误差理论与测量平差.doc

国土信息与测绘工程系 教案（首页）
班级： 课程：误差理论与测量平差 授课日期： 年 月 日 第 周
A.提出问题，导入新课
观测必然有误差，衡量观测数据精度的指标有：方差和协方差、平均误差、或然误差、相对误差、限差等概念外，还有权、协因素（权倒数）
本次课程的内容：权与定权的常用方法、协因素传播定律。
B.授课章节名称： §3.4 权与定权的常用方法，§3.5 协因素传播定律
教学要点：
1、权和协因素的基本概念
2、协因素和协因素阵传播定律
重点：
1、权、确定权的常用方法
2、单位权方差
难点：
1、权和方差的关系、单位权方差的作用
2、权阵、方差阵、协因素阵的关系
C.教学过程设计
权的概念
单位权方差和单位权中误差
确定权常用的方法
协因素和协因素阵的基本概念
协因素和协因素阵的传播定律
一些需要注意的问题
课堂习题
作业题布置

第六讲
同学们,我们上一节课学习了误差传播定律在大地测量具体问题中的一些应用，例如：菲列罗公式、算术中数的中误差、水准测量高差的中误差、三角高程测量的中误差、若干独立误差联合影响的中误差、限差的确定、交会点的精度等。
本次课将学习误差理论的另一个重要内容：权、协因素和协因素传播定律。
§3.4 权与定权的常用方法
一定的测量条件对应着一定的误差分布，而一定的误差分布对应着一个确定的方差。在实际测量中可通过各观测值方差之间的比例关系来表征精度，这就是权的概念。
一、权的定义
设有一系列观测值，它们的方差是，如果选定任意常数，则观测值的权定义为：
，
根据权的定义，可知各观测值权之间的比例关系是：

可见，对于一组观测值，其权之比等于相应方差的倒数之比，这表明方差越小其权约大，或者说精度越高其权越大。因此，权可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标。
就普遍情况而言，权定义中的方差，可以是同一个量的不同次观测的精度，也可以是不同量的观测值的精度。就是说，用权来比较各观测值之间的精度高低，不限于是对同一个量的观测值，同样也适用于对不同量的观测值。
注意：
1、选定了一个值，即有一组对应的权。或者说，有一组权，比有一个对应的值。
2、一组观测值的权，其大小与有关，但权之间的比例关系与无关。
3、在同一个问题中只能选定一个值。
二、单位权方差（中误差）
从权的定义可以看出，只是起到一个比例常数的作用；不同，各个观测值的权的数值不同，但观测值权之间的比例不变。一旦选定，它还有具体的含义。
【例子】设有三个观测值、和，其中误差是、和。求各个观测值的权。
解：根据权的定义有：
，
因为比例常数是任意选定的，故可以得出许多不同的权。例如我们选取、、、等，可得相应权如下
取时：，，
取时：，，
取时：，，
取时：，，
但不论如何选取，总是

当取时，观测值的权是1，实际上就是以观测值的精度作为标准，其它的观测值精度都是和它进行比较。当取时，观测值的权是1，实际上就是以观测值的精度作为标准，其它的观测值精度都是和它进行比较，等等。因此，通常称为单位权中误差，而称为单位权方差，把权等于1的观测值称为单位权观测值。
三、测量中确定权的基本方法
在实际测量工作中，往往是要根据事先给定的条件，先确定出各观测值的权，也就是先确定它们精度的相对数值指标，然后通过平差计算，一方面求出各观测值的最可靠值，另一方面求出它们精度的绝对数字指标。下面根据权的定义和测量中经常遇到的几种情况，导出其实用的定权公式。
（1）算术中数的权
设对某个物理量等精度地观测了次，即，若每一次观测的精度是，权为。求算术中数的权？
解：由于算术中数是

其方差是

根据权的定义有
，
所以算术中数的权是等精度观测值的权的倍。
（2）水准测量的权
水准测量中，设水准路线长为的高差的权是，中误差是；并设水准路线长为的高差的权是1，单位权中误差是。当单位距离水准测量所得高差的中误差均为时，有
，
这样可得路线长为的高差的权是

所以水准测量中高差的权与路线长成反比。
（3）三角高程测量的权
在三角高程测量中，设两三角点间的距离为的高差的权是，中误差是；并设距离为的高差的权是1，单位权中误差是。当垂直角的观测中误差为时，有
，
这样可得距离为时三角高程测量高差的权是

