傅里叶变换及拉普拉斯变换.doc

附录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换（简称傅氏变换）和拉普拉斯变换（简称拉氏变换），是工程实际中用来求解线性常微分方程的简便工具；同时，也是建立系统在复数域和频率域的数学模型——传递函数和频率特性——的数学基础。
傅氏变换和拉氏变换有其内在的联系。但一般来说，对一个函数进行傅氏变换，要求它满足的条件较高，因此有些函数就不能进行傅氏变换，而拉氏变换就比傅氏变换易于实现，所以拉氏变换的应用更为广泛。

1. 傅里叶级数

周期函数的傅里叶级数（简称傅氏级数）是由正弦和余弦项组成的三角级数。
周期为的任一周期函数，若满足下列狄里赫莱条件：
1） 在一个周期内只有有限个不连续点；
2） 在一个周期内只有有限个极大值和极小值；
3） 积分存在，
则可展开为如下的傅氏级数：

式中系数 和 由下式给出：

式中称为角频率。
周期函数的傅氏级数还可以写为复数形式（或指数形式）：

式中系数

如果周期函数具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有奇次或偶次谐波，则傅氏级数中的某些项为零，系数公式可以简化。表列出了具有几种对称性质的周期函数的傅氏级数简化结果。
1.用复数形式进行周期函数傅氏级数展开并求导

例 试求图所示周期方波的傅氏级数展开式。
解 首先写出方波在一个周内的数学表达式

表 周期函数的对称性质

对称性
傅氏级数特点

偶函数

只有余弦项

奇函数
只有正弦项

只有偶次谐波
只有偶数

只有奇次谐波
只有奇数

因为，为偶函数，故只需计算系数。由表 有

依次取计算，得

其中 是应用罗必达法则求得的。由式可求出方波的傅氏级数展开式为

上述表明，方波可以分解为各种频率的谐波分量。换句话说，用不同频率的谐波合成可以得到方波。

2. 傅里叶积分和傅里叶变换
任一周期函数，只要满足狄里赫莱条件，便可以展开为傅氏级数。对于非周期函数
因为其周期趋于无穷大，不能直接用傅氏级数展开式，而要做某些修改，这样就引出了傅里叶积分式。
若为非周期函数，则可视它为周期趋于无穷大，角频率 趋于零的周期函数。这时，在傅氏级数展开式 中，各个相邻的谐波频率之差便很小，谐波频率须用一个变量代替（注意，此处不同于式中的角频率）。这样，式和式可改写为

将式代入式，得

当时，，求和式变为积分式，上式可写为

式是非周期函数的傅里叶积分形式之一。
在式中，若令

则式可写为

式和式给出的两个积分式称为傅里叶（简称傅氏）变换对，称为的傅氏变换，记为，而称为的傅氏反变换，记为。
非周期函数必须满足狄里赫莱条件才可进行傅氏变换，而且狄里赫莱的第三条件这时应修改为积分存在。
例A-2 求图A-2方波的傅氏变换。

解 图A-2方波可用下式表示：

显然，不是周期函数。由式（A-9）得

频谱函数的模称为频谱，方波的频谱，它与频率的关系曲线见图A-3。
工程技术上常用傅里叶方法分析线性系统，因为任何周期函数都可展开为含有许多正弦分量或余弦分量的傅氏级数，而任何非周期函数都可表示为傅氏积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数。在我们研究输入为非正弦函数的线性系统时，应用傅氏级数和傅氏变换的这个性质，可以通过系统对各种频率正弦波的响应特性来了解系统对非正弦输入的响应特性。研究自动控制系统的频率域方法，就是建立在这个基础之上的。
3. 拉普拉斯变换
工程实践中常用的一些函数，如阶跃函数，它们往往不能满足傅氏变换的条件，如果对这种函数稍加处理，一般都能进行傅氏变换，于是就引入了拉普拉斯变换，简称拉氏变换。例如，对于单位阶跃函数的傅氏变换，由式可求得为

显然，无法计算出来，这是因为单位阶跃函数不满足狄里赫莱第三条件，即
不存在。
为了解决这个困难，我们用指数衰减函数代替，因为当时，趋于。可用下式表示为

用这个函数代入式，求得它的傅氏变换为

上式说明，单位阶跃函数乘以因子后，便可以进行傅氏变换，这时，由于进行变换的函数已经过处理，而且只考虑的时间区间，因此称之为单边广义傅里叶变换。
对于任意函数，如果不满足狄里赫莱第三条件，一般是因为当时，衰减太慢。仿照单位阶跃函数的处理方法，也用因子乘以，则当时，衰减函数快得多。通常把叫做收敛因子。但由于它在时起相反作用，为此，假设时，。这个假设在实际上是可以做到的，因为我们总可以把外作用加到系统上的开始瞬间选为，而时的行为，即外作用加到系统之前的行为，可以在初始条件内考虑。这样，我们对函数的研究，就变为在时间区间对函数的研究，并称之为的广义函数，它的傅里叶变换为单边傅氏变换，即

若令，则上式可写为

而的傅氏反变换则由式有

等式两边同乘以，得

以代之，可得

在式和式中，是复数，只要其实部足够大，式的积分就存在。式和式的两个积分式称为拉氏变换对。叫做的拉氏变换，也称象函数，记为；叫做的拉氏反变换，也称原函数，记为。
例A-3 求正弦函数的拉氏变换。
解 由欧拉公式

