数值分析第2章习题.docx

[键入文字]第二章非线性方程（组）的数值解法考题[键入文字]
一选择题(每题5分)
1已知方程ex+10x-2=0在[0,1]中存在唯一实根，使用二分法求误差不大于12×10-3的根需要二分（）次（考二分法二分次数）

(A)9 (B)10 (C)12 (D)14

解B b-a2k+1≤12×10-31-02k+1≤12×10-3，2k≥103,k=10
2试确定方程在下列哪个区间内无根（D）
A． B. C. D.

3 已知迭代公式 收敛于

则迭代公式是（）（考收敛阶数）
（A）线性收敛 （B）超线性收敛 (C)平方收敛 （D）三阶收敛
解（C）迭代公式相应的迭代函数为

所以，该迭代公式平方收敛
4、牛顿迭代法的原理是（B）
A线性函数近似线性函数 B线性函数近似非线性函数
C非线性函数近似线性函数 D非线性函数近似非线性函数
5、用斯蒂芬森迭代法求解方程时取，它可达到收敛阶数是（B）（根据斯蒂芬森迭代法定理六）
A．1 B.2 C.3 D. 4
解：根据知存在，且(因为),则斯蒂芬森迭代法是2阶收敛的.

二填空题（每题4分）

1用牛顿法解方程xex-1=0在0.5附近的根牛顿迭代公式为（ ）
解：xk+1=xk-xk-e-xk1+xk
（fx=xex-1,f(x)=ex+xex牛顿迭代公式为xk+1=xk-fxf(x)）
（考牛顿法）
2用牛顿法求重根具有线性收敛速度，当用知道重根数的求重根的修正牛顿法1求重根时具有（）收敛速度，当用未知重根数求重根的修正牛顿法2求重根时具有（）收敛速度。(考收敛速度)
解：（二阶）（二阶）（考收敛速度）
设f(x)=(x-x*)m,整数m≥2,g(x*)≠0，则x*为方程f(x)=0的m重根，此时有f(x*)=f(x*)=…=f(m-1)x*=0,fm(x*)≠0.
只要f(xk)≠0仍可用牛顿法计算，此时迭代函数φx=x-f(x)f(x)的导数为φ(x*)=1-1m≠0,且φx<1所以牛顿法求重根只是线性收敛.而求重根的修正牛顿法一和二都具有二阶收敛速度。
3、求方程x=f(x)实根的割线法迭代公式为（割线法）
4、设f(x) = (x2 - a)3，当a为 -2<a<22时f(x)=0解的牛顿迭代公式xk+1 = (xk)
(k=0,1,2...)产生的序列{xk}收敛于（牛顿迭代法、迭代法局部收敛性-定理4）
已知,根据Newton迭代法得：

因为,并且 (P20定理4)
所以，
则

在此处键入公式。
e±=≠÷
三解答题（1题9分，2,3,4,5，6每题10分）
1、 给定函数，设对一切x，存在且，证明对于范围内的任意定数，迭代过程均收敛于的根。
（迭代法局部收敛性）
[证明]由可知，令，则，又因为，，所以，即，从而迭代格式收敛。
2证明f(x)=在区间（1,2）内有唯一根，用二分法求此根要求误差小于0.05，(考二分法)
解：令，则，，
而且在（1,2）内f(x)=2x-1>0,因此方程在（1,2）内有唯一根。
，所以有根区间为（1.5,2）
,所以有根区间为（1.5,1.75）
,所以有根区间为（1.5,1.625）
，所以有根区间为（，1.625）
取

此时，它与精确解的距离<
3为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，建立相应的迭代公式，判断敛散性（考压缩性）
（1） ，迭代公式
（2） ，迭代公式
（3） ，迭代公式
解：（1）设，则，
从而，所以迭代方法局部收敛。
（2） 设则
，所以迭代方法局部收敛。
（3）设，则
，所以迭代方法局部发散。
4用迭代法求方程的根，保留3位有效数字，取初值。（考迭代法事后估计）
答案：

由求出根知m=-1,n=3,m-n=-4知

迭代5次近似值为0.0905

5用牛顿下山法求解方程x3-x-1=0在x=1.5附近的一个根x*（牛顿下山法）

解：（牛顿下山法克服了局部收敛的缺点）当x0=0.6时由迭代法求得x1=17.9，它不满足下降条件，通过λ逐次取半进行计算，当时，可求得此时
x1=1.140625,此时
fx1=-0.656643

而fx0=-1.384,显然 ｜f(x1)｜< ｜f(x0)｜
由x1计算x2,x3,…时，均能使下降条件成立，计算结果如下：
x2=1.36181,fx2=0.1866； x3=1.32628,fx3=0.00667；
x4=1.32472,fx4=0.0000086。

即为x*的近似.

6用有重根时的牛顿迭代法求解方程x2+2xex+e2x=0取m=2 ,x0=0
｜xk+1-xk｜｜<10-5时结束迭代。（考已知重根的牛顿修正法1）
解：令fx=x2+2xex+e2x=0fx=2x+2ex+2xex+2e2x
代入公式
xk+1=xk-mf(xk)f(x)

中m=2，计算结果如下：
x0=0.0,x1=—0.05, x2=—0.566311003，x3 =—0.567143165，x4 =—0.567143290
｜x4-x3｜<10-5。
注：此套试题由电信14-1红桃和软件14-1方片整合而成红色组，卷中题目与答案如发现错误之处，请谅解并希望大家指出，我们予以及时更改，谢谢。