长度周长面积.doc

长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构是什么
作者： 刘莉 (小学数学  辽宁阜新小学数学班 )    评论数/浏览数： 4 / 154    发表日期： 2011-06-30 13:39:25
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              长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构是什么
长度、面积、体积在概念内涵和思维上既有区别又有联系。在概念内涵方面，它们是有差别的。“长度”是1维的概念，示意物体或线段长短的程度；“面积”是２维概念，示意物体名义或平面图形的大小；“体积”是三维的概念，示意物体所占空间的大小。在度量和角力计算的思维法子上它们又示意出配合的特征。线段之间大概终了吵嘴角力计算，平面图形之间大概终了大小角的计算，物体之间大概终了所占空间大小的角力计算。 为了让学生从小建立起从1维到２维再到三维的空间观念，在放弃讲授历程基本一致的根本上，老师还要留意颠末多种相斥和角力计算的举措来机动地凸显长度、面积和体积三者之间的甄别与联系，学生在相斥与角力计算中履历认知布局的整合历程。这种相斥与角力计算至少大概从下列几个方面来加以表现：  三是度量货色和单位上的相斥与角力计算。对于学生而言，度量长度的常用货色因而1厘米为单位的尺，度量面积的常用货色因而l平方厘米为单位的正方形格子纸，度量体积的常用货色因而1立方厘米为单位的正方体。教师在疏导学生终了相斥与角力计算的同时，还大概仰仗对比式的板书打算来凸显三维概念之间的区别与联系，长度、面积和体积三者之间有着紧密亲密的内涵布局相干。它们的内涵相干至少示意在下列两个方面： 长度、面积和体积是空间与图形知识中1组最为基本的从1维到２维再到三维的度量概念。因为小学数学讲义1般将长度、面积和体积分别编排在小学差异的年级终了讲授，良多教师熟习不到这些散播在差异年级的形式是有内涵支解的，天然也就不会关注怎么样在讲授中相斥和揭示这些概念之间的区别与联系，学生因而也不容易在何等的讲授中建立起由1维到三维的空间观念。因为教师已然风尚于局限在知识点里的思忖和备课，在讲授中就容易示意出下列方面的题目： 第三，教师会关注学生对度量单位把持的合感性，如度量铅笔盒的长度、书的长度大概决定厘米做单位，度量学生的身高、黑板的长度大概决定米做单位，等等。诸如此类，从学生对于度量单位认识和度量货色把持的角度来讲，该留意的教师似乎都留意到了，但恰好忽视了讲授历程中；最紧张的育人资本的开辟，即前人在形成度量货色和度量单位历程中的聪颖。在小学知识“空间与图形”的知识中，长度、面积和体积是1组最为基本的从1维到２维再到三维的度量概念。因此，在9年任务教导阶段的小学数学讲授中，如何接济学生建构起懂得的三维空间观念，是我们必须思忖且需作出回答的题目。为此，我们首先须要对以往线段长度、面积，体积的概念讲授终了沉思；其次是要从新认识线段长度、面积、体积概念讲授的育人代价；开首要在开辟讲义育人资本的根本上对线段长度、面积和体积概念讲授终了团体的筹算与打算。 就具体的1节课的讲授而言，为了接济学生履历概念的形成历程，履历度量货色产生和度量单位建立的历程，长度、面积、体积概念的讲授理应有基本相通的讲授历程打算。基本的讲授历程布局主要由三个讲授枢纽构成：1是度量概念的形成，２是度量法子的角力计算，三是度量单位的形成。此中度量概念形成的枢纽是讲授的根本扫数，度量单位形成的枢纽则是讲授的外围扫数，而度量法子角力计算的枢纽1方面是为了进1步懂得和强化前1枢纽形成的概念，另1方面是为后1枢纽中的间接角力计算的标准统1作好法子上的铺垫，因此，度量法子角力计算的枢纽在讲授中只是起承先启后的承接和过渡作用，它不是度量概念讲授的外围任务，不克不及搁浅在为法子而法子的讲授上。 第２，教师容易关注知识的后果操作，忽视知识形成历程中的育人资本开辟。即使是在具体的1节课的讲授中，良多教师也只是把讲授的重心放在如何认识度量单位和粗略把持度量货色上面，忽视度量货色的创举和度量单位的形成历程对于学生生长的紧张代价。以长度概念的讲授为例，教师在讲授中1般会留意下列几方面的题目：首先，教师会关注学生对度量单位建立感性体验，如1厘米相称于人的指甲的长度，1米相称于1个1年级学生的身高，等等；其次，教师特别关注学生对度量货色把持的粗略性，如学生是否使直尺的零刻度线与度量东西的肇端点对齐，是否使直尺与度量东西重合(点对点，线对线)，等等；
2.长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构是什么？
作者： 吕新敏 (小学数学  青海海东循化小学数学一班 )    评论数/浏览数： 1 / 134    发表日期： 2010-12-01 11:41:02
