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第四章 中值定理与导数应用

§4.1 中值定理
定理 4.1.1 (罗尔定理)如果满足：（1）在闭区间上[]上连续; （2）在开区间()内可导;（3）.则在开区间(上至少存在一点,使得

罗尔定理的几何意义是:
在连续高度相同的两点的一段曲线上,如果每一点都有不垂直于轴的切线,那么至少有一点上的切线是平行于轴的切线,那么至少有一点的切线是平行于轴的(图4-1).
关于罗尔定理,需注意如下几点:
(1) 罗尔定理的三个前提条件缺一不可,当缺少其中一个条件时,罗尔定理将不一定成立,这一点读者可以举例说明.
(2) 罗尔定理的结论只强调点的存在性,至于该点究竟在区间内的什么位置,有时并不需要研究,
(3) 罗尔定理结论中满足的点并不是唯一的.这一点通过图4-1可以清晰的看到.
例1 设物体作直线运动,其运动方程为,如果物体在两个不同时刻和时处于同一位置,即,并且物体的运动方程连续,可导,那么根据罗尔定理,在时刻 和之间,必定有某一时刻,在该时刻,物体的运动速度为0,即,上抛运动、弹簧的振动等问题中都有这个结果.
定理4.1.2 (拉格朗日中值定理) 如果满足:
(1) 在闭区间上连续;（2）在开区间内可导.
则在内至少存在一点,使得:
拉格朗日中值定理的几何意义:
如图4-2,显然,点的坐标是,点的坐标是,因此,连接、两点的直线斜率为: 。
拉格朗日中值定理告诉我们,在连接、两点的一条连续的切线上,如果过每一点,曲线都有不垂直于轴的切线,则曲线上至少有一点,过该点的切线平行于直线.
拉格朗日中值定理是比较重要的的一条定理,关于该定理,我们作如下说明:
(1) 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特例,在拉格朗日中值定理中,如果令,就得到了罗尔定理.
(2) 拉格朗日中值定理的结论是”存在一点”,着重强调点的存在性,通常并不要求找到点具体的值,也不要求满足””的点的唯一性.
拉格朗日中值定理有两个重要推论:
推论 1 如果对于任意的∈,都有,则在内恒等于常数.
证明 （略）
推论 2 若对任意的∈,都有,则必有为常数).
证明 （略）
例 2 如果一物体在直线上运动,他的路程函数为,那么它在到这一段时间内的平均速度为,而它在时刻的瞬时速度为,拉格朗日中值定理告诉我们,在时间段之间,必定有某个时刻,物体在该时刻的瞬时速度恰好等于整段时间上的平均速度,例如,如果一辆汽车在两小时内行驶了180km,那么车速表上的指针至少有一次扫过90的刻度.
例 3 求证:.

§4.2 洛必达法则
一、洛必达法则
定理4.2.1洛必达法则（Ⅰ） 如果和满足下列条件：
（1）在的某一空心领域内可导，且；
（2），（3）
则有
定理4.2.2洛必达法则(Ⅱ) 如果和满足下列条件:
（1）在的某一空心领域内可导，且；
（2），; （3）
则有
运用洛必达法则求解极限问题时,需注意以下几点:
(1) 当将法则中的均换为时,法则成立(见例3);
(2) 当仍然是未定式时,可继续运用洛必达法则(见例4);
(3) 当不存在时,不能得出也不存在的结论(见例5);
(4) 有的极限问题,虽属未定式,但用洛必达法则可能无法解出(见例6),或即便能解出也太过繁琐,这时我们通常选择其他方法.
二、,型未定式的计算
例1 . 例2 . 例3 .
例4 . 例5 例6
三、其他类型未定式的计算
除了和两种未定式外,我们经常遇到的未定式还有,,,,等这些
未定式的计算通常先化为,型未定式,然后再利用洛必达法则求解.下面我们通过例题来说明这几种未定式的处理方法.
例7 . 例8 . 例9 .
这是一个型未定式,对于,和型未定式,我们均可用如下方法求解.
由于,而为连续函数,故的极限取决于的极限,对于,,三种未定式,均为型未定式,即,,三种未定式均可通过变换,从而化为型未定式,进而求解。
例10 .

