高中理科数学解题方法篇(三角函数).doc

目 录
内容摘要……………………………………………………………1
关键词……………………………………………………………1
Abstract……………………………………………………………1
Key words………………………………………………………… 1
1 引言………………………………………………………………2
2 高考中三角函数考察的题型……………………………………2
2.1 三角函数化简与求值…………………………………………2
2.2 三角函数的图像与性质………………………………………6
2.3 解三角形………………………………………………………10
3 三角函数常见的错解……………………………………………12
4 高考中三角函数的考试趋势……………………………………14
4.1 求最值…………………………………………………………15
4.2 图像……………………………………………………………18 5 结语………………………………………………………………20参考文献……………………………………………………………21

高考中三角函数的解题策略与考试趋势

摘要：近年来,三角函数试题在高考中所占的比例基本稳定在12%左右,并且大部分试题为基础题和中档题.以近5年各地区高考题为例，三角函数一般会作为一道客观题和一道主观题。本文主要总结三角函数的各种考查题型和解题思路以及它的考试趋势。
关键词：三角函数，高考解题策略，考试趋势
Abstract：In recent years, the proportion of of Trigonometric questions in the College entrance examination is basically stable at around 12%,and most of the questions are basic questions and mid-range question.Take the nearly five years of the college entrance examination questions about the various regions for example.The trigonometric functions normally be used as an objective questions and a subjective question.This article summarized the main kinds of questions about the trigonometric and problem-solving ideas and its examination trends.

Keywords: The trigonometric functions,
The university entrance exam problem-solving strategies,
examination trends

1﹒引言
三角函数是中学数学的主体内容，是高考的重点，也是高考的热点。其考点主要包括: 同角三角关系式及诱导公式，三角函数的图象和性质，三角函数的化简求值，三角形中的三角函数，三角函数的最值及综合应用。 一般设计为一道客观题，一道解答题，约占总分的12% ，多数是中低档题。近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查、对基础知识和基本技能的考查上来。在考查三角公式进行恒等变形的同时也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度。
2.高考中三角函数考察的题型
2.1三角函数化简与求值
关于三角函数的求值，一般是先运用它的公式化简再求值，公式包括二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，和差化积公式，积化和差公式，正弦定理和余弦定理等。
例1 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知
A-C=90°，a+c=b，求C．（2011年高考理科数学全国卷）
解：由及正弦定理可得

又由于
故

因为，
所以

例2在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
解（Ⅰ）在中，，由正弦定理，得
．
所以．
（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，

．
解析：本种类型题主要考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、等基础知识，考查基本运算能力。所以，在对于这种直接运算化简的题目，必须记住有关于三角函数的有关公式，主要有：
二倍角公式 ：
;

两角和与差的三角函数公式 :

和差化积公式：

　　 积化和差公式：

正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.则有 :（R为三角形外接圆的半径）
　　（1）已知三角形的两角与一边，解三角形。
　　（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
　　（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 。
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质

2.2三角函数的图像与性质
主要包括三角函数的图象及其性质、函数、
及的图象及其性质。关键是理解并掌握三角函数的图象及其性质、三角函数图象的变换。
1．三角函数的图象及性质
(1) 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象

