设正数p,q满足p^3+q^3=2,求证：p+q≤2.doc

l 设p>0，q>0，且p3+q3=2，求证：p+q≤2.
考查 不等式的证明 基本不等式 导数在函数中的应用
解答
1． 利用一元二次方程有实根的判别式法
方法一：设p+q=k，则有q=k-p，两边立方，得
q3=(k-p)3=k3-3k2p+3kp2-p3，即p3+q3=k3-3k2p+3kp2，
又因为p3+q3=2，所以得到3kp2-3k2p+k3-2=0 ※
因为p>0，q>0，所以k>0，从而关于p的方程（※）有实根，
故△=(3k2)2-12k(k3-2)0，解得k2，即p+q2.
方法二：利用p3+q3=(p+q)3-3pq(p+q)=2,pq=；
设p+q=k，从而pq=，
故p、q是关于x的方程x2-kx+=0的两个实根，
从而△=k2-40，即，，
解得（说明：亦可以由k>0，得到k3-80），所以p+q2.
2． 利用简易逻辑中的反证法
方法三：假设p+q>2，则p>2-q，两边立方得p3>8-12q+6q2-q3，
而p3+q3=2，6q2-12q+6<0，即6(q-1)2<0，这是不可能的，故p+q2.
方法四：假设p+q>2，则p>2-q，两边立方得p3>8-12q+6q2-q3，
即得p3+ q3>8-12q+6q2=6(q-1)2+22，
从而p3+ q3>2，这与已知条件“p3+q3=2”矛盾，故p+q2.
3． 利用基本不等式或均值不等式
方法五：pq=，又p+q>0，
所以得到4(p+q)3-83(p+q)3，即(p+q)38，从而p+q2.
方法六：因为p>0，q>0，所以p+q，两边平方得pq ；
又因为(p+q)3=p3+q3+3pq(p+q)=2+3pq(p+q) 2+3，
解得p+q2.
方法七：因为p>0，q>0，所以，
两式相加，因为p3+q3=2，得.
4． 用导数在函数中的应用来求解
方法八：设x=p，则根据条件有q3=2-x3，从而q=，
设函数，其中(0, )，
求导，；
令，得，
列表得
x
(0,1)
1
(1, )

+
0
-
f(x)
↑
极大值（最大值）
↓
从而，即p+q2.
（说明：事实上，通过上面的分析，得到.
方法九：由于p3+q3=2，所以1-p3=q3-1，故p3,1,q3成等差数列，设公差为d，
则有p3=1-d，q3=1+d，其中d∈(-1,1)，p+q=；
记
，
可见函数在区间(-1,0)上是增函数，在区间(0,1)上是减函数，
从而，即p+q2.
方法十：根据条件有，
又，设
即，其中
然后求导（略）.
5． 利用向量来求解
方法十一：设m=(,)，n=(,)，则有m·n|m||n|，
即p2+q2，即p2+q2，
而，所以，解得p+q2.
6． 利用函数的凸性来解
方法十二：考察函数在区间上是下凸函数，

从而对于区间内的任意两个实数p、q，
都有，即，
因为p3+q3=2，所以，p+q2.