集合概念和表示方法讲义.doc

集合
一．集合的概念：
集合没有确切定义，是一个基本概念。对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。符号表示为{}，表示的意思为全体。这些对象我们称之为元素。
集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}
注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.
（2）集合是一个“整体.
（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的
例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市； （2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数
（4）young 中的字母； （5）大于的数； （6）小于的正数。

【典例分析】：
1.下列各组对象中，不能组成集合的是（ ）
A 所有的正六边形 B《数学》必修1中的所有习题
C 所有的数学容易题 D 所有的有理数

2.由下列对象组成的集体属于集合的是（ ）
（1）不超过的正整数；
（2）高一数学课本中所有的难题；
（3） 中国的大城市
（4） 平方后等于自身的数；
（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.
A.（1）（2）（3） B.（3）（4）（5）
C.（1）（4）（5） D. （1）（2）（4）
二．元素的特性
a、确定性 （有一个确定的衡量标准）
b、互异性 （集合里的元素都不一样）
c、无序性 （没有顺序）
（确定性）
例题1：下列各组对象能否构成一个集合
（1） 著名的数学家
（2） 某校2006年在校的所有高个子同学
（3） 不超过10的非负数
（4） 方程在实数范围内的解
（5） 的近似值的全体
例题2：下列各对象不能够成集合的是（ ）
A 某校大于50岁的教师 B 某校30岁的教师
C 某校的年轻教师 D 某校的女教师
（互异性）
例题3：已知集合S中的元素是a,b,c,其中a,b,c为△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A. 锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
例题4：若-3{a-3,2a-1,a2+4},求实数a的值，并求此时的实数集。
（集合三要素）
例题5:a、b∈R,集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b-a=
三．几种集合的命名
自然数集：N；
正整数集：N*或N+；
整 数 集：Z；
有理数集：Q；
实 数 集：R。
（应用，三角函数，数列）
四．集合的分类
有限集：含有有限个元素的集合；
无限集：含有无限个元素的集合；
空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示；
（区分∅、{ ∅}、{ 0 }）解题的陷阱，一定要记得空集

例1.下面集合是有限集还是无限集？
（1）不超过10的非负偶数的集合；
（2）大于10的所有自然数组成的集合；
（3）方程x2-4=0的解集
（4）在平面上到两定点A、B距离相等的点的集合
五．元素与集合之间的关系与运算
集合和元素之间的关系是属于（∈）和不属于（∉）
【典例分析】：
1 用符号∈或填空：
（1）0__N*； __Z； (-1)0__N*；
（2）______； __； +__{x|x≤2+}；
（3）3____； 5____
（4）(-1,1) _____{y|y=x2}； （-1,1）____{（x，y）|y=x2}

2 非空集合M中的元素只能是1，2，3，4，5中的某些数，若aM,则（6-a）M,试求符合条件的M的个数。

3 设A={a},则下列各式中正确的是（ ）
A.0A B.aA C.aA D.a=A

4 方程组的解集是（ ）
A.(5,4) B.{5,-4} C.{(-5,4)} D.{(5,-4)}

六．集合的表示方法
1、列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法；
注 意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。
说明：1、书写时，元素与元素之间用逗号分开；
2、一般不必考虑元素之间的顺序；
3、集合中的元素可以为数，点，代数式、文字等；
4、列举法可表示有限元素集，也可以表示无限元素集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。
5、对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为
例1、用列举法表示下列集合：：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；
（3）我国现有的直辖市。.
例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么
A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：
A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.
（2）设方程x2 = x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}.
变式练习
用列举法表示下列集合：
⑴x2－4的一次因式组成的集合. ⑵{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.
⑶方程x2＋6x＋9＝0的解集. ⑷{20以内的质数}.
⑸{（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}. ⑹{大于0小于3的整数}.
⑺{x∈R｜x2＋5x－14＝0}.
⑻{（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.
⑼{（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.
2、描述法：有以下两种描述方式
1）代号描述：例 方程x²-3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为{x|x²-3x+2=0}。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符号的条件。
（代号不一样，所表示含义也不一样）】
2） 文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。例 {大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就是说要判断元素到底是什么。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：其中x代表元素，A是集合，P是集合A的一个特征性质。.
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；

说明:① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如与不同.
② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如，.
③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.
例2用描述法表示下列集合：
⑴方程2x＋y＝5的解集. ⑵小于10的所有非负整数的集合.
⑶方程ax＋by＝0（ab≠0）的解. ⑷大于3的全体偶数组成的集合.
⑸平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
⑹方程组的解的集合. ⑺{1，3，5，7，…}.

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，
一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

3、区间表示法：数轴上得一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思。
例 （2,3），[2,3],(2,3]，[2,3）……
4、图像表示法：数轴、坐标系、常与区间法表示同时使用
维恩图法：即3,9,27
A
画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：
表示{3，9，27}

表示任意一个集合A

课堂训练
一、选择题
1.下列元素与集合的关系中正确的是( )
A. B.2Î{xÎR|x≥} C.|-3|ÏN* D.-3.2ÏQ
2.给出下列四个命题：
(1)很小的实数可以构成集合；
(2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合；
(3)1,,,,0.5这些数字组成的集合有5个元素；
(4)集合{(x,y)|xy≤0,x,yÎR}是指第二象限或第四象限内的点的集合.
以上命题中,正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.下列集合中表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={(2,3)}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={1,2},N={2,1}
4.已知xÎN,则方程的解集为( )
A.{x|x=-2} B. {x|x=1或x=-2} C. {x|x=1} D.Æ
5.已知集合M={mÎN|8-mÎN},则集合M中元素个数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
二、填空题
6.用符号“Δ或“Ï”填空：
0_______N,______N,______N.
7.用列举法表示A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,xÎZ}为_______________.
8.用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0的解集”为_____________.
9.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合？________
10.已知集合P={x|2<x<a,xÎN},已知集合P中恰有3个元素,则整数a=_________.
（附加题）下列对象能否组成集合:
(1)数组1、3、5、7;
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;
(3)满足3x-2>x+3的全体实数;
(4)所有直角三角形;
(5)美国NBA的著名篮球明星;
(6)所有绝对值等于6的数;
(7)所有绝对值小于3的整数;
(8)中国男子足球队中技术很差的队员;
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
三、解答题
11.已知集合A={0,1,2},集合B={x|x=ab,aÎA,bÎA}.
(1)用列举法写出集合B；
(2)判断集合B的元素和集合A的关系.

12.已知集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合,求实数a、b的值.

13.(探究题)下面三个集合：①,②,③
(1)它们是不是相同的集合？
(2)试用文字语言叙述各集合的含义