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第一，长度、面积和体积在要素构成上具有逻辑关系。几何形体构成的基本要素是点、线和面，其中，无数个点累积而成了线(从这个意义上长度也可以称为线积)；无数条线累积而成了面(因此而称为面积)；无数个面累积而成了体(因此而称为体积)。因此，点、线、面和体中的前者分别依次是后者的构成要素，而后者又分别是在前者基础上的形成和拓展。
      第二，长度、面积、体积在概念内涵和思想方法上既有区别又有联系。在概念内涵的语言表述方面，它们是有差异的。“长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度；“面积”是二维的概念，表示物体表面或平面图形的大小；“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。因此，它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。
长度、面积和体积三者之间有着密切的内在结构关系。它们的内在关系至少表现在以下两个方面：
      第一，长度、面积和体积在要素构成上具有逻辑关系。几何形体构成的基本要素是点、线和面，其中，无数个点累积而成了线(从这个意义上长度也可以称为线积)；无数条线累积而成了面(因此而称为面积)；无数个面累积而成了体(因此而称为体积)。因此，点、线、面和体中的前者分别依次是后者的构成要素，而后者又分别是在前者基础上的形成和拓展。
      第二，长度、面积、体积在概念内涵和思想方法上既有区别又有联系。在概念内涵的语言表述方面，它们是有差异的。“长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度；“面积”是二维的概念，表示物体表面或平面图形的大小；“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。因此，它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。
长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构是什么？
· 作者： 胡广英 (小学数学  甘肃白银四期小学数学二班 )
· 评论数/浏览数： 2 / 21
· 发表日期： 2011-08-01 16:57:48
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长度 周长 面积 体积 概念的 共同本质结构
 长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构是什么？
      第一，长度、面积和体积在要素构成上具有逻辑关系。几何形体构成的基本要素是点、线和面，其中，无数个点累积而成了线(从这个意义上长度也可以称为线积)；无数条线累积而成了面(因此而称为面积)；无数个面累积而成了体(因此而称为体积)。因此，点、线、面和体中的前者分别依次是后者的构成要素，而后者又分别是在前者基础上的形成和拓展。
      第二，长度、面积、体积在概念内涵和思想方法上既有区别又有联系。在概念内涵的语言表述方面，它们是有差异的。“长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度；“面积”是二维的概念，表示物体表面或平面图形的大小；“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。因此，它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。
        为了便于帮助学生逐渐建立起从一维到二维再到三维的空间观念，在保持教学过程基本一致的基础上，教师还要注意通过多种沟通和比较的方式来灵活地凸显长度、面积和体积三者之间的区别与联系，努力帮助学生在沟通与比较中经历认知结构的整合过程。这种沟通与比较至少可以表现以下几个方面：
第一，概念内涵表述上的沟通与比较。即长度用“长短”表示，面积用“大小”表示，体积用“占有空间的大小”表示。
第二，度量方法上的沟通与比较。例如，在运用重叠法进行直接比较时，不妨通过重叠过程中要点的强调，来凸显一维的重叠与二维的重叠以及三维的重叠的差异。也就是说，在比较物体或线段的长短时，重叠过程中要注意一维方向的线重叠，即“点对齐、线重叠(边对齐)”；在比较平面图形面的大小时，重叠过程中要注意二维方向的线重叠，即“长重叠、宽重叠”；在比较物体所占空间的大小时，重叠过程要中注意三维方向的线重叠，即“左右的长重叠、前后的宽重叠、上下的高重叠”。又如，在借助中介物进行间接比较时，需要凸显和强调借助中介物的什么部分进行比较。即在比较物体或线段的长短时，是借助中介物一条边进行比较；在比较平面图形面的大小时，是借助中介物的一个面进行比较；在比较物体所占空间的大小时，是借助中介物的整个物体进行比较。
