期中模拟测试2.doc

镇江市实验高级中学2014—2015学年度第一学期
高三数学期中复习模拟试卷2
说明：试卷满分160分，考试时间120分钟。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
1.已知集合若，则实数的值为 ▲ .1
2.若复数z =（为虚数单位），则= ▲ ．-1-2i
3. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．

4. 已知，则 ▲ ．
5. 某算法的程序框图如图，若输入，
则输出的结果为 ▲ ． 6
6.二次函数的导函数，且，
则在R上恒成立时的取值范围是 ▲ ．
7. 设为定义在上的奇函数，当时，
(为常数)，则_____▲___.-3
8.过点且与曲线相切的直线斜率为___▲__
9. 已知，，向量与垂直，
则实数的值是 _ ▲ .
10.为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入
汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输
入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90）， [90，110），
[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本 中

（第10题图）
字数/分钟
频率
组距
0.0050
0.0075
0.0100
0.0125
0.0150
50
70
90
110
130
150
每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ．90

11. 已知数列满足则的最小值为______▲____.

12.如图：梯形ABCD中，AB//CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若·＝－12，则·D
A
B
C
＝　　　0．

13. 已知等差数列的公差表示的前n项和，若数列是递增数列，则的取值范围是　　▲　　． ．
14.函数已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定位置内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. ．(本题满分14分)
已知函数f (x) = 的定义域是A，函数 g(x) = lg [x2 − (2a + 1)x + a2 + a]的定义域是B．
（1）求集合A，B．
（2）若AB = B，求实数a的取值范围．
（1）A = {x|x ≤ −1或x >2}，
B = {x|x < a或x > a + 1}；
（2）由A∪B = B得AÌ B， 因此 解得：−1 < a ≤ 1，
∴ 实数a的取值范围是(−1，1]．
16.（本小题满分14分）设函数．
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和．
（1）=
=．
所以的最小正周期为，
值域为．
（2）由，得．
为锐角，∴，，∴．
∵，，∴．
在△ABC中，由正弦定理得．
∴

17. （本小题满分14分）
已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若S2为S1，Sm(m∈N*)的等比中项，求m的值．
答案：解：(1)d=2,通项公式an=
(2)因为S2为S1，Sm(m∈N*)的等比中项，
所以，，有
， 即

18.（本小题满分16分）
某水产养殖场的休闲垂钓水域如图所示，水域由以为直径的半圆和以为斜边的等腰直角三角形ABD组成，其中和为水域岸边， O为半圆圆心，m.为方便客人垂钓，决定架设两座木桥， 点在岸边上，且.据估测，岸边上单位长度（m）内垂钓的人数均为k（k为常数），桥上和岸边上单位长度（m）内垂钓的人数均为2k.水域垂钓总人数记为.
B
（第19题图）

D
O
A
E
F
O
（1）求关于的函数表达式；
（2）估测当取何值时，垂钓总人数最多？

19.【解】（1）因为,
所以弧的长分别为， …………2分
连接OD，则由OD=OE=OF=1，，
所以
， …………8分
（2）因为由， …………10分
解得，即
又当时，，所以此时y在上单调递增；
当时，，所以此时y在上单调递减. ……14分
故当时，按此估测计算出的垂钓总人数最多. …………16分

19．(本小题满分16分)
已知数列的首项，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
（1）∵，∴，………………………………2分
且∵，∴， …………………………………………3分
∴数列为等比数列． …………………………………………………4分
（2）假设存在，则， …………
∵，∴．…………
化简得：，………………………… ∵，当且仅当时等号成立．∵m,n是互不相等的正整数，……

20．（本小题满分16分）
已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．
令．
（1）求 g(x)的表达式；
（2）若使成立，求实数m的取值范围；
（3）设，，
证明:对，恒有
【解】 （1）设，于是
所以
又，则．所以.
（2）
当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；
当m=0时，对，恒成立；
当m<0时，由，列表：
x

－
0
＋

减
极小
增

所以若，恒成立，则实数m的取值范围是.
故使成立，实数m的取值范围．
（3）因为对，所以在内单调递减.
于是

记，
则
所以函数在是单调增函数，
所以，故命题成立.

20．(本小题满分16分)
对于定义在区间D上的函数和，如果对于任意，都有成立，那么称函数在区间D上可被函数替代．
(1) 若，试判断在区间[]上能否被替代？
(2) 记，证明在上不能被替代；
(3) 设，若在区间上能被替代，求实数的范围．

19．
20．∵ ，
令，∵，… ∴在上单调增，∴．……… ∴，即在区间[]上能被替代．…
（2）令．
，…………………………… 且当时，；当时，，……………………………6分
，即，…………
∴在上不能被替代． ……

设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，已知，且对一切都成立．
（1）若λ = 1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．

20．（本小题满分16分）
已知函数，其中m，a均为实数．
（1）求的极值；
（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围．