菲欧几何与相对论.doc

数学科学学院 刘婷 07205015
非欧几何在相对论中的应用

摘要：相对论是物理学中一门非常深奥的学问，但这门学问中却蕴藏着非常重要的数学思想。非欧几何是相对论中一个非常重要的工具，可以说非欧几何的出现才使得广义相对论有所发展。非欧几何是与欧氏几何相对的又一门重要的数学分支，本文从广义、狭义和通常意义介绍了什么是非欧几何。随后，本文又论述了相对论的一些基本的理论，最后，通过一些简单的例子，介绍了非欧几何在相对论中的一些应用，以及非欧几何在相对论的发展中所起到的作用。
关键字：非欧几何、相对论

一、什么是非欧几何
非欧几何学是一门庞大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义的非欧几何泛指一切和欧几里得几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
  欧几里得的《几何原本》提出了五条公设：(1) 从任一点到另外一点能作一条直线 ( 简言之，即通过任意两点可作一条直线 ) ；(2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；(3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；(4) 凡直角皆相等；(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点。长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而依靠前四个公设来证明？经过了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，终于在十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基用反证法的思想提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。通过细致深入的推理，他得出第五公设不能被证明的结论，并形成了像欧式几何一样是完善的、严密的几何学——罗氏几何。
    罗氏几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧氏几何内容不同的新的几何命题。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧氏几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧氏几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。罗氏几何中的一些几何事实没有像欧氏几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧氏几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
    欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。如果在球面上，直线即是短线——大圆，球的两个大圆总是相交的。在这种几何里，“三角形内角和大于180度”，两点之间的最短距离即是两点的球面距离。

二、相对论的基本理论
相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由爱因斯坦创立，分为狭义相对论和广义相对论。相对论的基本假设是光速不变原理，相对性原理和等效原理。奠定了经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体，而相对论解决了高速运动问题。相对论极大的改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时的相对性”，“四维时空”“弯曲空间”等全新的概念。
狭义相对论，是只限于讨论惯性系情况的相对论。狭义相对论认为空间和时间并不相互独立，而是一个统一的四维时空整体，并不存在绝对的空间和时间。在狭义相对论中，整个时空仍然是平直的、各向同性的和各点同性的，这是一种对应于“全局惯性系”的理想状况。狭义相对论将真空中光速为常数作为基本假设，结合狭义相对性原理和上述时空的性质可以推出洛仑兹变换。狭义相对论的第一个基本原理：狭义相对性原理——惯性系之间完全等价，不可区分；第二个基本原理——光速不变原理。
由于惯性系无法定义，爱因斯坦将相对性原理推广到非惯性系，提出了广义相对论的第一个原理：广义相对性原理——所有参考系在描述自然定律时都是等效的。在不同参考系中，一切物理定律完全等价，没有任何描述上的区别。但在一切参考系中，这是不可能的，只能说不同参考系可以同样有效的描述自然律。这就需要我们寻找一种更好的描述方法来适应这种要求。通过狭义相对论，很容易证明旋转圆盘的圆周率大于3.14。因此，普通参考系应该用黎曼几何来描述。第二个原理是光速不变原理：光速在任意参考系内都是不变的。它等效于在四维时空中光的时空点是不动的。当时空是平直的，在三维空间中光以光速直线运动，当时空弯曲时，在三维空间中光沿着弯曲的空间运动。第三个原理是最著名的等效原理。

三、相对论中的非欧几何
相对论应用的几何学并不是普通的欧几里得几何，而是黎曼几何。在非欧几何里，有很多奇怪的结论。三角形内角和不是180度，圆周率也不是3．14等等。因此在刚出台时，倍受嘲讽，被认为是最无用的理论。直到在球面几何中发现了它的应用才受到重视。再有，黎曼几何是一个庞大的几何公理体系，专门用于研究弯曲空间的各种性质。球面几何只是它极小的一个分支。它不仅可用于研究球面，椭圆面，双曲面等二维曲面，还可用于高维弯曲空间的研究。它是广义相对论最重要的数学工具。黎曼在建立黎曼几何时曾预言，真实的宇宙可能是弯曲的，物质的存在就是空间弯曲的原因。这实际上就是广义相对论的核心内容。只是当时黎曼没有像爱因斯坦那样丰富的物理学知识，因此无法建立广义相对论。
1909年，爱因斯坦考虑把他的狭义相对论推广到广义相对论的时候，在数学表达形式方面遇到了严重的困难，经过好友的介绍，他才找到了最有力的数学工具，即非欧几何。1915年，爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛仑兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。对广义相对论所进行的实验和观测检验，实际上是对非欧几何的间接证明，这些实验和观测，加深了人们对非欧几何真实意义的理解。
广义相对论的出发点就是广义相对论原理，即引力场对空间的作用等效于加速度对空间的作用。由此可推出万有引力可使具有质量的物体周围的时空发生扭曲，而要在扭曲的时空中解决问题就必须借助于像黎曼几何这样的数学工具。在人类感官能直接感知到的周围世界,时空的扭曲是及其微小的，欧几里得几何就可以适用。比如当我们在日常工作中作一局部测量时，显然可以看成欧氏空间的对象；当我们测量地球两个城市距离时，则是球面上的对象，可以就用黎氏几何学；当我们进行遥远的天文测量时，用罗氏几何学是很方便的。
一般说来，科学原理者不是绝对真理而是相对真理，几何学的发展也是如此。欧氏几何、非欧几何都没有绝对地揭露现实空间的几何规律，都仅仅是在一定条件下相对的从某一个侧面反映现实空间的形式。非欧几何的发现扩大了几何学的内容和意义，扩展了空间观念，解放了人们的思想，对数学的发展有着深远的影响。

参考文献：
[1] 李忠．非欧几何及其模型[J]．数学通报，2005（4）
[2] 赵晓芬．从非欧几何的产生看数学对人类文化的影响[J]．长春师范学院学报，2004（2）
[3] 陆桂菊．非欧几何的发现[J]．中学生数学，2003年5月

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