行列式习题课PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第一章,行列式主要知识点网络图,概念,行列式,一般项是不同行不同列元素乘积的代数和,.,D,=,D,T.,互换行列式的两行,(,列,),，行列式变号,.,某行有公因子可以提到行列式的外面,.,若行列式中某一行,(,列,),的所有元素均为两元素之和,.,则该行,列式可拆成两个行列式,.,某行,(,列,),的,k,倍加到另一行,(,列,),，行列式不变,.,行列式知识点,性质,第,1,章,2,展开,计算,行展开,列展开,定义法,递推法,加边法,数学归纳法,公式法,拆项法,乘积法,析因子法,齐次线性方程组有非零解的充要条件,克拉默法则,应用,第,1,章,3,二、主要定理,1,、行列式的展开定理,.,=,a,i,1,A,i,1,+,a,i,2,A,i,2,+,+,a,in,A,in,(,i=,1,2,n,).,=,a,1,j,A,1,j,+a,2,j,A,2,j,+,+,a,nj,A,nj,(,j=,1,2,n,).,2,、行列式展开定理的推论,.,a,i,1,A,j,1,+,a,i,2,A,j,2,+,+,a,in,A,jn,=0 (,i,j,).,a,1,j,A,1,k,+a,2,j,A,2,k,+,+,a,nj,A,nk,=0 (,j,k,).,第,1,章,4,3,、非齐次线性方程组克拉默法则,.,其中,D,j,(,j=,1,2,n,),是把系数行列式,D,中的第,j,列的元素用,方程组的常数项替换后得到的,n,阶行列式,.,第,1,章,5,4,、齐次线性方程组的克拉默法则,.,若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为,零,.,第,1,章,6,三、重要公式,第,1,章,7,2,、上、下三角行列式,.,第,1,章,8,9,四、典型例题,例,1,设,f,(,x,)=,则含,x,4,的项的系数为,_,；,则含,x,3,的项的系数为,_,；,常数项为,_,解 因为,f,(,x,),是,4,次多项式,含,x,4,的项只有一项,a,11,a,22,a,33,a,44,=2,x,4,，含,x,3,的项有两项,a,14,a,22,a,33,a,41,=,6,x,3,和,a,11,a,22,a,34,a,43,=,4,x,3,，常数项就是不含,x,的项，即,f,(0),12,2,-10,12,10,例,2,设四阶行列式,则其第,1,列元素的代数余子式之和,A,11,+A,21,+A,31,+A,41,=,_.,解因为当,p,0,时，有,A,11,=0,A,21,=0,A,31,=0,A,41,=0,.,因而,A,11,+A,21,+A,31,+A,41,=0,p,0,时，,由与,pA,11,+pA,21,+pA,31,+pA,4,1,=,0,即,p,（,A,11,+A,21,+A,31,+A,41,）,=,0,，,得,A,11,+A,21,+A,31,+A,41,=0,0,11,例,3,计算,4,阶行列式（加边法）,解显然当,x=,0,或,y=,0,时，,D,0,，当,x,0,和,y,0,时，利,用展开定理，,12,这种计算方法叫做加边法,此方法适用于主对角线两侧元素都相同的行列式,.,在第二步计算的行列式是个字行列式,其计算方法如上,13,例,4,不计算行列式值，利用性质证明,证明,：令,由于,f,(,x,),是,x,的三次多项式，且,14,因此有,例,5,设,a,bc,0,，试证,证：,由于,15,又因,a,bc,0,，所以,D,0.,16,例,6,设,、,、,是方程,x,3,+,px,+,q,=0,的根，计算,解,由于,17,又因为,是方程,x,3,+,px,+,q,=0,的根，计算,所以，,(,x,-,),(,x,)(,x,)=0,由根与系数的关系可知，,+,+,0,，,故,D,=0.,例,7,计算,解：,将第,2,3,n,+1,列都加到第一列,得,18,将第,1,列的,(,-,1,),倍加到第,2,列,将第,1,列的,(,-,2,),倍加到,将第,3,列,将第,1,列的,(,-,n,),倍加到最后一列,得,19,注,:,本题利用行列式的性质,采用,“,化零,”,的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式,.,化零时一般尽量选含有的行,(,列,),及含零较多的行,(,列,);,若没有,则可适当选取便于化零的数,或利用行列式性质将某行,(,列,),中的某数化为,1;,若所给行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形行列式之目的,20,例,8,计算,n,阶行列式,解,（析因子法）因为当,x,1,时，,D,n,的前两行相同，,从而,D,n,0,，所以,x,1,为,D,n,的因子,同理,x,2,，,x,3,，,，,x,（,n,1,）均为,D,n,的因子，,且各公因子互素,(,无公因子,),所以,D,n,能被,(,x,1)(,x,2)(,x,3)(,x,n,+1),整除，又注意到,D,n,的展开式中最高次项,x,n,-1,的系数为,1,，,从而,D,n,(,x,1)(,x,2)(,x,3)(,x,n,+1).,21,例,9,证明,证：,对阶数,n,用数学归纳法,因为,D,1,=,cos,，,所以,n=,1,2,，结论成立,.,22,假设对阶数小于,n,的行列式结论成立,下面对于阶数,等,于,n,的行列式也成立,.,将,D,n,按最后一行展开,23,得,D,n,=2,cos,a D,n,-,1,-,D,n,-,2,所以对一切自然数,n,结论成立,.,24,例,10,求解下列行列式：,解,:,把行列式按第,1,列展开,25,降阶后的行列式,第,1,个行列式与原行列式的结构相同,此行列式用,n,-1,表示,而后一个行列式是三角形行列式,则上式可表示为,把,D,n-1,按同样的方法展开得,把 代入 中得,依次下去，得,26,将 代入,中得,而,例,11,计算,n,阶行列式,27,解,:,将最后一列写成两数之和的形式,再由行列式的,性质可得,28,由观察可知,上式右端第一个行列式按最后一列,展开得,D,n-1,而第二个行列式从最后一行开始,每后一,行乘以,(-1),加到相邻的前一行上,就变为下三角形,其,值为,1,故得,29,例,12,计算行列式,解,:,(,公式法,),作辅助函数,将上式按最后一列展开,则,f,(,y,),为,y,的一个,4,次多项式，,且一次项,y,的系数为,D,于是可以通过考察多项式,f,(,y,),来,求,D.,30,从上式易知，多项式,f,(,y,),的一次项系数为,31,例,13,计算,解,:,依第,n,列把,拆成两个行列式之和,32,从而,由此递推，,33,如此继续下去，可得,34,当,x,1,x,2,x,n,0,时,还可以写成,评注,:,本题是利用行列式的性质把所给的,n,阶行列式,D,n,用同样形式的,n,-1,阶行列式表示出来,建立了,D,n,与,n,-1,阶行,列式,D,n-1,之间的递推关系,.,有时,还可以把给定的,n,阶行列式,D,n,用同样形式的比,n,-1,阶更低阶的行列式表示,建立比,n,-1,阶,行,列式,更低阶的行列式之间的递推关系,.,35,例,14,设线性方程组,其中,a,i,a,j,（,i,j,i,j=,1,2,n,),，,求线性方程组的解,解,由于系数行列式,D,D,1,D,2,D,n,分别为,36,显然，,D,=,D,1,0,而,D,2,，,D,3,，,，,D,n,有两列相同，均为零,故方程组的解为,