  第三，度量工具和单位上的沟通与比较。对于学生而言，度量长度的常用工具是以1厘米为单位的尺，度量面积的常用工具是以l平方厘米为单位的正方形格子纸，度量体积的常用工具是以1立方厘米为单位的正方体。教师在引导学生进行沟通与比较的同时，还可以借助对比式的板书设计来凸显三维概念之间的区别与联系，如表2所示。
总之，通过这些有意识的沟通与比较，不仅可以使学生形成清晰的概念认识，而且还可以使学生建立起从一维的线到二维的面再到三维的体的整体认识，从而使学生形成结构化的认知和思维方式。
2.长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构是什么？
作者： 范明忠 (小学数学  青海海东循化小学数学三班 )    评论数/浏览数： 2 / 259    发表日期： 2010-11-28 18:20:17
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2.长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构是什么？
图形的周长、长度、面积、体积公式及相关知识及本质结构如下：
★长方形周长 =（长 宽）×2
长方形面积 =长×宽
★正方形周长 = 边长 × 4
正方形面积 = 边长×边长
★三角形面积 = 底×高÷2
★平行四边形面积 = 底 × 高
★梯形面积 = （上底 下底）×高÷2
★圆的周长等于∏×直径或∏×半径×2 即C =∏d或C = 2∏r
★圆的面积等于3.14×半径的平方。
★环形的面积等于3.14×（大半径的平方－ 小半径的平方）
★半圆的周长 = 圆的周长的一半 直径 即：∏ r 2 r
★长方体的表面积 = （长×宽 长×高 宽×高）× 2
★长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 或 底面积×高
★正方体的表面积 = 棱长×棱长× 6
正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长
★圆柱体的表面积=2个底面积 侧面积
侧面积=底面周长×高
★圆柱体的体积 = 底面积 × 高
圆锥体的体积 = 底面积 × 高 ÷ 3
★长方体和正方体都有6个面、8个顶点和12条棱。
★相交于同一顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。
★正方体可以看作是特殊的长方体。
★最少需要8个相同的小正方体才能拼成一个大正方体。
★圆柱体上下两个底面都是圆形，而且它们的面积都相等。
★圆柱体的侧面展开是长方形，它的长是圆柱底面的周长，它的高是圆柱的高。
★圆锥的底面也是圆形，侧面展开是扇形。
★圆柱体的体积是和它等底等高的圆锥体的体积的3倍。
★大圆的半径是小圆的直径，则大圆的面积是小圆的面积的4倍。
★在正方形里剪一个最大的圆，正方形的边长就是圆的直径。
★在长方形里剪一个最大的圆，长方形的宽就是圆的直径。
★把一个长方形拉成一个平行四边形以后，面积比原来变小了。
★长方形的周长要先除以2，然后再按比例分配；而长方体的棱长总和要先除以4，然后再分配。
★圆的半径扩大3倍，周长也扩大3倍，面积扩大9倍。
★正方体的棱长扩大3倍，则表面积扩大9倍，体积扩大27倍。
★圆柱体或圆锥体的底面半径扩大2倍，体积扩大4倍。
★常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图。
★条形统计图的特点是很容易看出各种数量的多少；折线统计图的特点是不但可以看出各种数量的多少，而且
能够清楚地表示出数量增减变化的情况；扇形统计图的特点是可以清楚地表示出各部分数量和总数之间的关系1、整数、小数、分数的四则运算及四则混合运算；简算、估算、口算。 2、线、相交平行、角、三角形、长正方形平行四边行梯形等 3、简单的统计 4、求平均数、归一问题归总问题、和差问题、和倍问题、行程问题流水问题植树问题等。
2.长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构是什么？
作者： 任金山 (小学数学  青海海东平安小学数学二班 )    评论数/浏览数： 5 / 93    发表日期： 2010-11-15 16:42:41
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　长度、面积和体积三者之间有着密切的内在结构关系。它们的内在关系至少表现在以下两个方面：
　　首先，长度、面积和体积在要素构成上具有逻辑关系。几何形体构成的基本要素是点、线和面，其中，无数个点累积而成了线(从这个意义上长度也可以称为线积)；无数条线累积而成了面(因此而称为面积)；无数个面累积而成了体(因此而称为体积)。因此，点、线、面和体中的前者分别依次是后者的构成要素，而后者又分别是在前者基础上的形成和拓展。