§4.3 导数在几何上的应用

一、 函数的单调性
定理 4.3.1 设函数在上连续,在内可导.
(1) 如果在内,则函数在上单调增加;
(2) 如果在内,则函数在上单调减小.
定理4.3.1中的换成其他区间也是成立的.
例1 考察函数的单调性.
例2 考察的单调性.
例3 考察函数的单调性.

二、 函数的极值与最值

临界点是很重要的一个概念,通过前文的叙述,我们看到,临界点经常是单调增区间和单调减区间的分界点,如果在临界点的左侧,函数单调增,而在临界点的右侧,函数单调减,则显然在临界点处的函数值比其左右两侧的函数值都要大,此时称该临界点为极大值点,该点对应的函数值称为极大值.如果在临界点左侧单调减而右侧单调增,则显然临界点处的函数值比左右两侧都要小,此时称临界点为极小值点,相应的函数值为极小值
例4 求函数的极值.
定理4.3.2 若在及其附近有二阶导数,且,则:
(1) 若,则为极小值点;
(2) 若,则为极大值点;
(3) 若,则无法判别是否为极值点,此时只能用定义判断.
例 5 利用定理4.3.2 讨论例4的极值点.
例5 求的极值点.
在对实际问题的讨论中,我们经常要考虑一个函数的最值,最值与极值的最大差别在于,最值是一个整体概念.由极值的定义可知,如果在某开区间(或无穷区间)上函数有唯一极值,那么该极值就是函数的最值.闭区间的情形有些特殊,由于极值不会出现在闭区间的端点,因而考虑闭区间的最值时,,除了闭区间内部的极值外,还要考虑闭区间的端点,将端点的函数值与极值进行比较后,求出函数在整个闭区间上的最值.

三、函数的凸凹性和拐点
一个函数的图像，除了需要了解它在各区间的单调性外，还需要了解它的凸凹性，
在曲线上任一点的切线均在曲线的下侧，这条曲线叫凹的。在曲线上任一点处的切线均在曲线的上侧，这样的曲线叫做凸的。
一个函数的几何曲线上可能有的区间是凹的，有的区间是凸的，连接曲线上凸凹区间的点，称为曲线的拐点。
定理4.3.3 若函数在区间上有，则曲线在区间上是凹的，如果有，则曲线在区间上是凸的，如果在某点有定义，或不存在，切在左右两侧符号不同，则为曲线的拐点。
例8求的拐点

§4.4经济学中的最值问题

一、 边际分析
一种产品的数量达到x时，所花费的成本C(x)成为成本函数，成为成本函数C(x)的变化率，即，称为边际成本函数，记为。
在估计产品销售量为x时，给产品特定的价格成为价格函数，可以期望应是x的减函数。当产品售出x单位，而价格为时，总收益（销售额）称为总收益（销售额）函数，而的导数边际收益（销售额）函数，记为。
称为利润函数，的导数称为边际利润函数，记为。
在经济活动中，有时我们追求最低成本，有时我们追求最大利润，但更多的时候，我们追求的是最大利润，结合上一节学习的求函数极值和最值的有关方法，我们知道，为了求最大利润，可以令 =-=0
从而得到 =
但我们知道=0只是取极值的必要条件，根据定理4.3.2，为保证在此条件下达到最大，我们希望还有
=-＜0
所以我们得到这样结论：当=且＜时，利润达到最大值。
当然，在问题明显存在最值，并且有唯一的驻点的情况下，也可以直接判断。
例1 设某产品的成本函数和价格函数分别为

使决定产品的生产量x，以使利润达到最大。
例2 某商店以每台350元的价格每周可销售出唱机200台，市场调查指出，当价格每降低10元时，一周的销售量可增加20台，求出价格函数和收益函数。商店若要达到最大收益，应把价格降低多少元？
解 设调价后每周能售出（台）唱机，那么每周增加的销售量为，按每周售20台，价格降低10元的比例，每多售一台，价格降低元，所以价格函数为

