第12届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试试题及答案.doc

希望杯第十二届（2001年）初中一年级第2试试题
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数，则( )．
A．a=0 B．a=－1 C．a=l D.不存在这样的a值
2．如图所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则与点C所表示的数最接近的整数是( )．

A．－1 B．0 C．1 D．2
3．我国古代伟大的数学家祖冲之在距今1500年以前就已经相当精确地算出圆周率π是在3．1415926和3．1415927之间，并取为密率、为约率， 则( )．
A．3．1415<π< B． <π<
C．<π< D．<π<1．429
4．已知x和y满足2x+3y=5，则当x=4时，代数式3x2+12xy+y2的值是 ( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．两个正整数的和是60．它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是( )．
A．273 B．819 C．1911 D．3549
6．用一根长为a m的线同成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b m2．现于这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为( )．
A．m 13．m C．m D．m
7．If we let(a)be the greatest prime number not more than a．then the result of the expression((3)×(25)×(30))is( )．
A．1333 B．1999 C．2001 lb．2249
(英汉小字典：greatest prime number最大的质数result结果；expression 表达式．)
8．古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……
从左向右数，第l列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，则当第2次甲和子在同一列时，该列的序号是( )．
A．31 B．61 C．91 D．121
9．满足(a－b)2+(b－a)|a－b|=ab(ab≠0)的有理数a和b，一定不满足的关系是( )．
A．ab<O B．ab>0 C．a+b>0 D．a+b<0
lO．已知有如下一组x，y和z的单项式：
7x3z2，8x3y，x2yz，－3xy2z，9x4zy，zy2，xyz，9y3z，xz2y，0．3z3．
我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任两个单项式，先看x的幂次，规定x幂次高的单项式排在x幂次低的单项式的前面；再看y的幂 次．规定y的幂次高的排在y的幂次低的前面；再看z的幂次，规定z的幂次高的排在z的幂次低的前面．
将这组单项式按上述法则排序，那么，9y3z应排在( )．
A．第2位 B．第4位 C．第6位 D．第8位
二、填空题(每小题5分，共50分)
l1．一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角．则这个锐角的度数等于 ．
12．If a2+a=0，then the result of a2001+b2000+12 is
l3．如图，△ABC中，D、E、F、G均为BC边上的点，且BD=CG，DE=GF=BD，EF=3DE．若S△ABC=l，则图中所有三角形的面积之和为 ．
14．使关于x的方程|x|=ax+1同时有一个正根和一个负根的整数a的值是 ．
15．小明的哥哥过生日时，妈妈送了他一件礼物：即3年后可以支取3000元的教育储蓄．小明知道这笔储蓄年利率是3％(按复利计算)，则小明妈妈为这件生日礼物在银行至少要存储 元(银行按整数元办理存储)．
16．m为正整数．已知二元一次方程组
有整数解，即x,y均为整数，则m2= ．
17．如图。矩形ABCD中，F是CD的中点，BC=3BE，AD=4 HD．若长方形的面积是300平方米，则阴影部分的面积等于 平方米．
18．一幅图象可以看成由m行n列个小正方形构成的大矩形，其中每个小正方形称为一个点，每个点的颜色是若干个颜色中的一个．给定了m，n以及每个点的颜色就确定了一幅图象．现在，用一个字节可以存放两个点的颜色．那么当m和n都是奇数时，至少需要 个字节存放这幅图象的所有点的颜色．
19．在正整数中．不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是
20．在密码学中，称直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25．现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为x1，x2,x3,x4．已知整数x1+2x2，3x2，x3+2x4，3x4除以26的余数分别为9，l6，23，12，则密码的单词是 ．
三、解答题(21、23题各15分，22题20分，共50分)
21．有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8．这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3,6，3，9．－10，－1，9，8．继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?
22．如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C +∠D．
证明：β=2α．
23．一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位．生产一个小熊要使用l5个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数，可以使小熊和小猫的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元?

〖答案〗
一. 选择题：
1. A 2. C 3. C 4. D 5. B
6. C 7. B 8. B 9. A 10. D
二. 填空题（本大题共60分。对于每个小题，答对，得6分；答错或不答，不给分）
11. 12. 12 13. 7 14. 0
15. 2746 16. 4 17. 137.5 18.
19. 17 20. hope
三. 解答题：
21. 一个依次排列的n个数组成一个n一数串：，
依题设操作方法可得新增的数为：

所以，新增数之和为：

原数串为3个数：3，9，8
第1次操作后所得数串为：3，6，9，，8
根据（*）可知，新增2项之和为：
第2次操作后所得数串为：
3，3，6，3，9，，，9，8
根据（*）可知，新增2项之和为：

按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：

22. 证法1：因为，
所以（两直线平行，同旁内角互补）
过C作（如图1）
因为，所以（平行于同一条直线的两条直线平行）
因为，有，（两直线平行，内错角相等）
又因为，有，（两直线平行，内错角相等）
所以（周角定义）
所以（等量代换）
证法2：因为，
所以（两直线平行，同旁内角互补）
过C作（如图2）
因为，所以（平行于同一条直线的两条直线平行）
因为，有，（两直线平行，同旁内角互补）
又因为，有，（两直线平行，同旁内角互补）
所以

所以（等量代换）

23. 设小熊和小猫的个数分别为x和y，总售价为z，则（*）
根据劳力和原材料的限制，x和y应满足

化简为
及
当总售价时，由（*）得

得
得，
即
得
得，
即
综合（A）、（B）可得，代入(3)求得
当时，有满足工时和原料的约束条件，此时恰有总售价
（元）
答：只需安排生产小熊14个、小猫24个，就可达到总售价为2200元。

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