三年级奥数等差数列求和习题及答案.doc

(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案
计算（三)等差数列求和
知识精讲
一、 定义：一个数列的前项的和为这个数列的和。
二、 表达方式：常用来表示 .
三：求和公式：和（首项末项）项数,。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手:
（思路1)

（思路2)这道题目，还可以这样理解：

即，和.
四、中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.
譬如：① ,
题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于；
② ，
题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33,而和恰等于。

例题精讲：
例1:求和:
（1)1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=
（3）1+4+7+11+13＋…＋85=
分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（3）式项数=（85—1）÷3+1=29
和=(1+85）×29÷2=1247
答案：（1）21 （2）36 （3）1247

例2：求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+4+…+199
（2）2+4+6+…+78
(3）3+7+11+15+…+207
分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和.
例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900
答案：(1）19900 （2）1160 （3)5355

例3：一个等差数列2，4，6，8，10,12,14,这个数列的和是多少?
分析：根据中项定理,这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，
即为：
答案:56

例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少.
分析：这个数列的首项是1，末项是401,项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：
和=（1+401）×101÷2=20301
答案：20301

例5：有一串自然数2、5、8、11、……，问这一串自然数中前61个数的和是多少？
分析:即求首项是2,公差是3，项数是61的等差数列的和，
根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182
根据求和公式：和=(2+182)×61÷2=5612
答案：5612

例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…
求：
　　 (1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？

(2）207排在第几排第几个数？

（3）第13排各数的和是多少?
分析：整体看就是自然数列,每排的个数的规律是1，3，5，7。。。即为奇数数列 若排数为n（n≥2de 自然数），则这排之前的数共有（n—1）（n-1）个。
（1） 第十二排共有23个数。前面共有（1+21）×11÷2=121个数,
所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23—1)×1=144
（2）前十四排共有196个数,前十五排共有225个数,所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第(207—197=10）个数
(3）前十二排共有144个数,所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25—1）×1=169，所以和=(145+169）×25÷2=3925
答案：(1）122;144 （2)第十五排第10个数 (3)3925

例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少?
分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：，
所以这个数列最大的奇数即第15个数是：。
答案：147.

例8：把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。
即第1个数是15，第6个数是40.
答案：第1个数：15；第6个数：40。

例9：已知等差数列15，19,23,……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少?
分析：公差=19-15=4
项数=（443—15)÷4+1=108
倒数第二项=443-4=439
奇数项组成的数列为：15,23，31……439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258
偶数项组成的数列为:19，27，35……443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474
差为12474-12258=216
答案：216

例10：在这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？
分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数,在中,我们很容易知道能被9整除的最小的数是，最大的数是，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：项，所以，所求数的和是：．
也可以从找规律角度分析．
答案：

例11:一串数按下面的规律排列:1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？
分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列:6，9，12，15.。.。..
即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和
末项=6+3×（35-1）=108
和=（6+108)×35÷2=1995
答案：1995

例12：在下面个方框中各填入一个数,使这个数从左到右构成等差数列，其中、已经填好，这个数的和为 。

分析:由题意知：这个数列是一个等差数列,又由题目给出的两个数和知:公差为，那么第一个方格填，最后一个方格是，由等差数列求和公式知和为：。
答案：180。

本讲小结:1。 一个数列的前项的和为这个数列的和,我们称为 。
2. 求和公式：和（首项末项)项数,。
3。对于任意一个奇数项的等差数列,各项和等于中间项乘以项数。

练习：
1。 求和：（1）1+3+5+7+9= (2）1+2+3+4＋…＋21=
（3）1+3+5+7+9＋…＋39=
分析:弄清楚一个数列的首项，末项和公差,从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
答案:(1）25 （2）231 (3）400

2. 求下列各等差数列的和。
（1)1+2+3+…+100
（2）3+6+9+…+39
分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
答案：（1）5050 （2)273

3. 一个等差数列4，8，12,16，20,24,28，32,36这个数列的和是多少？
分析：根据中项定理,这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数,
即为：20×9=180
答案：180

4. 所有两位单数的和是多少？
分析：即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少。
和=（11+99）×45÷2=2475
答案：2475

5。 数列1、5、9、13、……，这串数列中，前91个数和是多少？
分析：首项是1，公差是4,项数是91,根据重要公式，可得:
末项=1+（91—1）×4=361
和=（1+361）×91÷2=16471
答案：16471

6。 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有15个正方形,问：“金字塔"中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？
分析：由题意可知,从上到下每层的正方形个数组成等差数列,
其中，，，所以,
所以,白色方格数是:
　　 黑色方格数是:。
答案：28

7。 。
分析：根据中项定理知：，所以原式
.
答案:7。
8。 把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少?
分析:公差为2的递增等差数列。
平均数:248÷8=31,第4个数：31—1=30；首项:30-6=24；末项：24+(8—1）×2=38.
即:最大的数为38。
答案：38

9。 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.
分析：解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3,5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，
所以：原式=（2+2000)×1000÷2—（1+1999）×1000÷2=1000
解法2:注意到这两个等差数列的项数相等,公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000
答案:1000

10。 在这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
分析：先计算的自然数和，再减去能被9整除的自然数和,就是所有不能被9整除的自然数和了．，,所有不能被9整除的自然数和：．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有的自然数和,再排除掉能被9整除的自然数和,这样计算过程变得简便多了。
答案：594

11.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？
分析:观察发现,这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是3，公差是1 ，末项是10,项数是8
根据求和公式，和=(3+10）×8÷2=52（根）
所以这堆钢管共有52根.

答案：52根。

12。 求100以内除以3余2的所有数的和。
解析:100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列，首先求出一共有多少项, ,再利用公式求和.
答案：1650。