西南交通大学数值分析题库.docx

考试目标及考试大纲
本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。
本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。考试内容包括以下部分：
绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。
非线性方程求解：方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken加速法、Newton法与弦截法、牛顿局部收敛性、Newton收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、重根加速收敛法。
解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若当消元法、 求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle和Crout三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改进的平方根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。
解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。
插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理；Lagrange插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；Hermite插值及其插值基函数、误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。
曲线拟合和函数逼近：最小二乘法原理和多项式拟合、函数线性无关概念、法方程有唯一解的条件、一般最小二乘法问题、最小二乘拟合函数定理、可化为线性拟合问题的常见函数类；正交多项式曲线拟合、离散正交多项式的三项递推法。最佳一致逼近问题、最佳一致逼近多项式、切比雪夫多项式、切比雪夫最小偏差定理、切比雪夫多项式的应用(插值余项近似极小化、多项式降幂)。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。
数值积分与微分：求积公式代数精度、代数精度的简单判法、插值型求积公式、插值型求积公式的代数精度；牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式、辛卜生（Simpson）公式、几种低价牛顿一柯特斯求积公式的余项；牛顿一柯特斯公式的和收敛性、复化梯形公式及其截断误差、复化Simpson公式及其截断误差、龙贝格（Romberg）求积法、外推加速法、高斯型求积公式、插值型求积公式的最高代数精度、高斯点的充分必要条件。正交多项式的构造方法、高斯公式权系数的建立、Gauss-Legendre公式的节点和系数。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。
常微分方程数值解：常微分方程初值问题数值解法之欧拉及其改进法、龙格—库塔法、阿当姆斯方法。
本套题库均采用闭卷考试，卷面总分为100分。试题形式分为判别正误、多项选择、填空、解答和证明等多种题型。其中判断题、多项选择题和填空题覆盖整个内容范围，题量多而广，重点集中在基本概念、公式和方法的构建与处理思想等方面，此类题型主要用于考查学生对整体内容的理解与掌握情况；解答题重点放在主要的计算技术和方法的具体实现过程，主要考查学生对主要计算技术、技巧和方法理解与掌握情况；证明题主要集中在主要的计算技术和方法的分析过程，主要考查学生的理论分析能力和知识的综合运用能力。
本课程的考试方法与要求：期末闭卷考试，按时完成上机习题。
学习合格条件：考试卷面成绩³60且上机习题符合要求，二者缺一不可。
综合成绩：原则上=卷面成绩，但可参考上机习题完成情况作微调。

1 绪论
(1). 要使的近似值的相对误差限£0.1%, 应至少取___4____位有效数字。
＝0.4…´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1% ，故可取n³4, 即4位有效数字。
(2). 要使的近似值的相对误差限£0.1%, 应至少取___4___位有效数字,此时的绝对误差限为
(3). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为: e £| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|
(4). 计算 f=(-1)6 , 取＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：__C_____.
(A) , (B) (3-2)2, (C) , (D) 99-70
(5). 要使的近似值的相对误差限£0.1%, 应至少取_________位有效数字？
＝0.4…´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1%
故可取n³3.097, 即4位有效数字。
(6). 设x=3.214, y=3.213，欲计算u=, 请给出一个精度较高的算式u=. u=
(7). 设x=3.214, y=3.213，欲计算u=, 请给出一个精度较高的算式u= . u=
(8). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为: e £| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|；

2 方程根
(9). 设迭代函数j(x)在x*邻近有r（³1）阶连续导数，且x* = j(x*)，并且有j(k)(x*)=0 (k=1,…,r-1)，但j(r) (x*)¹0，则xn+1=j(xn)产生的序列{ xn }的收敛阶数为___r___
(10). 称序列{xn}是p 阶收敛的如果
(11). 用牛顿法求 f(x)=0 的n重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数u(x)=0的单根，u(x)=

(12). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= ________ 解 x1=1.5970149
(13). 用牛顿法解方程的迭代格式为_______________
解
(14). 迭代过程收敛的充分条件是 £ 1.___
(15). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= 1.5970149
(16). 用牛顿法解方程的迭代格式为_______________
(17). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= ________ 解 x1=1.5970149
(18). 迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的 (12) 阶方法