　　其次，长度、面积、体积在概念内涵和思想方法上既有区别又有联系。在概念内涵的语言表述方面，它们是有差异的。“长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度；“面积”是二维酌概念，表示物体表面或平面图形的大小；“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。
     为了帮助学生逐渐建立起从一维到二维再到三维的空间观念，在保持教学过程基本一致的基础上，教师还要注意通过多种沟通和比较的方式来灵活地凸显长度、面积和体积三者之间的区别与联系，努力帮助学生在沟通与比较中经历认知结构的整合过程。这种沟通与比较至少可以从以下几个方面来加以体现：
一是概念内涵表述上的沟通与比较。即长度用“长短”表示，面积用“大小”表示，体积用“占有空间的大小”表示。
二是度量方法上的沟通与比较。例如，在运用重叠法进行直接比较时，不妨通过重叠过程中要点的强调，来凸显一维的重叠与二维的重叠以及三维的重叠的差异。也就是说，在比较物体或线段的长短时，重叠过程中要注意一维方向的线重叠，即“点对齐、线重叠(边对齐)”；在比较平面图形面的大小时，重叠过程中要注意二维方向的线重叠，即“长重叠、宽重叠”；在比较物体所占空间的大小时，重叠过程要中注意三维方向的线重叠，即“左右的长重叠、前后的宽重叠、上下的高重叠”。又如，在借助中介物进行间接比较时，需要凸显和强调借助中介物的什么部分进行比较。即在比较物体或线段的长短时，是借助中介物一条边进行比较；在比较平面图形面的大小时，是借助中介物的一个面进行比较；在比较物体所占空间的大小时，是借助中介物的整个物体进行比较。
  三是度量工具和单位上的沟通与比较。对于学生而言，度量长度的常用工具是以1厘米为单位的尺，度量面积的常用工具是以l平方厘米为单位的正方形格子纸，度量体积的常用工具是以1立方厘米为单位的正方体。教师在引导学生进行沟通与比较的同时，还可以借助对比式的板书设计来凸显三维概念之间的区别与联系，如表2所示。
总之，通过这些有意识的沟通与比较，不仅可以使学生形成清晰的概念认识，而且还可以使学生建立起从一维的线到二维的面再到三维的体的整体认识，从而使学生形成结构化的认知和思维方式。
长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构是什么
作者： 赵平 (小学数学  辽宁葫芦岛小学数学班 )    评论数/浏览数： 5 / 100    发表日期： 2011-06-14 13:32:06
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长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构，我们可以从数学知识的纵向联系和变化发展的角度，将空间与图形部分的知识划分为三个分支，第一个分支是图形认识与论证部分，主要包括一个图形的初步认识、一个图形的要素认识、一个图形的性质研究、两个图形的关系研究。第二个分支是图形测量与计算部分，主要包括一维的长度的认识、测量工具和度量单位，以及平面图形周长的计算；二维的面积的认识、测量工具和度量单位，以及平面图形面积的计算；三维的体积的认识、测量工具和度量单位，以及物体表面积和体积的计算，还有数形结合问题的计算等。第三个分支是图形位置与变换部分，包括位置不变的认识(位置、方向、坐标)和位置变化的认识(图形的三种变换：平移、旋转和对称)。
从每个知识分支的纵向关系来看，体现了图形认识从外部到内部，图形研究从内部性质到外部关系，图形测量从一维的线段长度到二维的面积再到三维的体积，图形运动从位置不变到变化的发展过程。从知识分支之间的横向关系来看，图形认识与论证部分是对物体的形状进行特征认识和性质研究的问题；图形测量与计算部分是对物体的大小进行比较测量和计算的问题；图形位置与变换则是对物体的空间位置进行关系探究的问题，各分支之间既是相互联系的又是相对独立的，分别承担着不同的研究任务。
附： 空间与图形知识结构关系
在“空间与图形”的知识中，长度、面积和体积是一组最为基本的从一维到二维再到三维的度量概念。因此，在九年义务教育阶段的小学数学教学中，如何帮助学生建构起清晰的三维空间观念，是我们必须思考且需作出回答的问题。为此，我们首先需要对以往线段长度、面积，体积的概念教学进行反思；其次是要重新认识线段长度、面积、体积概念教学的育人价值；最后要在开发教材育人资源的基础上对线段长度、面积和体积概念教学进行整体的规划与设计。
一、长度、面积、体积概念教学存在的问题
