江苏省泰兴中学高一年级数学阶段检测.doc

江苏省泰兴中学高一年级数学阶段检测
命题人：钱桂圣 审题人：龚留俊
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，集合，则＝ ．
2．函数的值域为．
3．若，则实数的值为 2 ．
4．函数的定义域为．
5．已知集合，若，则实数的取值范围是．
6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同值函数” ．那么解析式为，值域为{4，0}的“同值函数”共有_3_个．
7．下列命题正确的有哪些 ④⑤ ．（只填写序号）
①；②；③；④；⑤
8．定义在上的函数满足，则 0 ．
9．函数，若，则．
10．函数的单调减区间为．
11．定义在上的函数，则不等式的解集为 ．
12．已知函数为上偶函数，且在上的单调递增，记，，则与的大小关系是．
13．已知定义在上的函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是．
14．已知函数是定义在上的单调增函数，当时，，若，则的值等于 8 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题满分14分）
设有两个二次方程，他们分别是和．已知这两个方程中至少有一个有实数解，求实数的取值范围。
解：（法一）方程有实数解┉┉┉┉┉┉┉┉4分
或┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
方程有实数解┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉9分
或┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分
所以，所求实数的取值范围是┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉14分
（法二）方程和均无实数解
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分
则两个方程中至少有一个有实数解或┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
又，所以，所求实数的取值范围是┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉14分

16.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
记函数．
⑴试求函数的定义域和值域；
⑵当时，函数的图像能否由函数的图像变换得到？若能，则写出变换过程，并作出函数图像；若不能，则说明理由．
解：⑴由得的定义域为，┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
，函数的值域为┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
⑵当时，函数┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分
由函数的图像向左平移1个单位，得到函数的图像┉┉┉┉┉┉┉9分
再由函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像┉┉11分
故，函数的图像为：

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉14分
（若未作出渐近线，扣1分）

17. （本题满分15分，第1小题8分，第2小题7分）
某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；… …，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75℅销售。现某茶社要购买这种茶壶个，如果全部在甲店购买，则所需金额为元；如果全部在乙店购买，则所需金额为元。[来源:学+科+网]
⑴分别求出、与之间的函数关系式；[来源:Zxxk.Com]
⑵该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？
解：⑴对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶个时，每个售价为元
则与之间的函数关系式为:
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
(无定义域或定义域不正确扣1分)
对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶个时，每个售价为元
则与之间的函数关系式为:
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分
(无定义域或定义域不正确扣1分)
⑵┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
所以，茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉15分

18.（本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）
定义在上的奇函数，当时，．
⑴当时，求的解析式；
⑵若方程有五个不相等的实数解，求实数的取值范围．
解：⑴设则，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分
又为奇函数，即，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分
所以，，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
又，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
所以┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分
⑵因为为奇函数，所以函数的图像关于原点对称，┉┉┉┉┉┉┉┉8分
由方程有五个不相等的实数解，得的图像与轴有五个不同的交点，9分
又，所以的图像与轴正半轴有两个不同的交点， 10分
即，方程有两个不等正根，记两根分别为┉┉┉┉┉┉┉┉┉11分
，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉14分
所以，所求实数的取值范围是┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉15分

19.（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）
设二次函数满足：当时，取得最小值1，且．
⑴求、、的值；
⑵是否存在实数，使时，函数的值域也是？若存在，则求出这样的实数；若不存在，则说明理由．
解：⑴由题意，得：
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
解之得：，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分
⑵┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分
从而，的单调递增区间为┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分
由取得最小值1，得，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉11分
所以，在区间上单调增，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
故┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉13分
是方程，即的两不小于1的不等实根，┉┉ 15分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉16分
（若分别按三种情况讨论求解，则分值为3分，2分，4分）
20.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
设函数的解析式满足．
⑴求函数的解析式；
⑵当时，试判断函数在区间上的单调性，并加以证明；
⑶当时，记函数，求函数在区间上的值域．
解：⑴（法一）设，则，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
（法二） ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
⑵当时，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
在上单调递减，在上单调递增，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
证明：设，则

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分
，，，

所以，在上单调递减，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉9分
同理可证得在上单调递增┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分
⑶，为偶函数，
所以，的图像关于轴对称，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
又当时，由⑵知在单调减，单调增，
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉15分
当时，函数在区间上的值域的为┉┉┉┉┉┉16分
（若按先求时，的函数解析式；再判断在上的单调性；最后给出函数值域作答，则分值分别为2分、2分、2分）