高考数学专题复习讲练测——专题六 复数 专题复习讲练 1 复数的性质.doc

§1　复数的性质

　　一、复习要点
 　1．复数的有关概念和性质：
　　（1）两个复数相等的充要条件；
　　（2）复数是实数或纯虚数的充要条件；
　　（3）互为共轭的两个复数的性质；
　　（4）复数的辐角和模的性质．
　　2．复数运算中的几个常用结论：
　　（1）（1±ｉ）２＝±2ｉ，（1＋ｉ）／（1－ｉ）＝ｉ，（1－ｉ）／（1＋ｉ）＝－ｉ；
　　（2）ｉｎ＋ｉｎ＋１＋ｉｎ＋２＋ｉｎ＋3＝0（ｎ∈Ｚ）；
　　（3）设ω＝－（1／2）±（／2）ｉ，则ω3ｎ＝1；（1／ω）＝；ωｎ＋ωｎ＋１＋ωｎ＋２＝0（ｎ∈Ｚ）．
　　3．复习中应把握好的几个要点：
　　（1）复数的性质较多，在复习中，应尽量启发学生自己思考．要引导学生适时、恰当、准确地运用性质解题，培养自觉应用性质解题的习惯，以达到解题突破口的合理选择．
　　（2）应注意解题后的反思．反思解题时用到复数的何种性质，采用的是什么数学思想方法，寻求不同的解法，并且比较各种解法的优劣，进一步优化解题过程，提高学生的解题速度和解题能力．
　　二、例题讲解
　　例1（1）已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ｂ＜0，ｚ１＝ａ＋ｂｉ，ｚ２＝ｂ－ａｉ，ａｒｇｚ１＝θ，则ａｒｇｚ２等于（　　）．
　　Ａ．π－θ
Ｂ．（π／2）＋θ
　　Ｃ．θ－（π／2）
Ｄ．（3π／2）－θ
　　（2）复数（2＋2ｉ）４／（1－ｉ）５等于（　　）．
　　Ａ．1＋ｉ
　Ｂ．－1＋ｉ
　　Ｃ．1－ｉ
Ｄ．－1－ｉ
　　讲解：（1）显然ｚ１与ｚ２有联系，欲把ａｒｇｚ２用ａｒｇｚ１表示，当找出ｚ２与ｚ１的运算联系．仔细分析，得ｚ２＝－ｉｚ１．∴ａｒｇｚ２＝θ－（π／2），选Ｃ．
　　（2）本题结合了复数的乘方运算和除法运算，由于2＋2ｉ与1－ｉ的辐角均为特殊角，一个自然的思路是：先利用复数的三角式求得（2＋2ｉ）４＝－2６，（1－ｉ）５＝2４（1＋ｉ），∴　原式＝－[4／（1＋ｉ）]＝－1＋ｉ，选Ｂ．
　　若认真思考一下选项，发现4个选项所给复数的对应点分别位于4个不同象限，则想到：只需算辐角，便能把正确选项分离出来．
　　∵　2＋2ｉ的一个辐角是θ１＝π／4，1－ｉ的一个辐角是θ２＝－（π／3），∴所求复数的一个辐角为θ＝4θ１－5θ２＝π＋（5π／3）＝2π＋（2π／3），位于第二象限．故排除Ａ、Ｃ、Ｄ，选Ｂ．
　　例2设复数ｚ＝－＋ｉ，记ｕ＝（4／ｚ）３．
（1）求复数ｕ的三角形式；
　（2）如果（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，求实数ａ、ｂ的值．
　　讲解：这道题的两问是有联系的．第（1）问最容易想到将ｚ＝－＋ｉ代入ｕ＝（4／ｚ）３后，先得到ｕ的代数式，再化成三角形式，但是要将（4／ｚ）３化成标准的代数形式是相当麻烦的，也易出错．事实上，要求ｕ的三角形式，只要求得｜ｕ｜及ａｒｇｕ即可．注意到复数有关性质就不难得解．第（2）问是先将ｕ和ｚ代入化简后，得到带有ａ、ｂ的复数代数恒等式，由复数相等的充要条件得关于ａ、ｂ的方程组，再解方程组即可．
　　（1）∵　｜ｚ｜＝＝2，
　　∴　｜ｕ｜＝｜（4／ｚ）３｜＝（4／｜ｚ｜）３＝2．
令ａｒｇｚ＝θ，则
ｃｏｓθ＝－（／2）＝－（／2），ｓｉｎθ＝1／2，
∴　θ＝（5π／6），从而ａｒｇｕ＝－（5π／6）×3＋4π＝3π／2．
　　∴　ｕ的三角形式为
　ｕ＝2（ｃｏｓ（3π／2）＋ｉｓｉｎ（3π／2））．
（2）由（1）知，ｕ＝－2ｉ，代入（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，得
　　－（／8）ａ－（（／8）ａ－（／4）ｂ）ｉ＝－－3ｉ．
　　由复数相等的充要条件，得方程组