收益函数为 ……
二、税收问题
随着经济的发展，收税问题越来越接近人们的生活，与边际分析不同，收税问题不仅涉及商家的利益，还涉及到国家的利益。工厂想赚钱，国家要收税，因此，如何选择一个适的税率，使得不妨碍商家生产的积极性，是商家可以达到允许范围内的最大利润，又能使政府征税收益达到最大，就成为一个最大的问题，下面利用所学过的导数知识来探讨这个问题。
假设工厂以最大利润为目标而控制的产量x，政府对其产品的税率（单位产品的税收金额）为t，我们的任务是，确定一个适当的税率，使政府的收益达到最大。
现已知工厂纳税前的收益函数和成本函数分别为，由于每单位产品要纳税t，故纳税后的成本函数变为： 而收益函数不变，从而利润函数是：
令有：
这就是在征税的情况下获得最大利润的必要条件.
政府征税得到的收益是:
显然，收益与产量和税率两个量相关,税率过底，固然会减少政府收益,但税率过高,导致价格增长，需求量下降，同样会影响政府收益.因此税率的确定有着明显的现实意义,我们通过一个实例来计算一下这个问题.
例3 已知厂商的收益函数和成本函数分别表达为和,厂商追求最大利润,政府对产品征税，求:
(1) 征税收益的最大值及此时的税率;
(2) 厂商纳税前后的最大利润及价格.
解 (1) 由纳税后厂商获得最大利润的必要条件,知:
即 于是
根据实际问题判断，就是纳税后厂家获得最大利润的产出水平，因此，这时政府的征税收益函数为：
要使税收达到最大值，令，得到 t=14
根据实际问题可以判定此问题必有最大值，本题只有一个驻点，因此可以说，当t=14时，T的值最大，此时的产生水平为
最大征税收益为：
（2）容易算得纳税前，当产品水平x=3.5时，可获得最大利润L=47，此时价格P（3，5）=将x=1.75，t=14代入到纳税后的利润函数中，有：

此时产品的价格为：(1.75)=
可见，因产品纳税，产出水平由3.5下降到1.75，价格由19.5上升到24.75，最大利润由47下降到10.25。

三、 弹性分析
在函数中，让自变量从到，则函数也产生一个增量

在经济学中，有时更重视的增量的相对量，即相对增量，也重视y的增量的相对量，即相对增量，其中，当时，称
=
为函数从到的区间上的平均弹性，平均弹性是说当自变量增长百分之一时，函数平均增长百分数是多少。
如果函数在出可导，则
==
称为函数在点出的弹性。弹性实质是一种相对变化率，他可以理解为在点出当自变量增长百分之一时，函数增长的百分数。
在应用中弹性有时根据需求添加一个负号。
在商品市场有两个很重要的函数：需求函数与供给函数，其中p是商品的价格，分别表示按价格p市场上需要和能提供多少这种商品。虽然影响需求和供给的原因很多，但价格始终是一个决定的素，价格高了，需求会响应降低而供给会相应降低而供给会相应增加，价格低了，求会响应降低而供给会相应降低而供给会相应减少。而导数来表示这种变化就是：需求增加即，而供给减少即：。
我们把
称为需求的价格弹性，添加符号是因为价格的增长将引起需求量的衰减，也可以理解为降价为百分之一时，需求两增长的百分数，是p的函数， 因而也记作
因为收益函数,所以
=
如果,则递增,即价格上涨使收益增加;如果,则递减, 即价格上涨反而使收益减少.
因此,当时, ,此时降价将使需求量有较大的反弹可使收益增大,我们称需求量是弹性的.
当时,此时价格上涨对收益不起作用, 我们称需求是不变弹性的.
当,,此时收益不因价格上涨而减少,我们称需求量是无弹性的.
由此不难看出,需求的价格弹性是指导市场行为的重要指标.一家公司原来以单价销售产品,现在想调整价格增加收益.因为受到需求函数的制约,提价和降价都可能要冒减少收益的风险.正确的做法应该是,首先考虑该产品目前在市场上的需求所能承受价格变化的能力,既需求价格的价格弹性.
同样可以和定义和分析供给弹性.
例4 设每天从甲地到已地的飞机票的需求量是:其中(元)是票价.（1）求需求弹性;
(2) 问依什么样的票价，需求分别是无弹性的、不变弹性的和弹性的?
解 (1) 需求弹性