长度、面积和体积是空间与图形知识中一组最为基本的从一维到二维再到三维的度量概念。由于小学数学教材一般将长度、面积和体积分别编排在小学不同的年级进行教学，许多教师意识不到这些分布在不同年级的内容是有内在联系的，自然也就不会关注怎样在教学中沟通和揭示这些概念之间的区别与联系，学生因而也不容易在这样的教学中建立起由一维到三维的空间观念。由于教师已然习惯于局限在知识点里的思考和备课，在教学中就容易表现出以下方面的问题：
第一，教师容易关注知识点的教学，却忽视了知识之间的内在联系。教师常常既不注意在长度的概念教学中进行思想方法的渗透和揭示；也不注意在面积的概念教学中与长度概念进行差异比较和内在思想方法的沟通；更不注意在体积的概念教学中进行一维的长度概念、二维的面积概念和三维的体积概念之间的差异比较和纵向发展脉络上的梳理。这种局限于知识点的割裂式的教学，容易使学生对这些概念形成点状的和表浅的认识，很难使学生在整体上建构起三维的空间观念。如果说概念认识的本身尚且如此，就更不用说概念教学过程中的育人价值的开发和实现了。
第二，教师容易关注知识的结果运用，忽视知识形成过程中的育人资源开发。即使是在具体的一节课的教学中，许多教师也只是把教学的重心放在如何认识度量单位和准确使用度量工具上面，忽视度量工具的发明和度量单位的形成过程对于学生成长的重要价值。以长度概念的教学为例，教师在教学中一般会注意以下几方面的问题：首先，教师会关注学生对度量单位建立感性体验，如1厘米相当于人的指甲的长度，1米相当于一个一年级学生的身高，等等；其次，教师十分关注学生对度量工具使用的准确性，如学生是否使直尺的零刻度线与度量对象的起始点对齐，是否使直尺与度量对象重合(点对点，线对线)，等等；
第三，教师会关注学生对度量单位使用的合理性，如度量铅笔盒的长度、书的长度可以选择厘米做单位，度量学生的身高、黑板的长度可以选择米做单位，等等。诸如此类，从学生对于度量单位认识和度量工具使用的角度来说，该注意的教师似乎都注意到了，但恰恰忽视了教学过程中；最重要的育人资源的开发，即前人在形成度量工具和度量单位过程中的智慧。
    二、长度、面积、体积概念教学的育人价值
长度、面积、体积概念教学的育人价值至少可以从两个方面来加以关注，一是从知识之间整体的内在联系中开发育人的资源，二是从知识形成过程中开发育人的资源。
1．知识结构关系的梳理对于学生认识概念的价值
长度、面积和体积三者之间有着密切的内在结构关系。它们的内在关系至少表现在以下两个方面：
首先，长度、面积和体积在要素构成上具有逻辑关系。几何形体构成的基本要素是点、线和面，其中，无数个点累积而成了线(从这个意义上长度也可以称为线积)；无数条线累积而成了面(因此而称为面积)；无数个面累积而成了体(因此而称为体积)。因此，点、线、面和体中的前者分别依次是后者的构成要素，而后者又分别是在前者基础上的形成和拓展。
其次，长度、面积、体积在概念内涵和思想方法上既有区别又有联系。在概念内涵的语言表述方面，它们是有差异的。“长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度；“面积”是二维酌概念，表示物体表面或平面图形的大小；“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。因此，它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。在此基础上，又形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间的度量单位体系的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。因此，它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。在此基础上，又形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间的度量单位体系。

长度
面积
体积
概念的内涵
线段长短程度
平面图形面积大小
物体占有空间大小
直接比较
观察法
重叠法（点对齐，重叠一条边）
观察法
重叠法（重叠两个方向的边）
观察法
重叠法（重叠三个方向的边）
间接比较
借助物体的一条边
借助物体的一个面
借助一个物体
度量工具
单位是1厘米的尺
单位是1平方厘米的正方形纸
单位是1立方厘米的正方体
度量单位
毫米、厘米、分米、米、千米……
平方厘米、平方分米、平方米、平方千米……
立方厘米、立方分米、立方米、立方千米……
因此，如果教师能够认识到这些知识之间的内在结构关系，努力在教学中梳理和沟通这些概念之间的区别与联系，那么就有可能开发和实现教学对于学生认识这些概念的价值，帮助学生对这些概念形成既清晰又丰富的认识，从而使学生建构起正确的三维空间观念。
2．度量工具和单位的形成过程对于学生发展思维的价值
    长度、面积、体积的度量工具和单位的产生是人类祖先的伟大发明，也是前人智慧的集中体现，我们需要开发这些知识形成过程中的育人资源和价值。