专题五空间角及距离.doc

专题五 空间角和距离
班别：_______ 姓名：_________ 学号：_____
立体几何中解决空间角或距离问题的主要思想是将空间的转化为平面的来解决。通常遵循三个步骤，即作角（距离）、证角（距离）、求角（距离）。要求理解空间角或距离的概念及其作法，并具备一定的解三角形的能力。体积转化法可以在不具体作出距离的条件下求距离，也是求空间距离的一种常用方法。
一、选择题。
1、正方体中，则异面直线与
所成的角是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．90°

2在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为( )
A． B． C． D．
3、如图所示，点在平面外，，，、分别是和的中点，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
4．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
①BM与DE平行
②CN与BE是异面直线
③CN与BM成60°角

A
C

B

④DM与BN垂直
以上四个命题中，正确的是__ __
5.如图所示，在正三棱柱ABC-中，所有棱长均为1，
则点B到平面ABC的距离为__________________.

6、设三棱锥P—ABC的顶点P在底面ABC内射影O(在△ABC内部，即过P作PO⊥底面ABC，交于O)，且到三个侧面的距离相等，则O是△ABC的_________心。
三、解答题
7、 在正四棱柱中，，
P
为B1C1的中点．
（1）求直线AC与平面ABP所成的角；
（2）求异面直线AC与BP所成的角；
（3）求点B到平面APC的距离．

A
B
C
D
P
8. 如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
(I) 求证：AB平面PCB；
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；
（III）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．

答案：
1、B 简析：，∴为所求
2、C
3、B 简析：取BC中点M，连结ME，MF，由题可知ME⊥MF，由勾股定理求出EF
4、③④
5、利用等体积法；易知VB1-ABC1=，
所以点B到平面ABC的距离为
6、内心 简析：如图，设OD⊥AB于D，连结PD，则OD为PD在底面△ABC上的射影，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面POD. ∴平面PAB⊥平面POD，且它们的交线为PD.作OE⊥PD于E，则OE⊥平面PAB，∴OE即为点O到侧面PAB的距离.
同理可作出O到侧面PBC的垂线段OF.
∵OE=OF，∴Rt△PEO≌Rt△PFO.
∴∠DPO=∠GPO.∴Rt△POD≌Rt△POG.∴OD=OG.
∴O为△ABC的内心
7、（1）∵AB⊥平面BC1，PC平面BC1，∴AB⊥PC
在矩形BCC1B1 中，BC=2，BB1=1，P为B1C1的中点，∴PC⊥PB
∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP为直线AC与平面ABP所成的角
∵PC=，AC=，∴在Rt△APC中，∠CAP=300
∴直线AC与平面ABP所成的角为300
（2）取A1D1中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP，
∴∠CAQ为异面直线AC与BP所成的角
在△ACQ中，
∴∠CAQ=600 ∴异面直线AC与BP所成的角为600
（3）过点B作BH⊥AP于H， 由题（1） PC⊥平面ABP，∴PC⊥BH
又 ∴BH⊥平面APC ∴BH的长即为点B到平面APC的距离
在Rt△ABP中，AB=2，
方法二：等积法；设点B到平面APC的距离为h，则
即，∵ ∴
8、解：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，
∴PCAB．
∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．
又，
∴AB平面PCB．
(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．
则为异面直线PA与BC所成的角．
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，
∴CFAF．
由三垂线定理，得PFAF．
则AF=CF=，PF=，
在中， tan∠PAF==，
∴异面直线PA与BC所成的角为．
（III）取AP的中点E，连结CE、DE．
∵PC=AC=2， ∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB， 由三垂线定理的逆定理，得 DE PA．
∴为二面角C-PA-B的平面角．
由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．
　　在中，PB=，
．
在中， cos=．
∴二面角C-PA-B大小的余弦值为。