3方程组
(19). 矩阵的 LU 分解中L是一个 _为单位下三角阵，而U是一个上三角阵____。
(20). 设线性方程组的系数矩阵为A=,全主元消元法的第一次可选的主元素为 -8，或8___，第二次可选的主元素为 8+7/8或-8-7/8 ____. 列主元消元法的第一次主元素为 _－8_________；第二次主元素为(用小数表示) 7.5_____;
(21). 在方阵A的LU分解中, 方阵A的所有顺序主子不为零,是方阵A能进行LU分解的充 分 (充分,必要)条件；严格行对角占优阵 能__(能,不能)进行LU分解；非奇异矩阵___不一定___(一定，不一定)能进行LU分解。

(22). 设A是正定矩阵，则A的cholesky的分解 唯一 (唯一,不唯一).
(23). 设，为使A可分解为A=LLT，其中L是对角线元素为正的下三角形矩阵，则a的取值范围是 ，取a=1，则L= 。
(24). 解 ，改进的方法不会

4迭代
(1). ，则 ， ， ；
答：4，3.6180340，5；
(2). 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法___是___收敛（填“是”或“不”）。
(3). 给定方程组 记此方程组的Jacobi迭代矩阵为BJ=(aij)3´3，则a23= -1； , 且 相应的Jacobi迭代序列是__发散_____的。
(4). 设，则关于的 1 ,
(5). ，则
(6). Rn 上的两个范数||x||p, ||x||q等价指的是_$C,DÎR,_C_||x||q _£||x||p£D ||x||q _； Rn 上的两个范数_一定____是等价的。（选填“一定”或“不一定”）。
(7). ，则 19 ,13____，____12 ；
(8). 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法___收敛（填“收敛”或“发散”），
(9). 则 ， ，
解
(10). 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法_____________收敛（填“是”或“不”），
解 （3）因的Jacobi迭代矩阵，，故Jacobi迭代是收敛的，
(11). 已知方程组，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞德尔法的迭代格式是________________；
解
(12). 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法_____________收敛（填“是”或“不”），
解 因的Jacobi迭代矩阵，，故Jacobi迭代是收敛的，
(13). 已知方程组，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞德尔法的迭代格式是________________；
解
(14). ，要使，a应满足___________；
解

(15). 则 ， ， 。
，则 ， 。
解 。

(16). 设若,则矩阵A的1-范数 4 ，cond1(A)= 16 。
(17). 如果线性方程组用Jacobi迭代法，其迭代矩阵满足。如果用Gauss-Seidel迭代法解此线性方程组，则方法 一定 (一定,不一定)收敛
(18). 设 ，则 2
(19). ，则 ， ， ；
答案：（1）19，13，12；
(20). 方程组用超松驰法求解时，迭代矩阵为,要使迭代法收敛，条件0<w<2是 必要条件 (充分条件、必要条件、充要条件)；如果是正定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且仅当w在区间 (0,2) 时。
(21). 给定方程组 ，其Jacobi迭代格式的迭代矩阵为
当 <1 时，Jacobi迭代格式收敛；其Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵为
，当 <1 时Gauss-Seideli迭代格式收敛。
(22). 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法__是__收敛（填“是”或“不”）
(23). 已知,则__6___ ，__7__ , A的谱半径
(24). （1）.设，则关于的 1 , , 。
(25). 则 ， ，
解
(26). 已知方程组，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞德尔法的迭代格式是________________；
解
设线性方程组的系数矩阵为A=,列主元消元法的第一次主元素为 (13) ；第二次主元素为(用小数表示) (14) ; 记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为BG=(aij)4´4，则a23= (15) , . (13) -8 ; (14) 7 .5; (15) -17/4;
(27).

