参数方程典型例题分析.doc

参数方程典型例题分析
　　例1　在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（    ）．
　　（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）
　　分析 由已知得可否定（A）又，分别将，，
1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．
　　例2　直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为，
，点P 分所成的比为，那么点P 对应的参数是（    ）．
　　（A）        （B）    （C）  （D）
　　分析　将，分别代入参数方程，
　　　　　得A 点的横坐标致为，B 点的横坐标为，
　　　　　由定比分点坐标公式得P 的横坐标为
，
　　　　　可知点P所对应的参数是故应选（C）．
　　例3　 化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．
 　　　　（1）  （为参数，）
　　　　（2） （为参数）；
　　　　（3）  （为参数），
　　解：（1）∵
　　　　∴ ，
　　　　∴或
　　　　故普通方程为（或），方程的曲线如图．

　　　　（2）将代入得

　　　　∵普通方程为（），方程的曲线如图．

　　　　（3）两式相除得代入得
　　　　整理得
　　　　∵
　　　　∴ 普通方程为（），方程的曲线如图．

    点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价．
　例4　已知参数方程
　　　　① 若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？
　　　　② 若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？
　　解：①当时，由（1）得，由（2）得，
　　　　∴，它表示中心在原点，
　　　　长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆．
　　　　当时，，，
　　　　它表示在轴上的一段线段．
　　　　②当（）时，由（1）得，
　　　　由（2）得．平方相减得，
　　　　即
　　　　它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为，
　　　　焦点在轴上的双曲线．
　　　　当（）时，，它表示轴；
　　　　当（）时，，
　　　　∵（时）或（时）
　　　　∴  ，∴ 方程为（），
　　　　它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．
　　点评　本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．
　　例5　 直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（    ）．　
　　（A）或    （B）或    （C）或  （D）或
　　分析　将参数方程化为普通方程，直线为（），
　　　　　当时不合题意．
　　　　　因为，它们相切的充要条件是，
　　　　　解得 ，又，
　　　　　∴ 或，故选（A）．
　　例6　 求椭圆上的点到直线的最大、最小距离．
　　解　将椭圆普通方程化为参数方程（），
　　　　则椭圆任意一点的坐标可设为（，），
　　　　于是点到直线的距离

　　　　∴，此时；，此时
　　点评　利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．
　　例7　已知点P是圆C：上一动点，点P关于点A（5，0）的对称点为Q，半径CP绕圆心C按逆时针方向旋转后得到点M，求的最大值和最小值．

　　解　如图，设点（，），
　　　　则点M为（，），
　　　　即M（，）．
　　　　又点A（5，0）为Q的中点，则点Q为（，），
　　　　且

　　　　所以时，取得最大值
　　　　　时，取得最小值
　　点评 此题根据圆的参数方程是利用转角作参数，由点坐标求点M坐标，再把与坐标，相关的的最值转化成的最值来求解．
　　例8　直线与椭圆交于A，B 两点，当变化时，求线段AB 中点M 的轨迹．
　　解　设AB中点M（，），
　　　　直线的方程为 （，为参数）
　　　　代入椭圆方程有中可得

　　　　设A，B对应的参数值分别为，，则有，
　　　　又，
　　　　∴ ，又，
　　　　故，即．
　　　　所以M点的轨迹是直线在椭圆内部的一条线段．
　　例9　已知线段，直线垂直平分交于点O，并且在上O点的同侧取两点P，，使，求直线BP与直线的交点M的轨迹．

　　解　如图，以O为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
　　　　依题意，可知B（0，2），（0，－2），
　　　　又可设P（，0），（，0），其中为参数，可取任意非零的实数．
　　　　直线BP的方程为
　　　　直线的方程为
　　　　两直线方程化简为
　　　　解得直线BP与的交点坐标为：（为参数）．
　　　　消去参数得（）
　　　　∴ 所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆除去B，点．
　　点评　用参数法求解轨迹问题时，首先要建立适当的坐标系，然后选择参数，表示出有关点的坐标，求出动点轨迹的参数方程，必要时还要化成普通方程，根据方程确定轨迹的形状，大小等特征．