　
(第6题)

③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;
④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.
其中正确的结论是　　　　(把所有正确的结论的序号都填上). 
(第8题)
(第9题)
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.
(1)求点M,A,B坐标;
(2)联结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标.
(第10题)

几何综合题
【题型特征】 以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.
【解题策略】 解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.
【小结】 几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.
【提醒】 几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.
为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.　　　
类型一　以三角形为背景的综合题
典例1　如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,EF∥AC.
(1)求证:BE=AF;(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积.

【技法梳理】 (1)由DE∥AB,EF∥AC,可证得四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,又由BD是△ABC的角平分线,易得△BDE是等腰三角形,即可证得结论;
(2)首先过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,易求得DG与DE的长,继而求得答案.
【解析】 (1)∵DE∥AB,EF∥AC,∴四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE.∴AF=DE.
∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBE.∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.∴BE=AF.
(2)过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,

∵∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠EBD=30°.
∴DE=BE=2.∴四边形ADEF的面积为DE·DG=6.
举一反三
1.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值;
(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.

【小结】 此类题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
类型二　以四边形为背景的综合题
典例2　如图(1),正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于点N.
(1)①∠MPN=　　　　; ②求证:PM+PN=3a;
(2)如图(2),点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;
(3)如图(3),点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?并说明理由.

【全解】 (1)①∵四边形ABCDEF是正六边形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°.
∵PM∥AB,PN∥CD,∴∠BPM=60°,∠NPC=60°.∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC
=180°-60°-60°=60°.故答案为60°.
②如图(1),作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,

(2)如图(2),连接OE.∵四边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC,∴AM=BP=EN.
又∠MAO=∠NOE=60°,OA=OE,在△ONE和△OMA中,
∴△OMA≌△ONE(SAS).∴OM=ON.
(3)如图(3),连接OE.由(2)得,△OMA≌△ONE,∴∠MOA=∠EON.∵EF∥AO,AF∥OE,
∴四边形AOEF是平行四边形.∴∠AFE=∠AOE=120°.∴∠MON=120°.∴∠GON=60°.
∵∠GON=60°-∠EON,∠DON=60°-∠EON,∴∠GOE=∠DON.∵OD=OE,∠ODN=∠OEG,
在△GOE和∠DON中,
∴△GOE≌△NOD(ASA).∴ON=OG.又∠GON=60°,∴△ONG是等边三角形.
∴ON=NG.
∵OM=ON,∠MOG=60°,∴△MOG是等边三角形.∴MG=GO=MO.∴MO=ON=NG=MG.∴四边形MONG是菱形.
【技法梳理】 (1)①运用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解,②作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解;
(2)连接OE,由△OMA≌△ONE证明;
(3)连接OE,由△OMA≌△ONE,再证出△GOE≌△NOD,由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形.
举一反三
2.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
(1)如图(1),当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由.
(2)如图(2),当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)
(3)如图(3),当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(4)如图(4),当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.
(1)(2)(3)(4)(第2题)
【小结】 主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当的作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段.
类型三　以圆为背景的综合题
典例3　如图,已知l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,☉O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD,AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若☉O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,☉O的移动速度为3cm,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s),
(1)如图,连接OA,AC,则∠OAC的度数为　　　　°; 
(2)如图,两个图形移动一段时间后,☉O到达☉O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);
(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).

【全解】
(1)∵l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,∴∠OAD=45°.∵AB=4cm,AD=4cm,∴CD=4cm,AD=4cm.
∴∠DAC=60°.∴∠OAC的度数为∠OAD+∠DAC=105°.

(2)如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设☉O1与l1的切点为点E,连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1,在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=4,∴tan∠C1A1D1=.∴∠C1A1D1=60°.
∴OO1=3t=2+6.
(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,
如图,此时☉O移动到☉O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置,
设☉O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2,∴O2F⊥l1,O2G⊥A2G2.
由(2)得,∠C2A2D2=60°,∴∠GA2F=120°.∴∠O2A2F=60°.
在Rt△A2O2F中,O2F=2,

②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,
记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时为位置二,第二次相切时为位置三,
由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,

【提醒】 本题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识,利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键.
【技法梳理】 (1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°,∠DAC=60°,进而得出答案;
(2)首先得出,∠C1A1D1=60°,再利用A1E=AA1-OO1-2=t-2,求出t的值,进而得出OO1=3t得出答案即可;
(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,分别求出即可.
举一反三
3.木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:
方案一:直接锯一个半径最大的圆;
方案二:圆心O1,O2分别在CD,AB上,半径分别是O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;
方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;
方案四:锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.
(1)写出方案一中圆的半径.
(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?
(3)在方案四中,设CE=x(0<x<1),圆的半径为y.
①求y关于x的函数表达式;
②当x取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大.
方案一方案二方案三方案四
方案备用图方案备用图 (第3题)
【小结】 本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容,题目虽看似新颖不易找到思路,但仔细观察每一小问都是常规的基础考点,所以总体来说是一道质量很高的题目,值得认真练习.

类型一　

2.如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论:
①CE=CF;②线段EF的最小值为2;③当AD=2时,EF与半圆相切;④若点F恰好落在上,则AD=2;⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是16.
其中正确结论的序号是　　　　. 
类型二　
3.如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.
(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;

(第2题) (第3题)
4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.
(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标.
(2)当点C在线段OB上时,求证:四边形ADEC为平行四边形.
(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M,N分别在一,四象限,在运动过程中▱PCOD的面积为S.
①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;
②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.
(第4题) (第5题)
类型三　
5.如图,E是长方形ABCD的边AB上的点,EF⊥DE交BC于点F.
(1)求证:△ADE∽△BEF;
(2)设H是ED上一点,以EH为直径作☉O,DF与☉O相切于点G,若DH=OH=3,求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位,≈1.73,π≈3.14).
6.如图(1),已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.
(1)用x表示AD和CD;
(2)用x表示S,并求S的最大值;
(3)如图(2),当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E和点F分别是AB和CD的中点,求☉O的半径R的值.
(1)(2)(第6题)