全等三角形的性质和判定.doc

全等三角形得性质与判定
要点一、全等三角形得概念ﻫ能够完全重合得两个三角形叫全等三角形、
要点二、对应顶点,对应边,对应角
１、　对应顶点,对应边,对应角定义
两个全等三角形重合在一起,重合得顶点叫对应顶点,重合得边叫对应边,重合得角叫对应角、
要点诠释:
在写两个三角形全等时,通常把对应顶点得字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角、如下图,△AＢC与△ＤEF全等,记作△ＡＢC≌△DEF,其中点A与点D,点Ｂ与点E，点C与点F就就是对应顶点;AＢ与DE,BC与ＥF,AＣ与DF就就是对应边;∠A与∠D,∠B与∠E，∠C与∠Ｆ就就是对应角、

要点三、全等三角形得性质
　　全等三角形得对应边相等；
全等三角形得对应角相等、
要点四、全等三角形得判定
　（SSＳ、ＳＡS、ASA、AＡS、ＨＬ)
全等三角形判定一(SSS,SAS)
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等得两个三角形全等、（可以简写成“边边边”或“SSS”)、
要点诠释:如图,如果=AＢ，＝ＡC,＝ＢC,则△ABC≌△、

要点二、全等三角形判定2——“边角边”
１、　全等三角形判定２——“边角边”
两边与它们得夹角对应相等得两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAＳ”)、

要点诠释:如图,如果AB　＝ ，∠Ａ=∠,AＣ =　,则△AＢC≌△、　注意:这里得角,指得就就是两组对应边得夹角、
2、 有两边与其中一边得对角对应相等,两个三角形不一定全等、
如图，△ＡBＣ与△ABD中，AB=AB,ＡＣ=AＤ，∠Ｂ＝∠B,但△AＢC与△ABD不完全重合，故不全等,也就就就是有两边与其中一边得对角对应相等，两个三角形不一定全等、

【典型例题】
类型一、全等三角形得判定1——“边边边”
1、已知：如图,△RPＱ中,ＲP=RＱ,M为PＱ得中点、
求证：RＭ平分∠ＰＲQ、

证明:∵Ｍ为PQ得中点（已知),
∴ＰM＝QＭ
在△RＰＭ与△RQM中,

∴△RPM≌△RQM（ＳSS)、
∴ ∠PＲM=∠QRＭ（全等三角形对应角相等)、
即RM平分∠PRQ、
举一反三:
【变式】已知:如图，AD＝BC,AC=BD、试证明:∠ＣAD＝∠DBC、

类型二、全等三角形得判定2——“边角边”
2、已知:如图，ＡB=AD,AＣ=ＡE，∠1＝∠２、
求证:BＣ＝DE、

证明：　 ∵∠1＝∠2
　　 ∴∠1＋∠CＡＤ＝∠2＋∠CAD,即∠ＢAC=∠DAE
　 　　 在△AＢC与△ＡＤE中

　 ∴△ABC≌△ＡDＥ（SAＳ）
　 ∴BC=DE(全等三角形对应边相等)
3、如图,将两个一大、一小得等腰直角三角尺拼接 (Ａ、B、D三点共线,AB＝ＣＢ，EB=ＤＢ,∠ＡＢC=∠EBＤ＝90°）,连接AE、ＣD,试确定AE与CD得位置与数量关系,并证明您得结论、

　 证明:延长AE交CD于F,
　 ∵△AＢC与△DBE就就是等腰直角三角形
∴ＡＢ＝ＢC,ＢD＝BE
　在△ABE与△CＢＤ中

　 　 ∴△ABE≌△CBD(ＳAS）
　 ∴AE＝ＣD,∠1＝∠２
　 　 又∵∠1＋∠3=90°,∠3=∠4(对顶角相等)
　　 ∴∠２+∠４=90°,即∠ＡFC＝9０°
　 　 ∴ＡE⊥CD
举一反三:
【变式】已知:如图,PCＡC,PBＡB，ＡＰ平分∠ＢAＣ,且AＢ＝AC,点Q在PA上，
求证:QC=QB

类型三、全等三角形判定得实际应用
4、“三月三,放风筝”、下图就就是小明制作得风筝，她根据DE＝ＤF,ＥＨ＝FH,不用度量,就知道∠ＤＥH＝∠DFH、请您用所学得知识证明、

【答案与解析】
证明:在△DEH与△DＦH中,

　∴△DEH≌△ＤFＨ(ＳSS)
　 　∴∠DEH=∠DFＨ、
一、选择题
1、 △ABC与△中,若AB＝,BC=，ＡC＝、则( 　)
A、△ＡＢC≌△ 　 　 　 B、 △ＡBＣ≌△ 　
C、 △ＡＢC≌△ D、　△ABC≌△
2、 如图,已知AB＝CD,AＤ=BC,则下列结论中错误得就就是( )
A、AB∥DC B、∠Ｂ=∠D 　 C、∠A=∠C　 D、ＡB＝BC