5插值
(28). 在等式中, 系数ak与函数f(x)有 关。（限填“有”或“无”）
(29). 设lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数，则 º0 m=1,2,…,n
(30). 用个不同节点作不超过次的多项式插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插值方法所得多项式 (相等, 不相等)。
(31). 函数 与函数中,是三次样条函数的函数是 _f____ ，另一函数不是三次样条函数的理由是 _____二阶导不连续__________ 。
a) 设Pk(xk,yk) , k=1,2,…,5 为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,…,P5且次数不
超过4次的插值多项式是 x2-3x+1 。 函数 与
函数中,是三次样条函数的函数是 ，另一函数不是三次样条函数的理由是 不满足具有二阶连续导数 。
(32). 令f(x)=ax7+ x4+3x+1, 则f[20, 21,…,27]= a ；f[20, 21,…,28]= 0
(33). 设 (i=0,1,…,n)，则＝ _x_____ , 这里（xi¹xj,i¹j, n³2）。
(34). 牛顿插商与导数之间的关系式为：
(35). 设x0, x1,x2是区间[a, b]上的互异节点，f(x)在[a, b]上具有各阶导数，过该组节点的2次插值多项式的余项为： R2(x)=
(36). 在等式中, 系数ak与函数f(x)__ 无__关.
(37). 高次插值容易产生________龙格（Runge）现象。
(38).
(39). 设Pk(xk,yk) , k=1,2,…,5 为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,…,P5且次数不超过4次的插值多项式是 ___ x2-3x+1___ 。
(40). 令f(x)=x7+ x4+3x+1, 则f[20, 21,…,28] =______0_____
(41). 确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要____4n______个
(42). 若 f (x) 充 分 光 滑， 若2 n+1 次 多 项 式 H2n+1(x) 满 足H2n+1(xi)= f (xi), ,则称H2n+1(x)是f (x)的 __ _ Hermite插值_________多项式，且余项R（x）=f (x)—H2n+1(x)= _________；
(43). 设Pk(xk,yk) , k=1,2,…,5 为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,…,P5且次数不超过4次的插值多项式是 ______ 。
解 （4）y=x2-3x+1
(44). 用个作不超过次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插
值方法所得多项式 相等 (相等, 不相等)

6拟合
(1). 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 _法方程组病态___问题。
(2). 试确定[0,1]区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？答： p(x)=(3/2)x, ; 唯一。
(3). 设f(x)ÎC[a,b]， f(x)的最佳一致逼近多项式是__一定___存在的。

(4). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数,在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. 无穷范数； ||f||¥；2-范数
(5). 若{j0(x), j1(x),…, jn(x)}是[a,b]上的正交族。为f(x)的最佳平方逼近。系数ak=
(6). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 无穷 范数.
在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 2 范数. (无
穷范数；2-范数，1-范数)
(7). 设f(x)=2x4在[-1,1]上的不超过3次最佳一致逼近多项式P(x)= 2x2-1/4 。
(8). 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 (9) 问题.
(9). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数.
(10). 函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数.
(11). 函数f(x)=|x| 在[-1,1]的，次数不超过一次的最佳平方逼近多项式是 。

7积分
(45). Gauss型求积公式不是 插值型求积公式。（限填“是”或“不是”）
(46). n个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1 次
(47). 设称为柯特斯系数 则=______1____
(48). 为辛卜生（Simpson）公式具有___3____次代数精度。
(49). 2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。
(50). 设公式 为插值型求积公式， 则, 且=b-a
(51). n个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n－1次。
(52). Gauss点与积分区间____无关_____但与被积函数___有关。
(53). 当常数A= ，B= ， 时，数值积分公式是Gauss型积分公式
(54). Simpsons数值求积公式具有 ____3_________次代数精度，用于计算所产生的误差值为_____________；
(55). 形如的插值型求积公式，其代数精度至少可达到______n____阶，至多可达到__2n+1________阶；
(56). 勒让德（Legendre）多项式是区间______[-1,1]_____上，带权_____1_____正交的正交多项
(3) 用梯形公式计算积分 9.219524E-003:此值比实际值 小 (大,小)
(57). 用复化梯形公式计算积分,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保
证满足误差小于0.00005的要求（这里）；如果知道，则
用复化梯形公式计算积分此实际值 大 (大，小)。
(58). 若用复化梯形求积公式计算积分 区间应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值。
(59). Simpsons数值求积公式具有 ___3__________次代数精度，用于计算所产生的误差值为_____________；
(60). 形如的插值型求积公式，其代数精度至少可达到_____n_____阶，至多可达到___2n+1_______阶；
(61). 若用复化梯形求积公式计算积分 区间应分 2129 等分，即要
计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过；若改用复化Simpson
公式，要达到同样精度区间应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值
(62). 在以为内积的空间C[0,1]
中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 。
(63). Simpsons数值求积公式具有 ___________次代数精度，用于计算所产生的误差值为_____________；
(64). 形如的插值型求积公式，其代数精度至少可达到__________阶，至多可达到__________阶；