函数

性质

图像

定义域

值域

最值
当时，；
当

当时，；当时，

既无最大值也无最小值
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数

单调性
在
上是增函数；在

上是减函数
在
上是增函数；在

上是减函数
在
上是增函数

对称性
对称中心
对称轴

对称中心对称轴
对称中心
无对称轴
2．理解函数图像中是由函数怎么变换来的，当取不同值的时候，对图像的影响。
由函数的图像到图像的步骤。

得到在上的图像
得到在某周期内的简图
得到在某周期的简图
画出在[0,2 π] 的简图
步骤5
步骤4
步骤3
步骤2
步骤1

沿x轴 平行移动
得到在某周期内的简图

横坐标 伸长或缩短

纵坐标 伸长或缩短

沿x轴 扩展

3.对于函数中未知数的求值，要记得几个公式。 ,为值域。
例3：右图是函数在区间上的图像，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（）
(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；
(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；
(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。
解析：从图中可以得出。所以根据函数
的图像到图像的步骤便可知选择答案.
例4：已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（ ）
A．在区间上是增函数;
B．在区间上是增函数;
C．在区间上是减函数;
D．在区间上是减函数;
解析：本种类型题主要考察有关的图像及图的画法。熟记与之间的关系.同时记住和的取值对于图像的影响。一般地，函数 ,
的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右
(当时)平行移动个单位长度而得到，再把所得各点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）的原来的（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短 （当时）到原来的倍（横坐标不变）。同时会利用周期用五点法作图，以及给了图像可以从中找出的值。
2.3解三角形
三角形中的三角函数关系式历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生更加深刻理解正弦和余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧。
例5在中，角所对的边分别为a,b,c．
已知且．
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）若角为锐角，求p的取值范围；

（I）解：由题设并利用正弦定理，得
解得
（II）解：由余弦定理，

因为，
由题设知
例6如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知海里，

在中，由正弦定理得

=（海里），
又海里，
在中，由余弦定理得

=
30（海里），则需要的时间（小时）。
答：救援船到达D点需要1小时。
解析：本种类型题主要考察的内容为三角函数中的正弦余余弦定理，在这类题中要考虑角的取值范围，以及边的取值范围。对于解斜三角形，已知三个已知量要会运用正弦和余弦定理，求出其他三个未知量的值。
3.三角函数常见的错解
在解三角函数的时候，同学们或多或少的都会出现一些错误． 对高中生来说，这部分内容虽然公式较多，但规律性较强，因而学生容易掌握。同时，我们可以充分利用单位圆和三角函数图象来学习三角函数性质，并解决与三角函数相关的问题，体现数形结合思想．现在就三角函数及其相关问题中易错现象进行归纳和分析，以纠正学生对于三角函数中的误区。
误区主要包括几个方面。
第一，对于三角函数的定义认识不清晰，容易忽视定义域。
例3.1求函数的值域。
错解：设，，
则，故。
因为，所以。
剖析：上面解法中忽略了对定义域及变量t取值范围的讨论，由，得，进而，故所求函数的值域应为。
第二，忽视相位变换所针对的对象。
例3.2已知
错解：由题设条件得

又则
解得
剖析：上面解法是在的前提下而求的，事实上，已知条件中含有的情况，此时也满足题意，三角变换应注意等价性，不能随意扩大或缩小角的范围。
第三，忽视周期性。
例6 求函数的最小正周期
错解 ,即函数的最小正周期为。
辨析 若有意义，根据周期函数的定义只应有成立。然而根本无意义，故不是其周期，错解是由于忽视对周期函数的定义的准确的理解产生的
第四，忽视题目中的隐含条件。
例3.3若，求的取值范围。
错解： ，
又，所以。
剖析：上面解题时忽略了条件中隐含的角的范围限制，
，解得，
所以是错误的，故

4.高考中三角函数的考试趋势
近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查, 而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查, 对基础知识和基本技能的考查上来. 在考查三角公式进行恒等变形的同时, 也直接考查了三角函数的性质及图象的变换, 降低了对三角函数恒等变形的要求, 加强了对三角函数性质和图象的考查力度。在2011年的高考题中大多不在单一的考察关于三角函数的公式，而是与三角形结合起来考察，运用正弦和余弦定理找寻三角函数与三角形之间的关系，一般求解围三角形的面积或者是其中某个未知数的值，在考虑三角形中的三角函数要考虑三角函数中的角在三角形中的取值范围，懂得舍角。同样的，在其他省份高考题中有关于三角函数的题目主要有求最值和利用图像解三角函数。
4.1 求最值
求三角函数的最值是研究三角函数性质的重要手段之一，也是高考的常考点。求三角函数的最值，常用方法如下：
1.形如型，利用三角辅助角公式
来完成。
例4.1若函数，则f()的最大值为( )
A、1 B、2 C、 D、
分析：将切化弦，化简成型。
解：
因为，所以时，f()取最大值2，故选.
2.形如型，通过二倍角公式转化成型，再利用三角辅助角公式来完成。
例4.2求函数的最小值、最大值及最小值、最大值时的集合。