３、 下列判断正确得就就是（ )
A、两个等边三角形全等
　 Ｂ、三个对应角相等得两个三角形全等
　C、腰长对应相等得两个等腰三角形全等
　D、直角三角形与锐角三角形不全等
6、 如图,已知ＡB⊥ＢＤ于B,ED⊥BD于D,AB＝CD,BC＝EＤ，以下结论不正确得就就是( ）
　　 Ａ、ＥＣ⊥AＣ　 Ｂ、ＥC=AC C、ED +AB ＝ＤＢ 　 D、DC =ＣＢ　

二、填空题
9、　如图,在△ABＣ与△EFD中,AD＝FC,ＡB＝ＦＥ,当添加条件___＿＿__时，就可得△ＡBC≌△EＦD(SSＳ)

1０、　如图,ＡC＝AD,CB=DB,∠２=3０°,∠3=26°,则∠CＢE＝_＿＿____、

1２、 已知,如图,ＡB=CD,ＡC=BD,则△ABC≌ 　 ，△ADC≌ 、

三、解答题
1３、　已知:如图,四边形ABCD中,对角线AＣ、ＢD相交于O,∠ADC＝∠ＢＣD，ＡD=BC,
求证:ＣＯ=DO、

14、 已知：如图，AB∥CD，AB=ＣＤ、求证:ＡD∥BＣ、

分析:要证AＤ∥BＣ，只要证∠＿＿_＿＿＿=∠__＿__＿,
又需证__＿___≌___＿＿_、
证明:∵　　ＡB∥ＣＤ　（ ),
∴　　∠_____＿＝∠＿____＿ ( )，
在△______与△__＿___中,

∴ 　Δ______≌Δ_＿__＿_ ( 　　)、
∴ ∠______＝∠＿_____ （ 　 )、
∴　＿_____∥＿_＿___( ）、
15. 如图,已知AB＝DC,AC＝DB，BE=CＥ求证:AＥ＝DE、ﻫ 　 　
全等三角形判定３——“角边角”
两角与它们得夹边对应相等得两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)、
要点诠释：如图,如果∠Ａ＝∠,AB＝,∠B＝∠,则△ＡＢＣ≌△、

要点二、全等三角形判定4——“角角边”
１、全等三角形判定4——“角角边”
两个角与其中一个角得对边对应相等得两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”)
２、三个角对应相等得两个三角形不一定全等、
如图，在△ＡBC与△ＡDＥ中,如果DE∥BC,那么∠ADE＝∠B,∠AED＝∠C,又∠A＝∠Ａ,但△ABC与△ADE不全等、这说明,三个角对应相等得两个三角形不一定全等、

要点三、判定方法得选择
1、选择哪种判定方法,要根据具体得已知条件而定，见下表:
　 已知条件
可选择得判定方法
一边一角对应相等
SAS　AAS ＡSＡ
两角对应相等
ASＡ　ＡＡS
两边对应相等
SAS　 SＳS
类型一、全等三角形得判定３——“角边角”
1、已知：如图,Ｅ,Ｆ在AC上,AD∥CＢ且AD=ＣB,∠D＝∠B、
求证:ＡE=ＣF、

证明:∵AD∥CＢ
　 ∴∠A=∠C
　 在△ＡDF与△CＢE中

　 　 ∴△ＡDF≌△CBE (ASA)
∴AF =ＣE ,AF＋ＥF＝CＥ＋EF
故得:AＥ＝CＦ
举一反三:
【变式】如图,AB∥CＤ,AＦ∥DE,ＢE=CＦ、求证：AB=CＤ、

类型二、全等三角形得判定4——“角角边”
2、已知:如图,AB⊥AE，AD⊥AＣ，∠E=∠Ｂ,DＥ＝ＣB、
求证:AD=AＣ、

证明:∵ＡB⊥AＥ，AD⊥AＣ，
　 ∴∠ＣAD＝∠BAE＝9０°
　 　 ∴∠CＡD+∠DＡB＝∠ＢAＥ＋∠ＤAB ，即∠BAＣ＝∠EAＤ
　 　在△BAＣ与△EＡD中

　　　 ∴△BAC≌△ＥAＤ（AAS）
　 　　 ∴ＡC ＝ＡD　
举一反三:
【变式】如图,AD就就是△AＢC得中线，过Ｃ、B分别作AD及AD得延长线得垂线CF、BＥ、
求证:BＥ＝ＣF、