8微分方程
(25). 欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式(步长为h) ，此方法是 阶方法。
，此方法是 2 阶方法。
(26). 称微分方程的某种数值解法为p阶方法指的是其局部截断误差为O(hp+1)。
(27). 求解微分方程数值解的Euler法的绝对稳定区间是____(-2,0)______。

(28). 欧拉预报--校正公式求解初值问题 ,如取步长h=0.1,计算y(0.1)的近似值为 0.005000 ,此方法是 2 阶方法
(29). （1）当 ， 时，下述形式的RK公式为二阶公式

(30). 欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式(步长为h) ，此方法是 2 阶方法。
(31). 用Euler方法解初值问题 的近似解的最终表达式 (取步长)；当时， 。

题库分类
填空题
1. 绪论部分
(32). 设x=3.214, y=3.213，欲计算u=, 请给出一个精度较高的算式u= . u=
(33). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为:
e £| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|
(34). 要使的近似值的相对误差限£0.1%, 应至少取_______位有效数字？
＝0.4…´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1%
故可取n³4, 即4位有效数字。
(35). 要使的近似值的相对误差限£0.1%, 应至少取_________位有效数字？
＝0.4…´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1%
故可取n³3.097, 即4位有效数字。
(36). 对于积分In=e-1xnexdx试给出一种数值稳定的递推公式_________。
In-1=(1-In)/n , In»0
易知 I0=1-e-1
In=1-nIn-1
故In-1=(1-In)/n
0<In£1/(n+1)®0 (n®¥)
取In»0

选择填空
(37). 计算 f=(-1)6 , 取＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？(C)
(A) , (B) (3-2)2,
(C) , (D) 99-70

2. 方程的根
(1). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= (3) x1=1.5970149
(2). 迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的 (12) 阶方法
(3).

3. 方程组直接解法

4. 迭代解法
(1). 设线性方程组的系数矩阵为A=,全主元消元法的第一次可选的主元素为 (13) ，第二次可选的主元素为 (14) .列主元消元法的第一次主元素为 (15) ；第二次主元素为(用小数表示) (16) ; 记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为BG=(aij)4´4，则a23= (17) ； -8，或8； 8+7/8或-8-7/8； -8； 7 .5；

第 1 章 插值
§1. 填空
(1). 设Pk(xk,yk) , k=1,2,…,5 为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,…,P5且次数不超过4次的插值多项式是 ______ 。
y=x2-3x+1
(2). 设x0, x1,x3是区间[a, b]上的互异节点，f(x)在[a, b]上具有各阶导数，过该组节点的2次插值多项式的余项为： ______ .
R2(x)=
(3). 设 (i=0,1,…,n)，则＝ ______ , 这里（xi¹xj,i¹j, n³2）。
x
(4). 三次样条插值与一般分段3次多项式插值的区别是_____
三次样条连续且光滑，一般分段3次连续不一定光滑。
(5). 插值多项式与最小二乘拟合多项式都是对某个函数f(x)的一种逼近，二者的侧重点分别为 ________ 。

用个作不超过次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插
值方法所得多项式 相等 (相等, 不相等)
(6).

