2023年归纳推理.doc

第6讲 归纳推理
应知：归纳推理的过程正好与演绎推理相反，归纳推理有完全归纳推理与不完全归纳推理之分。
应会：运用归纳推理。

归纳推理的过程正好与演绎推理相反，是从特殊命题推出一般命题。归纳推理有完全归纳推理与不完全归纳推理之分。不完全归纳推理作为逻辑推理是不严密的，因此在证明命题时并不使用。它是人们发现规律、产生猜想的一种方法，著名的歌德巴赫猜想就是由不完全归纳推理得到的。
归纳推理共有五种形式：求同法、求异法、求同求异法、剩余法、共变法。

1．求同法
在不同的场合考察到相同的现象，那么各场合相同的条件也许就是引起这个现象的因素。
例. 某县农民纷纷出外求仙拜佛，影响生产。不久邻县几个地区也发生类似情况。经调查发现，在这些地方，总有一个六十多岁的老太婆出现，据此推断，这个老太婆很也许就是迷信的根源。后经查实，果真如此。
例.（初一）请你观测下面的算式，然后不用计算，把空填好。
1×99=99
2×99=198
3×99=297
4×99=396
5×99=
6×99=
7×99=
8×99=
9×99=
分析：上述的积具有这样的规律，个位数从上往下，依次递减1；十位数都是9；百位数从上往下，依次递增1。
点评：这是运用不完全归纳推理得出的结论，不一定对的。还需要验算。
例. （高二）求和S=1•1!+2•2!+3•3!+……+n•n!
分析：
S=1 1!=1
S=5 2!+2
S=23 3!=6
S=119 4!=24
S=719 5!=120
6!=720
从上述S到S的结果中发现，规律为S=(n+1)!-1，这很也许就是所求之和。
例. （高三）平面上的两条直线，最多只有一个交点，互相提成四段，把整个平面分割成4块。3条直线、4条直线……n条直线呢？
分析：为了寻找规律，我们把1-4条直线的情况列成下表：
直线条数
1
2
3
4
增长交点数

1
2
3
交点总数
0
1
1+2=3
3+3=6
提成段数
1
4
9
16
增长块数

2
3
4
总块数
2
4
3+4=7
7+4=11
比如从3根增长到4根，由于增长的1根与其他3根最多可以有3个交点，即增长（4-1）个交点，由此交点总数为3+3=6个。由于3个交点分直线为4段，因此4根直线被提成的总段数就为4×4=16段。由此，划分的平面块数也增长了4块，总块数为7+4=11。
这样，我们就不必画出图形，依此类推出n条直线时，最多交点数为：
1+2+3+……+（n-2）+（n-1）=
互相提成的段数为：n。
平面被提成块数为：2+2+3+……+（n-1）+n=1+ ，
点评：这是运用不完全归纳推理得出的结论，不一定对的。还需要证明。
备用例. 歌德巴赫猜想
1742年，德国数学家歌德巴赫发现下面的事实：
4=1+3
6=3+3
8=3+5
10=5+5
12=5+7
……
上面这些式子的左边都是偶数，右边都是两个素数的和。于是他提出一个猜想“任何一个大于2的偶数，均是两个素数之和。”这一猜想至今还没有完全证明，目前做得最佳的是我国的数学家陈景润。

2．求异法
某种现象在第一个场合出现，在第二个场合不出现，那么两个场合不相同的条件也许就是引起这个现象的因素。
例. 有这么一个传说，很久以前，有一个音乐家，他想创作一部《森林交响乐》。于是在九月的一个晴朗的上午，他去到原始森林，看到一位美丽异常的少女正对着溪水唱歌，这首歌的旋律正适合音乐家的需要，于是他想请少女再唱一遍，可是少女却说：“我是魔王的奴隶，魔王规定我六十年只能唱一首歌。” 音乐家苦苦恳求，少女被他的精神感动，便说：“你后面有五朵花，其中一朵就是我，此外四朵是昨晚就在那里守夜的魔鬼。假如你能采到我，你的愿望不仅能实现，并且我还能成为你的终身伴侣。假如你采错了，你就会变成魔王的奴隶。”少女说完之后便化作一屡青烟飘走了。音乐家一转身，果然见到有五朵非常美丽的花，他观测了一阵，然后脸上泛起了自信的笑容，采了其中的一朵，这朵花在他的手上慢慢地化作一屡青烟，落在地上，美丽的少女从中走出来，挽起他的胳膊，两人高快乐兴地回家去了。
问音乐家是怎么做出判断的？
答案：九月的夜晚，假如天气晴朗，到第二天早上，地上的花草都会粘满露水，守夜的魔鬼身上也必然会有露水。所以他就采了那朵没有露水的花。

3．求同求异法
把凡是出现某现象的事例归成一组，把凡是不出现某现象的事例归成另一组，然后把两者进行对比。假如前者都有某一条件，而后者都没有这个条件，则此条件就是导致这个现象的因素。
例. 某单位发现半年内有四次重要会议的内容被泄漏，于是把这半年内参与七次会议的人员名单都列出来，发现泄密的这四次会议都有某甲参与，而未泄密的那三次会议都没有某甲参与，所以某甲很也许就是泄密者。

4．剩余法
假如已知某现象的一部分是某些条件的结果，那么剩余条件就也许是产生另一部分现象的因素。
例. 几十年前，人们开始向电离层发射电磁波，通过对电离层回波的分析，来研究电离层对电磁波的影响。后来人们经常发现，回波有时候会无缘无端地增强许多，于是有人提出猜测：太空中存在着能反射电波的物体。（后来证实，飞机、流星、云团等都能反射电磁波，如是人们便发明了雷达，用来发现敌机的入侵和进行气象预报。）

5．共变法
在发生某种现象的场合，假如只有一个条件是变化的，并且这个条件的变化会使这一现象也随之变化，那么这个条件就是这个现象变化的因素。
例. 精确的测定表白，心肌梗塞患者的头发中的含钙量已经到了最低的限度，而头发中的其它化学元素没有什么变化。于是人们相信，根据头发中的含钙量可以诊断出心肌梗塞发展的情况。

1．（初一）填空：

6
42
4
20
8
72

2
5
30
11
132
7
56
9
90

3
6
12
24
48
96
192
384
768
1536

6144

143
248
025
621
314
805
502
108
482

216
810

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