所以三角高程测量高差的权与距离的平方成反比。
§3.5协因素（权倒数）和协因素传播定律
权是一种比较观测值之间精度高低的指标，当然，也可以用权来比较各个观测值函数之间的精度。因此，同方差传播定律一样，也存在根据观测值的权来求观测值函数权的问题。
一、协因素与协因素阵
设有一系列观测值，它们的方差是，互协方差是，即观测值向量的协方差阵是

在此令
，；，
其中是选定的任意常数，则称是观测值的协因素（权倒数），是观测值和的互协因素（互相关权倒数），是观测值和的相关权。
这样观测值向量的协方差阵可表示为

则称

是观测值向量的协因素阵。可见协方差阵和协因素阵的关系是：

同时又称

是观测值向量的权阵。
【特别注意】观测值向量的权阵不是由观测值的权和相关权组成的矩阵，即：

但是当时，即观测值互不相关时，有

二、协因素传播定律
由协因素和协因素阵的定义可知，协因素阵和协方差阵的关系只是相差一个比例常数；而且观测向量协因素阵的对角线元素是相应的权倒数。因此，有了协因素和协因素阵的概念，根据方差传播定律，可以方便地得到由观测向量的协因素阵求其函数的协因素阵的计算公式，从而得到了函数的权。
设有观测值，已知它的协因素阵是又设有的函数和，即
，
下面求和的协因素阵和互协因素阵，和。
假定观测值的协方差阵是，按照方差传播定律有
，，
由于协因素阵和协方差阵的关系是，所以有
，，
这就是线性函数的协因素（或协因素阵）传播定律，也称之为权逆阵传播定律。在形式上与协方差阵传播定律相同，所以将协方差阵传播定律和协因素阵传播定律合称为广义传播定律。
如果和的各个分量是的非线性函数，可先求出和的全微分，即
，
则可得到和的协因素阵和互协因素阵，和。
【例1】设有独立观测值，假定各的权是。设有函数，求函数的权。
解：假定独立观测值的协方差阵是

所以观测值的协因素阵是

对函数进行全微分有

展开后写成纯量的形式有

这就是权倒数传播定律。
【例2】已知独立观测值中各的权是。求算术中数的权。
解：
根据权倒数传播定律有

所以

即算术中数的权是观测值权的倍。
【例3】已知独立观测值的权是。求加权平均值的权。
解：
根据权倒数传播定律有

所以

即加权平均值的权是所有观测值权的和。
【例4】已知观测值向量和的协因素阵是、和互协因素阵是，设有函数向量和。试求和的互协因素阵。
解：令观测向量为
，其协因素阵就是。而函数向量可写为：
，
根据协因素传播定律有

【例5】已知观测值向量的协因素阵是，又设

其中是对称可逆阵。求和的协因素阵和互协因素阵。
解：首先求出函数向量的协因素阵

再把和表示为的函数，即
，
这样有

习题4
〔1〕设三角形三个内角的中误差是、、，取为单位权中误差，试求各角的权。
〔2〕某角以每测回中误差为的精度测量了9次，其平均值的权为1。试求单位权中误差。
〔3〕三角形中有两个角利用同一经纬仪测量了2回，每一测回的中误差是；若第三个角利用另一台经纬仪测量，每测回的中误差是。问第三角应当测量几次才能与第一和第二角的权相等。
〔4〕水准路线长450米，其高差之权是4，若使得高差的权为1，路线长应当为多少？
〔5〕三角高程测量中，已知8公里高差的权是1，则4公里高差的权是多少？
〔6〕三角形中，A角测了3次，B角测了2次，若每一测回的权是1。求C角的权。
〔7〕已知、、的权分别是、、，求函数的权。
〔8〕设、的权均为，求函数的权
〔9〕已知，，，的权为，求、、的权和。
〔10〕已知观测向量的协方差阵是，若取单位权方差为。试求，，，，以及、。
〔11〕已知平面点坐标、的中误差是、。
1) 若已知平面点坐标、的协方差是，试写出向量的协方差阵和平面点坐标、的相关系数。
2) 若已知平面点坐标、的相关系数是，试写出的协方差阵。
3) 若取，试写出1)和2)中的的权阵和协因素阵。
〔12〕已知，，。试求、、、、、、以及和
〔13〕已知，。求、、、