解法1：

解法2：

评注：两种解法分别运用了不同的三角变换，但殊途同归，都是利用的有界性求值，显然这是一种求三角函数最值的基本方法。
3.形如型，
令sinx=t或cosx=t,转化成的二次函数型。
例4.3已知函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值。
解：（I）
（II）
=
=,
因为，所以，当时，取最大值6； 当时，取最小值。
4.形如型，可利用分离常数法或来解决
例4.4函数

解析1：

故选C.
解析2：由得
即
解得
故选
5.型如可利用斜率公式或分离常数来解决。
分析：（1）可通过恒等变形，变成的形式，再利用来解决，
（2）结合函数式点特点及直线的斜率公式，利用数形结合而确定最值。
例4.5 求函数的最大值和最小值。
分析：（1）可通过恒等变形，变成的形式，再利用来解决，
（2）结合函数式点特点及直线的斜率公式，利用数形结合而确定最值。
解析1：原函数变形为

解得
即
解析2：可看作是定点（2,2）与单位圆上的
点（cosx,sinx）的连线的斜率，依据图形可知，当连线与圆相切时
取得最值，解得

评注： 通过适当的三角变换，结合化归和转化，应用函数和方程的思想，数形结合思想，是解决三角函数最值问题的有效办法。
4.2 图像
在三角函数学习过程中,经常会遇到给定一段图像确定三角函数解析式的问题,这类问题主要用“五点作图法”来确定其中的系数,其中A。由图像往往比较容易确定,甲值的确定比较困难,一般用“起始点法”、“最值法”、“待定系数法”等来确定。
例：某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
解：（1）如图设小艇的速度为，时间为相遇，
则由余弦定理得：
即=400+900-1200tcos600=900t2-600t+400=
当时，取得最小值，此时，。
（2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：
即：
解得：，此时
此时，在△OAB中，，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了余弦定理，二次函数法求最值，还考查了数形结合的思想．
5 结语
对于高考中三角函数的解题策略与考试趋势，大多为熟记三角函数的有关公式，图像以及定义。近年来，各省市自治区考三角函数的趋势逐渐与几何图形，三角应用题和在三角形中解三角函数，主要考察正弦和余弦定理的应用，对于2012年各地数学理科高考题关于三角函数的考察，我觉得会与生活中应用的图象结合，考察三角应用题，使用正弦与余弦定理来解题。同样的对于客观题，函数的图像以及图像的画法会比较重要，可能会考图像的变换，若要加重难度就是将函数图像的起点改变，从而迷惑考生，因此，考生在做相关题目时要注意好图像中给的信息，不要当成起始点从原点开始计算。
参考文献
[1] 曹吉龙 .例析三角函数问题的几种别解方法[J].《新课程学习(学术教育)》,2011年,第1期 ：132～133.
[2] 林伟 .高考数学三角函数常见考查题型与解法分析[J].《数学学习与研究》,2011年, 第5期：80～81.
[3] 柏雅明,赵传义.三角函数试题赏析及解题策略[J].《 高中数理化 》，2011年，第Z1期：8～10.
[4] 刘继华. 高考三角函数考点导引[J]. 《 高中数理化》， 2010年，第05期：8～10.
[5] 王跃辉.探讨一道三角函数习题的变换及应用[J].《新高考（高一语数外）》，2011年，第02期：41～42.
[6] 杨昌存.略谈高中数学三角函数教学策略[J].《教师》，2011年，第21期：76.
[7] 张长雁.三角函数相关问题易错现象例析[J].《数学教学通讯》，2010年，第03期：57～61.

22