第13章球函数.doc

第十三章 球函数
在球坐标系下，三类问题关于空间部分变量分离成l阶球贝塞尔方程和l阶球函数方程
对于l阶球贝塞尔方程:

其解为：

而球函数方程可进一步分离变量

§44. 轴对称球函数
当所考虑的问题具有轴对称时，选取对称轴作为极轴z,则所考虑的问题和无关。这时球函数退化为l阶勒让德方程的解，即

其解退化为l 阶多项式——称为勒让德多项式，记为。
§44.1 勒让德多项式
① 幂指数形式。
l阶勒让德方程的解为

当l=2k时，退化为为最高指数的多项式；
l=2k+1时，退化为为最高指数的多项式。
即无论l 为偶数还是奇数总有一特解为勒让德多项式
若调整勒让德多项式（无论l 为偶数还是奇数）最高次幂xl的系数，则利用递推关系
，可将其余系数一一指出： ……
，则勒让德多项式为
，前几个勒让德多项式为：
P0(x)=1, P1(x)=x, , ,

② 勒让德多项式的微分形式

③ 勒让德多项式的积分形式
，容易证明，
§44.2 勒让德多项式的性质
① 奇数阶勒让德多项式只含有x的奇次幂项，偶数阶勒让德多项式只含有x的偶次幂项
② 不同的勒让德多项式在区间（-1，+1）上正交，而。
③ 勒让德多项式的模Nl

④ 勒让德多项式是完备的，可作为基本函数族进行广义傅里叶展开
⑤ 母函数与递推公式
由于勒让德多项式乘以R(r)是具有轴对称性，θ角在均有意义的稳定场的特解。因此，在半径为R的球的北极置的单位正电荷的电势应为稳定场的解，于是有
。
因此称为勒让德多项式的母函数。利用函数可推出

练习 P344.3
§45. 一般的球函数
球函数方程：

对于不具有对称性的问题必须求解缔合勒让德方程。
§45.1 缔合勒让德方程
将缔合勒让德方程作代换，则

代入缔合勒让德方程得
，
应用求导的莱布尼兹规则：
对勒让德方程，求导m次，其结果是：

比较两方程有 是缔合勒让德方程满足自然边界条件（x=±1有限）的解，即缔合勒让德方程和自然边界条件构成本征值问题，其本征值为l(l+1) (l=0,1,2……)，其相应的本征函数称为缔合勒让德球函数，记为 ，又由于是l次多项式，则m的最大取值为l，即m=0,1,2…l。根据勒让德多项式的微分形式可得缔合勒让德函数的微分形式，和勒让德多项式类似。缔合勒让德函数也有积分形式
。
§45.2 缔合勒让德函数的性质
① 同一m而不同阶l的缔合勒让德函数在区间（-1，+1）上正交
② 缔合勒让德函数的模
③ 同一m而不同阶l的缔合勒让德函数是正交完备的，可作为基本函数簇对f(x)进行广义傅里叶级数展开
④ 缔合勒让德函数的递推公式
利用勒让德多项式的递推公式
，对x求导m次有
，
利用勒让德多项式的母函数(r<1)：
，比较两边rk+1的系数：
，
再对x求导m-1次得
，代人前式有
，两边遍乘，
则得缔合勒让德函数的递推公式

§45.3 球函数
一般球函数的表示形式
因
则一般球函数又可表示成
一般的球函数的性质
① 独立的l阶球函数共有2l+1个
② 球函数中任意两个在球面s上（即，）正交。
③ 球函数的模

用，
，因此
④ 任一函数可在球面s上按球函数展开

或作复数形式的展开

例1. 用球函数把下列函数展开：① ②
解：利用
，，，，，
则
①②
例2. 用球函数把下列函数展开
①
②例3. 在半径为a 的球外（r>a）求解
解：球外部分的解为：

由边界条件有

则，