§2. 计算题
(1). (a10分)依据下列函数值表，建立不超过3次的lagrange 插值多项式L3(x).
x
0
1
2
3
f(x)
1
9
23
3
解：基函数分别为
l0(x)=-x3+x2-x+1
l1(x)=
l2(x)=
l2(x)=
Lagrange 插值多项式
L3(x)= =.
(2). (b10分)已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的3次插值多项式P3(x)的x3的系数为6，试确定数据y.
解：P3(x)＝
故最高次项系数为

带入数值解得y=4.25.
(3). (c15分)设lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数，证明

证明：
其中，wn+1(x)=
故当0£j£n时， =xj,
当j=n+1时，xn+1=
将x=0带入ok!
(4). (c10分)设lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数，证明
是n次多项式，且最高次系数为x0+…+ xn,
证：查
--5分
注意余项=
=xn+1-wn+1(x) ---5分
ok!
(5). (c10分)设函数f(x)是k次多项式，对于互异节点x1,…, xn,， 证明当n>k时，差商f [x, x1,…,xn]º0，当n£k时，该差商是k-n次多项式。
证明：因
注意到n>k时， f(n)(x)=0，
n=k时， f(n)(x)=k!ak，ak为f(x)的k次项系数。(7f)
n£k-1 由差分定义递推,查n=k-1,k-2,… (3f)
ok!
(6). (c10分)设g(x)和h(x)分别是f(x)关于互异节点x1,…, xn-1以及互异节点x2,…, xn的插值多项式，试用g(x)和h(x)表示f(x)关于互异节点x1,…, xn的插值多项式.
解：令q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1)
为待定n次多项式，A,B为待定系数，注意到
g(xk)=f(xk), k=1,…,n-1
h(xk)=f(xk), k=2,…,n -------(7f)
带入得A=1/x1-xn,B=1/xn-x1,
带入ok!
(7). (a10f)设lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数，证明
(1) m=0,1,…,n
(2) º0 m=1,2,…,n
证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知（2）
(8). (a10f)证明对于不超过k次的多项式p(x)有
k£n
lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数
证明：由插值唯一性定理知。
(9). (a10f)设p(x)是任意首次项系数为1的n+1次多项式，lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数
证明
其中
证明：插值余项直接计算ok!
(10). (a10f)已知函数y=f(x)在点x0的某邻域内有n阶连续导数，记xk=x0+kh (k=1,2,…,n), 证明

证明：因 xÎ(x0,x0+nh)注意到n阶导数连续性，两边取极限ok!
(11). (c10f)用等节距分段二次插值函数在区间[0,1]上近似函数ex, 如何估算节点数目使插值误差£´10-6 .
解：考虑子区间[xi-1,xi]二次插值余项

令x=xi+1/2+s(h/2)
上式化简为

令 得h£0.028413
故子区间个数为N=2/h»70.4, 取N=71
故插值节点数为2N+1=143
(12). (b10分)设f(x) 在区间[a,b]上有二阶连续导数，P1(x)为其以a,b为节点的一次插值多项式，证明
证明：利用插值余项结果可得线性插值多项式P1(x)在子区间[a,b]上的余项估计式，再估计最值ok!

(13). (b10分)已知s(x)是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定
s(x)=
中的参数b,c,d
解：利用边界条件s/(2-0)=0 及样条函数定义可得
b=-1,c=-3,d=1
(14). (b10分)判断下面2个函数是否是[-1,1]上以0为内节点的三次样条函数。设
(1) S(x)=
(2) S(x)=
解：(1)是，(2)否。
(15). (a10f)令f(x)=x7+ x4+3x+1
求f[20, 21,…,27]及f[20, 21,…,28]
解：
f[20, 21,…,27]=1
f[20, 21,…,28]=0
(16). (a10f)证明n阶均差有下列性质：
(1) 若F(x)=cf(x), 则
F[x0, x1,…,xn]=c f[x0, x1,…,xn]
(2) 若F(x)=f(x)+g(x), 则
F[x0, x1,…,xn]= f[x0, x1,…,xn]+ g[x0, x1,…,xn]
证明：
其中，
ak=
ok!
(17). (a10f)回答下列问题：
（1）什么叫样条函数？
（2）确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？
（3） 三转角法中参数mi的数学意义是什么？
答：（1）略
（2）4n个
（3） mi=S/(xi) 即样条函数在节点xi处的一阶导数。
(18). (a10f)回答下列问题：
（1）何谓Hermite 插值问题？
（2）Hermite 插值与一般多项式插值有什么区别？

第 2 章 拟合
(1). 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 (9) 问题.
(2). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数. 在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. 无穷范数 ||f||¥；2-范数
(3).

