优化设计的数学基础市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 优化设计数学基础,机械设计问题普通是非线性规划问题。,实质上是多元非线性函数极小化问题，因此，机械优化设计是建立在,多元函数极值,理论基础上。,机械优化设计问题分为：,无约束优化,约束优化,无条件极值问题,条件极值问题,第1页,第1页,第一节 多元函数方向导数与梯度,一、方向导数,从多元函数微分学得知，对于一个连续可微函数f(x)在某一点 一阶偏导数为：,，,，,，,它表示函数f(x)值在 点沿各坐标轴方向改变率。,有一个二维函数，如图2-1所表示。,第2页,第2页,图2-1 函数方向导数,第3页,第3页,其函数在 点沿d方向方向导数为,第4页,第4页,二、二元函数梯度,对于二维函数,在,点处梯度,设,为d方向单位向量，则有,第5页,第5页,即,第6页,第6页,三、多元函数梯度,沿d方向方向向量,即,第7页,第7页,图2-5 梯度方向与等值面关系,第8页,第8页,函数梯度方向与函数等值面相垂直，也就是和等值面上过,x,0,一切曲线相垂直。,因为梯度模因点而异，即函数在不同点处最大改变率是不同。因此，梯度是函数一个局部性质。,梯度 模：,第9页,第9页,梯度两个主要性质：,性质一 函数在某点梯度不为零，则必与过该点等值面垂直；,性质二 梯度方向是函数含有最大改变率方向。,图2-2 梯度方向与等值面关系,第10页,第10页,例题,2-1,求函数 在点3,2,T,梯度。,在点,x,(1),=,3,2,T,处梯度为：,解：,第11页,第11页,例2-2*,：试求目的函数 在点 处最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长度后新点目的函数值。,则函数在 处最速下降方向是,解：由于,新点是,这个方向上单位向量是：,第12页,第12页,几种惯用梯度公式：,第13页,第13页,若目的函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点,必要条件一阶偏导数等于零，即,满足此条件仅表明该点为驻点，不能必定为极值,点，即使为极值点，也不能判断为极大点还是极,小点，还得给出极值点充足条件,设目的函数在 点至少有二阶连续偏导数，则,在这一点泰勒二次近似展开式为：,第二节 多元函数泰勒展开,第14页,第14页,为N维函数f(x)在点,处Hesse矩阵,第15页,第15页,泰勒展开写成向量矩阵形式,第16页,第16页,（1）,F(,X,*,)=0,；必要条件,（2）Hesse矩阵G(,X,*,),为正定。充足条件,多元函数f(x)在 处取得极值，则极值条件为,为无约束极小点充足条件,其Hesse矩阵G(,X,*,),为正定。,则极小点必须满足,为无约束优化问题极值条件,第17页,第17页,同窗考虑二元函数在 处取得极值充足必要条件。,各阶主子式不小于零,例：求函数 极值,第18页,第18页,第三节 无约束优化问题极值条件,无约束优化问题是使目的函数取得极小值，所谓极值条件就是指目的函数取得极小值时极值点所应满足条件。,第19页,第19页,第20页,第20页,第21页,第21页,第22页,第22页,第四节 凸集、凸函数与凸规划,前面我们依据函数极值条件拟定了极小点,则函数f(x)在 附近一切x均满足不等式,因此函数f(x)在 处取得局部极小值，称 为,局部极小点。,而优化问题普通是要求目的函数在某一区域内,全局极小点。,函数局部极小点是不是一定是全局极小点呢？,第23页,第23页,图2-7 下凸一元函数,第24页,第24页,一、凸集,线段都所有包括在该集合内，就称该点集为凸集，,不然为非凸集。,一个点集（或区域），假如连接其中任意两点,第25页,第25页,凸集性质,二、凸函数,函数f(x）为凸集定义域内函数，若对任何,及凸集域内任意两点,存在下列不等式：,第26页,第26页,称,是定义在凸集上一个凸函数。