第五章 角动量 习题.doc

第五章 角动量 习题
5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度 ，远地点 ，地球半径
，求卫星在近地点和远地点的速度之比.
解 :
卫星所受的引力对 O点力矩为零，卫星对O点角动量守恒。

5.1.2 一个质量为m的质点沿着一条由 定义的空间曲线运动，其中a,b及 皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩.
解 :

，通过原点 。
 5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场
中运动，其中 t是时间.设该质点在t=0时位于原点，且速度为零，求t=2时该质点所受的对原点的力矩.
解:
已知， m=1kg
有牛顿第二定律

同理由

5.1.4 地球质量为 ，地球与太阳相距 ，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动.求地球对医圆轨道中心的角动量.
解：

将 代入上式得

5.1.5 根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量.
解：

质点对原点的角动量：

5.1.6 根据5.1.3题所给的条件，求该质点在t=2时对原点的角动量.
解：
由 5.1.3，t=2s时

5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周做匀速圆周运动，这是从孔下拉绳的力为 .如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周做匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？
解：
(1)小球角动量守恒： ①
由牛顿第二定律：最初 ②
又②解出 代入①得
（ 2）拉力所作的功
5.1.8 一个质量为m的质点在O-xy平面内运动，其位置矢量为
其中 a,b和 是正常数，试以运动学及动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒.
解：
（ 1）以运动学观点证明

质点对坐标原点的角动量为：

=常矢量（守恒）
（ 2）以动力学观点证明

由牛顿第二定律：
质点对坐标原点的力矩为：

由 常矢量（守恒）
5.1.9 质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面上与固定点A相连.弹性绳的劲度系数为8N/m，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度 如图所示.当小球的速度变为 时，它与A点的距离最大，且等于800mm，求此时的速度 及初速度 .
解：
由角动量守恒：

（1）
再由机械能守恒：
（2）
联立求解：

5.1.10 一条不可伸长的绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端系一个质量为0.5g的小球，小球沿水平圆周运动.最初 ，后来继续向下拉绳使小球以 沿水平圆周运动.求小球最初的速度 、最后的速度 、以及绳对小球做的总功.
解： 初时， 指向圆心。

由牛顿第二定律：

最后，
同样可求得： （1） 小球对轴角动量守恒：

即 （2）
（ 1） （2）
由动能定理 :

5.2.2 理想滑轮悬挂两质量为m的砝码盘.用轻线拴住轻弹簧使它处于压缩状态，将此弹簧竖直放置在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m的砝码.另一砝码盘上也放质量为m的砝码，使两盘静止.燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离.求砝码升起的高度.已知弹簧劲度系数为k被压缩的长度为 .
解：
以滑轮、绳、两个砝码盘、两个物体、弹簧为物体系。受外力有：两个砝码盘和两个物体受到的重力
，滑轮轴的压力 。
建立坐标 ，如图，以轻线燃短到砝码与弹簧脱离为过程始末。
因物体系所受对 O点合外力矩为零。物体系对O点角动量守恒：
设砝码弹出时砝码盘速率为 ，砝码速率为 ，滑轮半径为 ，则有：

即
在过程中砝码盘位移为 ，砝码位移为
则
而
故
将地球包括在物体系内：此时受外力 ，不做功。重力和弹性力为内保守力，做功。物体系机械能守恒。以弹簧自由伸长状态为弹性势能零点。则：

即
在研究砝码相对于地的上抛过程
由运动学公式： 可以求得

当
5.2.3 两个滑冰于动员的质量各为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m.当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转.（1）在抓住绳索一端之前，各自对绳中心的角动量是多少？抓住之后是多少？（2）他们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？（3）绳长为5m时，绳内张力多大？（4）二人在收拢绳索时，各做了多少功？（5）总动能如何变化？
[解 答]
以两运动员和绳为物体系；受外力包括：重力
，冰面支持力 。
。因 ，由质心定义可知，物体系质心位于绳的中点。由质心运动定理，质心速度
（ 1）抓住绳之前
对O点角动量，
抓住绳之后
对O点角动量，
因 受到的对O点的合力矩为零，故 对O点的角动量守恒。

且可知
（ 2）收拢绳索的过程，由 对O点的角动量守恒。

（ 3）绳长5m时，由牛顿第二定律：

（ 4）由动能定理：