(2) 解得(元)
因此,当时,有,需求是无弹性的；当时,有,需求是不变弹性的;当时, 有,需求是弹性的.
显然，当票价底于元时,票价提高一个百分点,乘客的减少将不到一个百分点,因此航空公司的收益增大;当票价高于元时, 票价提高一个百分点,乘客的减少将超过一个百分点,因此航空公司的收益反而降低,合理的票价是元.
例5 设某商品的需求函数为,求（1）需求弹性函数;
（2）、5、6时的需求弹性.
解 （1）
(2)
分析:
,说明当时,需求变动的幅度与价格变动的幅度相同;
,说明时,需求变动的幅度小于价格变动的幅度,即此时价格上涨1%,需求只减少0.6%;
,说明当时,需求变动的幅度大于价格变动的幅度,即此时价格上涨1%,需求减少1.2%.
例6 某产品滞销,准备以降价扩大销路,如果该产品的需求弹性在1.5~2之间,试问当降价10%时,销售量能增加多少?
解 因,由题设条件,得
于是 又由 得
所以,销售量约能增加15%~20%.
例7 因出口需要,拟用提价的办法压缩某高档商品国内销售量的20%,该商品的需求弹性系数在1.5~2之间,问应提价多少?
解 由题设条件,得 ,即
又由 ,即所以,该商品应提价10%~13.3%.
§4.5导数在其他问题中的应用
本节我们将以例题的方式来考查导数在其他问题中的应用.
例1 某车间要靠一面墙壁盖一间长方形小屋,现在存砖只够砌长的墙壁,问应为成怎样的长方形才能使小屋的面积最大?
解 如图4-9,假如所砌围墙与原墙壁平行的方向长度为,则与原墙壁垂直的方向长度为,因而面积为:为了求面积的最大值,对求导，有因而得到驻点,由于本问题中最大面积(最值)必然存在，且开区间内有唯一驻点，故为最大值点,即,当与原墙壁平行的方向长为时,长方形小屋面积最大.
例2 某人正处在森林地带中距公路2km的A处,在公路右方8km处有一个车站(见图4-10).假定此人在森林地带中步行的速度为,为了尽快赶到车站,他选择的路径,问点应在公路右方多少?他最快能在多少时间内到达?
解 设点在公路右方处，则行走的时间为
求得的惟一驻点 由于最小值也可能出现在闭区间的端点上，我们检查一下端点的函数值:可见为最小值，所以，点在公路右方处,赶到车站的最少时间为
例3 一个灯泡悬吊在半径为的圆桌的正上方,桌上任一点受到的照度与光线的入射角的余弦值成正比(入射角是光线与桌面的垂线之间的夹角),而与光源的距离的平方成反比,欲使桌子的边缘得到最强的照度,问灯泡应挂在桌面上方多高?
解 在桌子边缘的照度其中为比例常数,为灯到桌子边缘的距离,为入射角，设为灯泡到桌面的垂直距离,则: 于是对求=0 得
容易验证此时取得最大值,因此,当灯挂在桌面上方处时,桌子边缘的照度最大.
例4 一条1m宽的通道与另一条2m宽的通道相交成直角(如图4-11),可以水平绕过拐角的梯子,其最大长度是多少?
解 将梯子考虑成一条线段,以图中所示为自变量，可的梯子长度的函数为: 显然，梯子能否通过取决于的最小值,请读者考虑这是为什么。
对求导,有:令得 于是求得 弧度,即时得到最小值，此时即梯子最长可以是4.16m,再长就无法水平通过拐角了.