（／8）ａ＝，
（／8）ａ－（／4）ｂ＝3．
　　解得　ａ＝8，ｂ＝－8．
　　例3　已知复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，且｜ｚ１－ｚ２｜＝．
　　（1）求｜ｚ１＋ｚ２｜的值；
　　（2）求证（ｚ１／ｚ２）２＜0；
　　（3）求证对于任意实数a，恒有｜ｚ１－ａｚ２｜＝｜ｚ１＋ａｚ２｜．
　　讲解：（1）题除用代数式和三角式求解外，若注意到复数的性质ｚ·＝｜ｚ｜２，则由｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，得ｚ１１＝ｚ２２＝1，这时只要将｜ｚ１－ｚ２｜与｜ｚ１＋ｚ２｜分别改写成与即可．
　　由ｚ１１＝ｚ２２＝1及（ｚ１－ｚ２）＝2，得
　　ｚ１２＋ｚ２１＝0．
　　∴　（ｚ１＋ｚ２）（ｚ１＋２）＝｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２＋ｚ１２＋ｚ２１＝2，
　　故　｜ｚ１＋ｚ２｜＝．
　　此题也可利用复数加减法的几何意义求解．（留给读者自己去完成）
　　（2）若（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则（ｚ１／ｚ２）２＝ａ２－ｂ２＋2ａｂｉ，要证（ｚ１／ｚ２）２＜0，即证ａ２－ｂ２+2ａｂｉ∈Ｒ－，∴　ａｂ＝0，但ｚ１≠0，∴　（ｚ１／ｚ２）≠0，∴　只能是ａ＝0．∴　要证原命题，只要证（ｚ１／ｚ２）是纯虚数即可．因此，首先要在已知等式｜ｚ１－ｚ２｜＝中变出（ｚ１／ｚ２）．
　　∵　｜ｚ１－ｚ２｜＝，｜ｚ２｜＝1，
　∴　（｜ｚ１－ｚ２｜）／｜ｚ２｜＝，即｜（ｚ１／ｚ２）－1｜＝．
　　∴　（（ｚ１／ｚ２）－1）（＝2，即

　（（ｚ１／ｚ２）－1）（（１／２）－1）＝2，
　也即　（ｚ１１／ｚ２２）－（ｚ１／ｚ２）－（１／２）＝1．
　　∴　（ｚ１／ｚ２）＋＝0．
　　设（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），上式化为
　　（ａ＋ｂｉ）＋（ａ－ｂｉ）＝0，即ａ＝0．
　　又∵　ｚ１≠0，∴　ａ、ｂ不能全为零，∴　ｂ≠0．
　　则（ｚ１／ｚ２）＝ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠0）．
　　∴　（ｚ１／ｚ２）２＝－ｂ２＜0．
　　若注意到｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１－ｚ２｜及ｚ１与ｚ２加减法的几何意义，不难得出｜ｚ１＋ｚ２｜与｜ｚ１－ｚ２｜恰为同一平行四边形的两条对角线长，而已知恰是此平行四边形为正方形的条件，则会得出简解．（请读者证明，并加以比较）
　（3）利用复数性质｜ｚ｜２＝ｚ·证左、右两边等于同一个值即可．（留给读者完成）
　　三、专题训练
　　1．已知复数ｚ＝＋ｉ，则ａｒｇ（1／ｚ）是（　　）．
　　Ａ．π／6
Ｂ．11π／6
Ｃ．π／3
Ｄ．5π／3
　　2．已知ｚ１＝－（1／2）＋（／2）ｉ，ｚ２＝－（1／2）－（／2）ｉ，并且＝ｉ，那么ｎ可以取（　　）．
　　Ａ．6
Ｂ．8
Ｃ．1
Ｄ．12
　　3．复数ｚ１＝3＋ｉ，ｚ２＝ａ－ｉ，ｚ＝ｚ１·ｚ２，则是实数与是纯虚数的充要条件分别是（　　）．
　　Ａ．ａ＝3与ａ＝－（1／3）
　　Ｂ．ａ＝－（1／3）与ａ＝3
　　Ｃ．ａ＝3与ａ＝（1／3）
　　Ｄ．ａ＝（1／3）与ａ＝3
　　4．（（1－ｉ）６／（－1－ｉ）３）＋（（1＋ｉ）／（1－ｉ））３的值等于（　　）．
　　Ａ．0
Ｂ．2ｉ
Ｃ．－2ｉ
Ｄ．ｉ
　　5．已知ｉ＝－－ｉ，则｜ｚ｜＝________，ａｒｇｚ＝________．
　　6．已知关于x的实系数方程x２-2ax+a２-4a+4=0的两虚根分别为x１、x２,且|x１|+|x２|=3,则a的值为________．
7．给出下列命题：
　①a,b∈R，且a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件；
　②ｚ１、ｚ２为复数，ｚ１-ｚ２＞0是ｚ１＞ｚ２的必要条件；
　③复数z的辐角主值为θ是z２的辐角主值为2θ的充分条件；④非零复数ｚ１、ｚ２对应的向量与垂直的充要条件是ｚ１=ki·ｚ２（k∈R，且k≠0）．
其中正确命题的序号为________．
　　8．设复数ｚ１、ｚ２、ｚ３满足ｚ１２＋ｚ３ｚ１＋ｚ３ｚ２＝0，且ｚｉ≠0（ｉ＝1，2，3），求ａｒｇ（ｚ１＋ｚ３／ｚ２＋ｚ３）．
9．设非零复数z的辐角主值为（3π／4），且z３+2（z２-zi）是实数．
（1）求复数z；
（2）若w＝ｃｏｓθ＋isinθ（0≤θ≤2π），求|z-w|的最大值与最小值．
　　10．设ｚ１，ｚ２∈Ｃ，w＝ｚ１ｚ２＋ｚ２ｚ1，ｕ＝ｚ１ｚ1＋ｚ２２．问w与ｕ能否比较大小．如果能，比较它们的大小；如果不能，说明理由．