《理论力学》第十章 质心运动定理 动量定理 习题.doc

第十章 质心运动定理 动量定理 习题解

[习题10-1] 船A、B的重量分别为及，两船原处于静止间距。设船B上有一人，重，用力拉动船A，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B移动的距离。
解：以船A、B及人组成的物体系统为质点
系。因为质点系在水平方向不受力。即：
，
设B船向左移动了S米，
则A船向右移动了6－S米。
由质点系的动量定理得：

[习题10-2] 电动机重，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长，重，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重的物体，设机轴的角速度为（为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。

解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。

因为质点系在水平方向上不受力，所以

由动量定理得：

这就是电动机的水平运动方程。
[习题10-3] 浮动起重机起吊重的重物，起重机重，杆长，开始时杆与铅垂位置成角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆OA转到与铅垂位置成角时，求起重机的位移。
解：以重物和起重机构成的物体系统为质系。
因为质点系在水平方向不受力，所以

。即OA运动前后，质点系的质心保持不变。也就是质心守恒。
当OA杆转到与铅垂位置成角时，质点系质心的横坐标为：

当OA杆转到与铅垂位置成角时，
质点系质心的横坐标为：

因为质心守恒，所以
，即：

故，当起重杆OA转到与铅垂位置成角时，起重机向左移动了0.2662米。
[习题10-4] 匀质圆盘绕偏心轴O以匀角速度转动。重P的夹板借右端弹簧推压面顶在圆盘上，当圆盘转动时，夹板作住复运动。设圆盘重W，半径为，偏心距为，求任一瞬时作用于基础和别螺栓的动反力。
解：设机座的重量为G，则当偏心轮转动时，
质点系的受力如图所示。当停偏心轮静止时，
水平约束力不存在，此时的反力为静反力：
；当偏心轮转动时，存在
动反力：和。质点系的受力与运动分
析如图所示。
当偏心轮转动时，偏心轮的动量为：

当偏心轮转动时，夹板的动量为：

因为夹板作平动，所以其质心的速度
等于夹板与偏心轮的切点的速度。切
点的运动方程为：

，即：
，故：

当偏心轮转动时，机座的动量为：

质点系的动量为：

式中，，故：
，即：

，即

[习题10-5] 大直角锲块A重P，水平边长为，放置在光滑水平面上；小锲块B重Q，水平边长为（），如图放置在A上，当小锲块B完全下滑至图中虚线位置时，求大锲块的位移。假设初始时系统静止。
解：建立如图所示的坐标系。由于质点系在
水平方向不受力，即，所以：

，故：

，即质心守恒：

，故：

（A锲块各左移动的位移）
[习题10-6] 匀质杆AB长，其B端搁置于光滑水平面上，并与水平成角，当杆倒下时，求杆端A的轨迹方程。
解：由于AB杆在水平方向上不受力，所以其质心的坐标守恒。
即：
质心C沿直线向下运动。
设任意时刻A的坐标为，则：

消去得：
，为一椭圆。

[习题10-7] 图示系统中，，，。设当A在斜面上作无初速地向下滚过时，斜面在光滑的水平面上移过。求B的质量。

解：以A、B、C构成的质点系为研究对象，
其受力如图所示。因为水平方向不受力，
所以，即：

，故：

，即质心守恒：

，由得：

[习题10-8] 质量为，半径为的匀质半圆板，受力偶作用在铅垂面内绕O轴转动，转动的角速度为，角速度为。C点为半圆板的质心，当OC与水平线成任意角时，求此瞬时轴O约束力（）。
解： 在法向应用牛顿第二定理得：

…………(1)
质点系的动量：

在切向应用动量定理得：

…………(2)
得：

上式代入（2）得：

[习题10-9] 重2N的物体以5m/s的速度向右运动，受到按图示随时间变化的方向向左的力F作用。试求受此力作和后，物体速度变为多大。
解：（向右）
（向左）
根据动量定理得：

上式在水平方向（轴）的投影为：

，负号表示此时重物的速度方向左。
[习题10-10] 在物块A上作用一常力F，使其沿水平面移动，已知物块的质量为，F与水平面的夹角。经过5秒钟，物块的速度从增至。已知摩擦因数，试求F的大小。
解：物块A的受力如图所示。
根据动量定理得：

上式在轴上的投影为：

[习题10-11] 计算下列刚体在图示已知条件下的动量。
解：图所示刚体的动量为：
，方向与相同。
图所示刚体的动量为：

方向与垂直于OC，斜向下。
图所示刚体的动量为：

图所示刚体的动量为：

[习题10-12] 计算下列系统在图示已知条件下的动量。
解：

解：
滑块A作复合运动。
动点：A
动系：固连于T字杆上的坐标系。
静系：固连于地面上的坐标系。
绝对速度：A相对于地面的速度。
相对速度：A相对于T形杆的速度。
牵连速度：T形杆中与A相重点
（牵连点）相对于地面的速度。

解：

质心
运动方程
速度
动量
A

B

C

D

[习题10-13] 质量为的子弹以速度射入同向运动的质量为、速度为的物块内，不计地面与物体之间的摩擦。求：（a）若子弹留在物块内，则物块与子弹的共同速度；（b）若子弹穿透物块并以继续前进，则物块的速度。
解：（a）若子弹留在物块内，求物块与子弹的共同速度。
由动量定理得：

（b）若子弹穿透物块并以继续前进，求物块的速度。
由动量定理得：

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