计及式可得

例A-4 求单位脉冲函数的拉氏变换。
解 将代入式，可得

因此，单位脉冲函数的拉氏变换为1。显然，强度为的脉冲函数的拉氏变换就等于它的强度，即。
4. 拉普拉斯变换的积分下限
拉氏变换定义式中，积分下限为零，但有的右极限和的左极限之分。对于在处连续或只有第一类间断点的函数，型和型的拉氏变换是相同的；对于在处有无穷跳跃的函数，例如单位脉冲函数（函数），两种变换的结果不一致。
函数脉冲面积为1，在瞬时出现无穷跳跃的特殊函数，其数学表达式为

且有
取的型拉氏变换

而的型拉氏变换

实质上，型拉氏变换并没有反映出函数在区间内的跳跃特性，而型拉氏变换则包含了这一区间。因此，型拉氏变换反映了客观实际情况。在拉氏变换过程中，若不特别指出是或，均认是型变换。
5. 拉普拉斯变换定理
常用的拉氏变换定理汇列如下，以供查阅。
（1）线性性质
设为常数，则有

（2）微分定理
设，则有

式中是函数在时的值。
证明 由式有

用分部积分法，令，则

同理，函数的高阶导数的拉氏变换为

式中为及其各阶导数在时的值。
显然，如果原函数及其各阶导数的初始值都等于零，则原函数的阶导数的拉氏变换就等于其象函数乘以，即

（3）积分定理
设，则有

式中是在时的值。
证明 由式有

用分部积分法，令，则有

同理，对于的多重积分的拉氏变换，有

式中为的各重积分在时的值。如果则有

即原函数的重积分的拉氏变换等于其象函数除以。
（4）初值定理
若函数及其一介导数都是拉氏可变换的，则函数的初值为

即原函数在自变量趋于零（从正项趋于零）时的极限值，取决于其象函数在自变量趋于无穷大时的极限值。
证明 由微分定理，有

令，对等式两边取极限，得

在的时间区间，当时，趋于零，因此等式左边为

于是

即

式中表示在右极限时的值。
（5）终值定理
若函数及其一介导数都是拉氏可变换的，则函数的终值为

即原函数在自变量趋于无穷大时的极限值，取决于象函数在自变量趋于零时的极限值。
证明 由微分定理，有

令，对等式两边取极限，得

等式左边为

于是

注意，当是周期函数，如正弦函数时，由于它没有终值，故终值定理不适用。
（6）位移定理
设 ,则有

和

它们分别表示实域中的位移定理和复域中的位移定理。
证明 由式（A-11）得

令，则有

上式表示实域中的位移定理，即当原函数沿时间轴平移时，相应于其象函数乘以。
同样，由式（A-11）有

上式表示复域中的位移定理，即当象函数的自变量位移时，相应于其原函数乘以。
位移定理在工程上很有用，可方便地求一些复杂函数的拉氏变换，例如由

可直接求得

（7）相似定理
设，则有

式中为实常数。
上式表示，原函数自变量的比例尺改变时（见图A-4），其象函数具有类似的形式。

图 A-4 函数
证明 由式（A-11），有

令，则有

（8）卷积定理
设，则有

式中 叫做和的卷积，可写为。因此，上式表示，两个原函数的卷积相当于它们象函数的乘积。
证明 由式（A-11），有

为了变积分限为到，引入单位阶跃函数，即有

因此

所以

令，可得

表A-2简要列出拉氏变换的基本特性，表A-3列出常用函数的拉氏变换式，可供查用。

表A-2 拉普拉斯变换的基本特性

基本运算

1
拉氏变换定义

2
位移（时间域）

3
相似性

4
一介导数

5
n阶导数

6
不定积分

7
定积分

8
函数乘以t

9
函数除以t

10
位移（s域）

11
初始值

12
终值

13
卷积

6. 拉普拉斯反变换
由象函数求原函数，可根据式（A-12）拉氏反变换公式计算。对于简单的象函数，可直接应用拉氏变换对照表A-3，查出相应的原函数。工程实践中，求复杂象函数的原函数时，通常先用部分分式展开法（也称海维赛德展开定理）将复杂函数展成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表。

表A-3 常用函数拉普拉斯变换对照表

象函数
原函数
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

一般，象函数是复变数的有理代数分式，即可表示为如下两个多项式比的形式：

式中，系数都是实常数；是正整数，通常。为了将写为部分分式形式，首先把的分母因式分解，则有

式中，是的根，称为的极点。按照这些根的性质，分以下两种情况研究。
（1）无重根
这时，可展开为个简单的部分分式之和，每个部分分式都除以的一个因式作为其分母，即

式中，为待定常数，称为在极点处的留数，可按下式计算:

或

式中，为对求一介导数。
根据拉氏变换的线性性质，从式可求得原函数

上述表明，有理代数分式函数的拉氏反变换，可表示为若干指数项之和。
例 A-5 求的原函数.
解 将的分母因式分解为

则

按式计算，得

因此，由式可求得原函数

例A-6 求的原函数。
解 将的分母因式分解为

本例的极点为一对共轭复数，仍可用式求原函数。因此，可写为

式中

所以，原函数

如果原函数的分母是的二次多项式，可将分母配成二项平方和的形式，并作为一个整体来求原函数。对于本例的可写为

应用位移定理并查拉氏变换对照表A-3，原函数求得为

（2）有重根
设有个重根，则可写为

式中，为的重极点，为的个非重极点；为待定常数，其中，按式或式计算，但应按下式计算：

因此，原函数为
例A-7 求的原函数。
解 分母有四个根，即二重根。将展为部分分式，则有

按式计算得

按式计算得

最后由式写出原函数为