第四届华杯赛决赛一试试题及答案.doc

第四届华杯赛决赛一试试题
1．在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？
2．图1，图2是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图3所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6cm，问：图1，图2中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？

3．这是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到路口B，问：先后共有多少个孩子到路口C？

4．表示一个四位数，表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的数字。已知，问：乘积的最大与最小值差多少？
5．一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和，问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。
6．一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度是4千米/小时。甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/小时，乙在静水中速度是20千米/小时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两港口的距离。
1.和为1959     2.图1中画斜线区域的周长比图2中画斜线区域的周长大2AB=12cm    3.走过C的人数为48（人）     4.最大值与最小值的差是525000     5.最大值是80，最小值是61，且1+2+3+5+10+15+25=61     6.240千米
1.【解】设A为100以内所有奇数之和，B为100以内不与77互质的全体奇数之和，X为100以内与77互质的所有奇数之和,则 X＝A－B
显然A＝1＋3＋5＋7＋…＋99＝×50×100＝2500
又77＝7×11
100以内有约数7的奇数之和为7×(1＋3＋5＋7＋9＋11＋13)＝×7×14＝343
100以内有约数11的奇数之和为 11×(1＋3＋5＋7＋9)＝×5×10＝275
所以B＝343＋275－77＝541
于是，所求之和为 X＝2500－541＝1959．
2.【解】图1中画阴影区域的周长恰好等于大长方形的周长，图2中画阴影区域的周长显然比大长方形的周长小，二者之差是2AB．
从图2的竖直方向看，AB＝a－CD
再从图2的水平方向看，大长方形的长是a＋2b，宽是2b＋CD。己知大长方形的长比宽多6cm．所以
(a＋2b)－(2b＋CD)＝a－CD＝6(cm)，从而AB＝6(cm)
因此，图1中画斜线区域的周长比图2中画斜线区域的周长大 2AB＝12cm。
3.【解】在A处的孩子数目看成1份，那么可顺次标出各道口处走过的孩子的份数，
可见B处有，C处有。C处孩子总数是 60＋×＝48(人)
4.【解】

可以看出A＝1，因为E≠O，1，所以B最大为7，这时E＝2由于D、G都不能是O，1，所以D＋G＝13，C＋F＝8由于F≠O，1，2，所以C最大为5。从而三位数最大为759，这时＝34。 最小为234(这时＝759最大)。
＝(1000＋)×(993－)，
＝1000×993－1000×＋993×一×
＝993000－7×—－×
于是在最大时，乘积最小，最小时，乘积最大，因此，所求的差是
　(993000－7×234－234×234)－(993000－7×759－759×759)
＝7×(759－234)＋759×759－234×234
＝7×(759－234)＋(759＋234)×(759－234)
＝7×(759－234)＋993×(759－234)
＝1000×<759－234)
＝525000。
5.【解】数组1，2，3，5，10，15，25的和是61，我们证明61就是最小值。
首先25是组中两个数a、b的和，不妨设a＞b，而除去1外，组中最小的数必定是2(否则这最小的数不是两个数的和，也不是1的两倍)。第三个小的数是3或4，在前一种情况，第四个小的数可能是4、5、6；在后一种情况，第四个小的数可能是5、6、8
如果b＞8，那么除去　1，2，3，4…b…a…25(1)
及　1，2，3，5…b…a…25(2)
另外，其它情况各数的和均大于61，而由于b＞8，前一种情况，至少要增加一个大于4的数，各数的和仍大于61，后一种情况，各数的和同样会大于61，除非b＝10，相应地a＝15，即上面所列举的数为61的情况
如果b≤8，那么a≥17，为了将a表示成两个数的和或一个数的两倍，至少要有一个≥9的数，这样各数的和≥1＋2＋3＋b＋9＋a＋25＝65＞61，因此只有数组1，2，3，5，10，15，25使和取得最小值61。
下面，讨论和的最大值，如上所述，除去1外，组中最小的数必定是2，第三个小的数是3或4，在前一种情况，第四个小的数可能是4、5、6；在后一种情况，第四个小的数可能是5、6、8。要使和最大，次大的数可取24，从而数组1，2，4，8，16，24，25的和是80，应为和的最大值。
6.【解】设A、B两个港口相距S千米，甲、乙两船第二次迎面相遇时的位置与港口A相距x千米，甲船第二次追上乙船时的位置与港口A相距y千米。
第一步先求x，甲、乙第二次迎面相遇，甲顺水行(S＋x)千米，逆水行S千米，乙顺水行S千米，逆水行(S－x)千米，甲顺水速度32(＝28＋4)千米／小时，逆水速度24(＝28－4)千米／小时；乙顺水速度24(＝20＋4)千米／小时，逆水速度16(＝20－4)千米／小时，两船所用时间相等，所以

32。24 24。16
即　S十x＝2(S－x)
解得x＝S
第二步求y．如果甲船在逆水时第二次追上乙，那么乙船顺水行nS千米(n为自然数)，逆水行(nS－y)千米，甲船顺水行(nS＋2S)千米，逆水行(nS＋2S－y)千米，并且

即　
去分母(两边同乘96)得　(3n－14)S＝2y
由于左边是S的整数倍，右边y＜S，所以必有y＝
如果甲船在顺水时第二次追上乙，那么乙船顺水行(nS＋y)千米，逆水行nS千米，甲船顺水行(nS＋2S＋y)千米，逆水行(nS＋2S)千米，并且

化简得　y＝(14－3n)S(1)
由于14除以3余2，所以(14－3n)S≥2S．而y≤S，从而(1)不能成立
因此，y＝
第三步求S
由－＝40得
S＝40÷(－)＝240(千米)
答：两港相距240千米。