§3. 计算题
(1). (b10f)设f(x)Î[-a,a]的最佳一致逼近多项式为P(x),试证明
(1) f(x)是偶函数时P(x)也是偶函数；
(2) f(x)是奇函数时P(x) 也是奇函数。
证明：（1）令t=-x, 考查
|f(x)-P(x)|= |f(-t)-P(-t)|= |f(t)-P(-t)|, 故P(-x)也是f(x)Î[-a,a]的最佳一致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的唯一性知P(-x)=P(x).
（2）略。
(2). (a10f)试确定[0,1]区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？
解： p(x)=(3/2)x, 唯一。
(3). 求f(x)=2x3+x2+2x-1在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式P(x)。已知
T0(x)=cos0=1
T1(x)=cosq=x
T2(x)=cos2q=2x2-1
T3(x)=cos3q=4x3-3x
T4(x)=cos4q=8x4-8x2+1
解: f(x)=2x3+x2+2x-1-P(x)
=2.T3(x)= T3(x)
故P(x)= f(x)-T3(x)= 2x3+x2+2x-1-2 x3+3x
= x2+x-1
(4). 求f(x)=2x4在[-1,1]上的3次最佳一致逼近多项式P(x)。已知
T0(x)=cos0=1
T1(x)=cosq=x
T2(x)=cos2q=2x2-1
T3(x)=cos3q=4x3-3x
T4(x)=cos4q=8x4-8x2+1
解：P(x)= 2x2-1/4
(5). 求f(x)=2x4在[0,2]上的3次最佳一致逼近多项式P(x)。已知
T0(x)=cos0=1
T1(x)=cosq=x
T2(x)=cos2q=2x2-1
T3(x)=cos3q=4x3-3x
T4(x)=cos4q=8x4-8x2+1
解：令x=t+1, tÎ[-1,1], f(x)=g(t)=(t+1)4
故g(t)的3次最佳一致逼近多项式为
P3(t)=4t3+7t2+4t+7/8
故f(x)的3次最佳一致逼近多项式为
P(x)=P3(x-1)= 4x3-5x2+2x-1/8
(6). 设f(x)ÎC[a,b], ,证明f(x)的最佳零次一致逼近函数为s(x)=(M+m)/2 ,其中M和m分别为f(x)在[a,b]上的最大与最小值。
(7). 证明[a,b]上的正交函数系H={h1(x), h2(x),…, hm(x)}是线性无关的函数系。
证：写出线性组合式子 ――――2分
作内积求系数―――――――――2分
(8). （10分）求f(x)=lnx ,xÎ[1,2]上的二次最佳平方逼近多项式的法(正规)方程组。（要求精确表示，即不使用小数）
解：取F=span{1,x,x2},[a,b]=[1,2] 法方程组为

计算知

解之得：
a0=-1.142989, a1=1.382756, a2=-0.233507
最佳平方逼近多项式为P2(x)=-1.42+1.38x-0.233x2
平方误差为
||f-P2||22=(f,f)-a0(f,j0) –a1(f,j1) –a2(f,j2)»0.4´10-5
(9). 设f(x)在有限维内积空间F＝span{j0,…,jn}上的最佳平方逼近为p(x),试证明，f(x)-p(x)与F中所有函数正交。
证明：查
(f(x)-p(x), jj)
=(f, jj)- (p(x), jj)
注意到ak是法方程组的解。而法方程组
两边的j-th 分量为
((jj,j0) (jj,j1) …(jj,jn)) =(p(x), jj)
ok!
(10). 设是在空间F＝span{j0,…,jn}中对f(x)ÎC[a,b]的最佳平方逼近,证明：(f-p, f-p)=(f,f)-
证：注意到ak是法方程组的解。而法方程组

故"k=1,…n, (f(x)-p(x), jk)=0, ------------(5分)
(p-f),p)=0 -------------------(5分)
(f-p, f-p)
=(f,f)-2(f,p)+(p,p)
=(f,f)-(f