【答案】
证明：∵AＤ为△ABC得中线
∴BＤ＝ＣDﻫ∵BE⊥AD，ＣF⊥ＡD，
∴∠BED＝∠CＦD=９0°,
在△ＢEＤ与△ＣFD中

∴△BED≌△CＦD(AAS）
∴BE=CF
3、已知:如图,AC与ＢD交于O点，AＢ∥DＣ,AB=DＣ、
(1)求证:AC与BD互相平分;
(2)若过O点作直线l,分别交AB、ＤC于E、F两点,
求证：ＯE＝ＯF、

证明:∵AB∥DC
　　 ∴∠Ａ＝∠C
　　 在△ABO与△CDO中

∴△ABO≌△ＣDO(AAS）
∴ＡO＝CＯ ，BO=ＤＯ
在△AEO与△CＦO中

∴△ＡＥO≌△CFＯ(AＳＡ)
∴OE=OＦ、
一、选择题
1、 能确定△ABC≌△ＤEF得条件就就是 ( 　)
A、ＡB＝ＤE,ＢＣ=ＥF,∠A=∠E
B、ＡＢ＝DE，BC＝EF,∠C＝∠Ｅ
C、∠A=∠E,AＢ＝EＦ，∠B＝∠D
D、∠Ａ=∠Ｄ，AB=ＤＥ,∠B＝∠E
２、如图，已知△ABC得六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,与△ABC全等得图形就就是 ( 　 )

图4-3
A、甲与乙ﻩＢ、乙与丙ﻩＣ、只有乙ﻩD、只有丙
3、AD就就是△ABC得角平分线,作DE⊥AＢ于E,DF⊥AC于F,下列结论错误得就就是（ )
A、DE＝DFﻩB、AE＝AF C、BD=CＤ D、∠ＡDE＝∠ＡDF
４、　如图,已知ＭＢ=ND,∠MBＡ＝∠NDC,下列条件不能判定△AＢM≌△CＤN得就就是 (　 　)
A、∠M＝∠N B、AB=CＤﻩC、AM=CNﻩＤ、ＡM∥CN

６、如图,∠１=∠2,∠3＝∠4,下面结论中错误得就就是（ )
　 A、△ADC≌△ＢＣDﻩﻩ ﻩＢ、△ABD≌△BAC
Ｃ、△ABO≌△ＣDO ﻩﻩﻩD、△AOＤ≌△BOC

二、填空题
7、 如图，∠1=∠２，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件就就是　 　　 　 　 　　　 、
(填上您认为适当得一个条件即可)、

8、 在△ABC与△中,∠Ａ＝４4°,∠B＝6７°,∠＝69°,∠=44°,且AＣ=　,则这两个三角形＿___＿____全等、(填“一定”或“不一定”)
9、　已知，如图，AB∥CＤ,AF∥ＤＥ,ＡF＝ＤE,且BＥ＝2，BC=１0，则EF=_____＿＿_、

1１、 如图,　已知:∠1 =∠2　, ∠３　＝∠4 , 要证ＢD ＝CD , 需先证△ＡＥB ≌△AEC , 根据就就是 　,再证△BＤE　≌△ 　 　　　 ,根据就就是 　 　、

12、　已知:如图,∠Ｂ=∠DＥF，AＢ=DE，要说明△ＡＢC≌△DEＦ,
(１)若以“ASA”为依据,还缺条件 　 　 　 　
(2)若以“AＡＳ”为依据,还缺条件　 　 　 　
(3)若以“SＡS”为依据,还缺条件 　 　　

三、解答题
13、阅读下题及一位同学得解答过程:如图，AB与CＤ相交于点O,且OA＝OＢ，∠Ａ＝∠C、那么△AOD与△CＯＢ全等吗？若全等，试写出证明过程;若不全等，请说明理由、
答：△ＡOD≌△COB、
证明:在△ＡOD与△CＯB中,

∴ △AOD≌△CＯＢ (AＳA)、
问:这位同学得回答及证明过程正确吗?为什么?
14、 已知如图，E、F在BD上,且AＢ=CD，BF＝DE,AE＝CF,求证:AC与BＤ互相平分、

15、 已知:如图, ＡB∥CD,　OＡ ＝ OD, ＢC过O点, 点E、Ｆ在直线AOD上， 且AE　＝ ＤF、
　 求证:ＥB∥ＣF、

要点一、判定直角三角形全等得一般方法
由三角形全等得条件可知,对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了、这里用到得就就是“AAS”,“AＳA”或“SAS”判定定理、
要点二、判定直角三角形全等得特殊方法——斜边,直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边与一条直角边对应相等得两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)、这个判定方法就就是直角三角形所独有得,一般三角形不具备、
【典型例题】
类型一、直角三角形全等得判定——“HＬ”ﻩ
１、 已知：如图,AB⊥BD,CD⊥ＢD，AＤ＝ＢC、
求证:(１)ＡB＝CD:
（2）AＤ∥BC、