,第27页,第27页,三、凸性条件,1.依据一阶导数（函数梯度）来判断函数凸性,设f(x)为定义在凸集R上，且含有连续一阶导数,函数，则f(x)在R上为凸函数充要条件是对凸,集R内任意不同两点 ，不等式,恒成立。,2.依据二阶导数（,Hesse矩阵)来判断函数凸性,第28页,第28页,设f(x)为定义在凸集R上且含有连续二阶导数,函数，则f(x)在R上为凸函数充要条件,Hesse矩阵在R上处处半正定。,四、凸规划,对于约束优化问题,若,都为凸函数，则此问题为凸规划。,第29页,第29页,凸规划性质：,1.若给定一点 ，则集合,为凸集。,2.可行域,为凸集,3.凸规划任何局部最优解就是全局最优解,第30页,第30页,第五节 等式约束优化问题极值条件,约束优化,等式约束,不等式约束,求解这一问题办法,消元法,拉格朗日乘子法,第31页,第31页,1.消元法（降维法）,第32页,第32页,2、拉格朗日乘子法（升维法）,第33页,第33页,2、拉格朗日乘子法（升维法）,第34页,第34页,2、拉格朗日乘子法（升维法）,对于含有L个等式约束n维优化问题,处有,将本来目的函数作下列改造：,第35页,第35页,拉格朗日函数,待定系数,新目的函数极值必要条件,例2-4 用拉格朗日乘子法计算在约束条件,情况下，目的函数,极值点坐标。,第36页,第36页,第37页,第37页,第六节 不等式约束优化问题极值条件,在工程中大多数优化问题，可表示为不等式约束条件优化问题。,有必要引出非线性优化问题主要理论，是不等式,约束多元函数极值必要条件。,库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件,一、一元函数在给定区间上极值条件,一元函数f(x)在给定区间a,b上极值问题，能够,写成下列含有不等式约束条件优化问题：,第38页,第38页,拉格朗日乘子法，除了能够应用于等式极值问题，还可,以用于不等式极值问题。,需引入,松弛变量,，将不等式约束变成等式约束。,设a1和b1为两个松弛变量，则上述不等式约束可写为：,第39页,第39页,则该问题拉格朗日函数,依据拉格朗日乘子法，此问题极值条件：,第40页,第40页,由,（起作用约束）,（不起作用约束）,同样 ，来分析 起作用何不起作用约束。,因此，一元函数在给定区间极值条件，能够表示为：,第41页,第41页,多元,库恩-塔克条件,分析极值点 在区间位置，有三种情况,第42页,第42页,当,时，此时,，则极值条件为,第43页,第43页,当,时，此时,则极值条件为,即,第44页,第44页,当,时，此时,，则极值条件为,即,第45页,第45页,从以上分析能够看出，相应于不起作用约束拉格朗日乘子,取零值,，因此能够引入起作用约束下标集合。,一元函数在给定区间极值条件，能够改写为：,极值条件中只考虑起作用约束和相应乘子。,第46页,第46页,二、库恩-塔克条件,仿照一元函数给定区间上极值条件推导过程，,能够得到含有不等式约束多元函数极值条件：,用起作用约束下标集合表示,第47页,第47页,用梯度形式表示，可得,或,库恩-塔克条件几何意义：在约束极小点处，函数负梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度非负线性组合。,第48页,第48页,下面以二维问题为例，阐明K-T条件几何意义,第49页,第49页,从图中能够看出，,处于,和,角锥之内，即线性组合系数为正，是在,取得极值必要条件。,第50页,第50页,三、库恩-塔克条件应用举例,若给定优化问题数学模型为,K-T条件,第51页,第51页,第52页,第52页,第53页,第53页,第54页,第54页,第55页,第55页,第56页,第56页,第57页,第57页,第58页,第58页,第59页,第59页,小结,1.掌握多元函数方向导数与梯度,2.掌握多元函数泰勒展开,3.掌握无约束优化问题极值条件,4.掌握凸集、凸函数与凸规划,5.掌握拉格朗日乘子法,第60页,第60页,