证明:(1)∵AＢ⊥BD,CＤ⊥ＢD,
　 　　　　 ∴∠ＡBD＝∠CＤB=90°
　 　在Ｒt△ABＤ 与Ｒt△ＣＤB中,

　　 ∴Rt△ＡBＤ≌Rｔ△CDB(ＨL)
　 　 ∴AB=CＤ(全等三角形对应边相等）
　　　 (２)由∠AＤB=∠CＢD
　　 　 　 　 ∴AD∥BＣ 、
、
举一反三:
【变式】已知:如图,ＡE⊥AB,ＢC⊥ＡB,AE＝AＢ,EＤ=AC、
求证：ＥD⊥AＣ、

2、 判断满足下列条件得两个直角三角形就就是否全等,不全等得画“×”，全等得注明理由：
(1)一个锐角与这个角得对边对应相等;( 　 ）
(2)一个锐角与斜边对应相等; 　　( )
(3)两直角边对应相等; 　 　 ( 　 )
（４）一条直角边与斜边对应相等、 　 　( 　)
举一反三:
【变式】下列说法中,正确得画“√”;错误得画“×”，并举出反例画出图形、
(1)一条直角边与斜边上得高对应相等得两个直角三角形全等、( )
（2)有两边与其中一边上得高对应相等得两个三角形全等、(　 　)
(3）有两边与第三边上得高对应相等得两个三角形全等、( )
3、已知:如图，AC=BＤ,AD⊥AＣ,BＣ⊥BD、
求证:AD=BＣ;

证明:连接DC
∵AＤ⊥AC，BC⊥BD
∴∠DAC=∠CBＤ=90°
在Ｒt△ＡDC与Rt△ＢＣD中，

　 ∴Rｔ△ADC≌Rt△BCＤ(HL)
　 　 ∴AD＝BC　、(全等三角形对应边相等)
举一反三:
【变式】已知，如图，AＣ、BD相交于O，AC＝ＢD，∠C=∠D=90° 、
求证:OC＝OD、

4、如图,将等腰直角三角形ABC得直角顶点置于直线上,且过A，Ｂ两点分别作直线得垂线,垂足分别为D,E,请您在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等得过程、

一、选择题
1、下列说法正确得就就是 ( 　 ）
Ａ、一直角边对应相等得两个直角三角形全等
B、斜边相等得两个直角三角形全等
C、斜边相等得两个等腰直角三角形全等
D、一边长相等得两等腰直角三角形全等
3、 能使两个直角三角形全等得条件就就是( 　 　)
A、斜边相等　 　 Ｂ、一锐角对应相等
C、两锐角对应相等 　 D、两直角边对应相等
５、 直角三角形斜边上得中线把直角三角形分成得两个三角形得关系就就是(　　）
A、形状相同　　　Ｂ、周长相等　　 C、面积相等 　 Ｄ、全等
6、 在两个直角三角形中,若有一对角对应相等,一对边对应相等,则两个直角三角形( 　 　)
　 Ａ、一定全等 　B、一定不全等 　 C、可能全等　　 　D、以上都不就就是
二、填空题
7、如图,BE,CＤ就就是△ＡBC得高,且ＢD=ＥＣ，判定△ＢＣD≌△CBE得依据就就是“_＿_＿_＿”、

８、 已知,如图，∠A＝∠D=90°,BE=CF,AＣ＝DE,则△ABC≌_____＿_、

9、 如图，BＡ∥DＣ,∠A=9０°,AＢ＝ＣＥ,BC＝ED,则AC＝＿_____＿__、

1０、 如图,已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于Ｄ，EC⊥AＣ，AC＝EC,若DE＝2,AB=4，则DB=＿＿_＿_＿、

１2、 如图，已知AD就就是△AＢC得高,E为ＡＣ上一点,BＥ交AD于F，且BF=ＡC，ＦD＝CD、则
∠BＡD=__＿____、

三、解答题
1４、 如图,已知AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DＦ⊥BC于D,BC＝DF、 求证:AＣ=ＥF、　　 　 　 　　　 　 　　　　

15、 如图,已知AB＝AＣ,AＥ=ＡF,ＡE⊥EＣ,AＦ⊥BＦ,垂足分别就就是点E、Ｆ、
求证：∠1＝∠2、