湖北省黄冈中学2008届高三年级第三次模拟考试数学试题(理科).doc

湖北省黄冈中学2008届高三年级第三次模拟考试数学试题（理科）

本试卷满分共150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．
3． 将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．

参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) （其中R表示球的半径）
如果事件A、B相互独立，那么 球的体积公式
P(A·B)=P(A)·P(B) （其中R表示球的半径）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数，若z1·z2是实数，则等于 （ ）
A．2 B． C．0 D．
2．等差数列{an}的前n项和是Sn，若，则 （ ）
　　 A．9　　　　　 B．12 　 Ｃ．15 D．18
3．若||＝，||＝2，且，则与的夹角是 （　　） A． B． C． D．
4．是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中的真命题是 （　　）
A．若与都垂直，则 B．若，，则
C．若且，则 D．若与平面所成的角相等，则
5．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，δ2)(δ＞0)，若P(ξ＜0＝＋P(ξ＜1＝＝1，则μ的值为 （ ）
A．－1 B．1 C． D．
6． 如图，设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，则AD两点间的球面距离为 （ ）
O

B

A

D

C

A． B．
C． D．
7．设，，，函数则函数在区间内为增函数是函数在区间内为增函数的 （ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8． 北京奥组委志愿部准备将来自3所高校的6名志愿者(其中每所高校各有2名),安排到三个奥运比赛项目的后勤小组去服务,并要求每个小组安排2名来自不同的高校的志愿者,则不同的安排方法总数有 （ ）
A．48 B．90 C．96 D．192
9．已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A，B，双曲线在第一象限的图象上有一点P，，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．数列满足，则的整数部分是
20080602
（ ）
A．208 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上)
11．展开式中的常数项是______________.
12．已知，则的值为______________.
13．已知函数则的值为______________.
14．一名大学生到一单位应聘，面试需回答三道题. 若每一道题能否被正确回答是相互独立的,且这名大学生能正确回答每一道题的概率都是, 则这名大学生在面试中正确回答的题目的个数的期望= ______________.
15．平面的斜线AB交于点B，斜线AB与平面成角，过定点A的动直线l与斜线AB成的角，且交于点C，则动点C的轨迹是 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）一批产品成箱包装，每箱6件. 一用户在购买这批产品前先取出2箱，再从取出的每箱中抽取2件检验. 设取出的第一、二箱中二等品分别装有1件、n件，其余均为一等品.
（Ⅰ）若n=2，求取到的4件产品中恰好有2件二等品的概率；
（Ⅱ）若取到的4件产品中含二等品的概率大于0.80，用户拒绝购买，求该批产品能被用户买走的n的值.

17．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， .
C1
B1
A1
B
A
D
C
（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；
（Ⅱ）若二面角B1—DC—C1的大小为60°，求AD的长.

18．（本小题满分12分）设的极小值为,其导函数的图像是经过点开口向上的抛物线,如图所示．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若直线与函数有三个交点，
求实数的取值范围．

19．（本小题满分12分）在中，已，又的面积等于6.
（Ⅰ）求的三边之长；
（Ⅱ）设P是（含边界）内一点，P到三边AB、BC、AB的距离为、和，求的取值范围.

20．（本小题满分13分）如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.
（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于，如果
以线段为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
x
y
o

P
l
A1
A2

（Ⅲ）是否存在实数，使得△的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）设数列{an}，{bn}满足，且
.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）对一切,证明成立；
（Ⅲ）记数列的前n项和分别为，证明

参考答案

一、选择题
1．A　　2．B　　3．B　 4．C　 5．Ｄ　 6．C　　7．A　 8．A　 9．C　　10．B　
二、填空题
20080602
11．70　　12．-3　　13．12　 14．2 15．双曲线
三、解答题
16．解：设Ai表示事件“第一箱中取出i件二等品”，其中i=0, 1；Bj表示事件“第二箱中取出j件二等品”，其中j=0, 1, 2,
（Ⅰ）依题意，所求概率为
……（6分）
（Ⅱ）依题设可知，即，
∴，又由题设可知 且
故n=0, 1或2. ……（12分）
E
C1
B1
A1
B
A
D
C
17．解法一：（Ⅰ）∵，∴，
又由直三棱柱性质知，∴平面ACC1A1.
∴……①……（2分）
由D为中点可知，，∴
即……②
由①②可知平面B1C1D，又平面B1CD，
E
C1
B1
A1
B
A
D
C
故平面平面B1C1D. ………………（6分）
（Ⅱ）由（1）可知平面ACC1A1，如图，
在面ACC1A1内过C1作，
交CD或延长线或于E，连EB1，
由三垂线定理可知为二面角B1—DC—C1的平面角，
∴……（8分）
由B1C1=2知，，设AD=x，则
x
C1
B1
A1
B
A
D
C
z
y
∵的面积为1，
∴，解得，
即…………（12分）
x
C1
B1
A1
B
A
D
C
z
y
解法二：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系. 则 C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）.
即

得；
又，∴平面B1C1D.
又平面B1CD，
∴平面平面B1C1D. ………………（6分）
（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），，
设平面B1CD的法向量为.
则由
得，又平面C1DC的法向量为，
则由
，

即，故………………（12分）
18．解：（Ⅰ），且的图像经过点,
∴，
∴，……（3分）
由导函数图像可知函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
∴，解得 . ∴. ……（6分）
（Ⅱ）令，
则直线与函数有三个交点等价于函数的图象与轴有三个交点，即函数的极大、极小值异号. ,∴当k>时,有两个根
.
当时，g(x)为增函数，
当时，g(x)为减函数，
故g(x)分别取得极大值、
极小值，
由
得 ,
即,也即>64，∴k>9.
故k的取值范围是 (可数型结合求解) ……（12分）
19．解：（Ⅰ）设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a, b, c，
∵，
∴，由正弦定理有,
又由余弦定理有，
∴，即，
所以为Rt，且. ……（3分）
①
②
又
①÷②，得
令a=4k, b=3k (k>0)
则，
∴三边长分别为3，4，5. ……………………（6分）
（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为
设P点坐标为（x, y），则由P到三边AB、BC、AB的距离为d1, d2和d3可知
，
且故
令，由线性规划知识可知0≤m≤8，
故d1+d2+d3的取值范围是……（12分）
20．解：（Ⅰ）设椭圆长半轴为，半焦距为，当时，，.
∵，∴
故椭圆方程为，右准线方程为 ………………………（3分）
（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，R
联立 得点P的坐标为.
将代入得.
设，由韦达定理得.
又,
因为R,于是的值可能小于零,等于零,大于零,
即点可在圆内, 圆上或圆外.…………（8分）
（Ⅲ）假设存在满足条件的实数，
由题设有.
又设，有
设，对于抛物线，；
x
y
o

P
l
A1
A2

对于椭圆，，
即.
由
解得 ,
∴, 从而 .
因此，三角形的边长分别是 .
所以时，能使三角形的边长是连续的自然数. …………（13分）
21．解：（Ⅰ）由，得，
即数列是以为首项，以为
比的等比数列，∴……………………（4分）
（Ⅱ）因为，
所以要证明，只要证明
即要证明，也即证明成立.
构造函数.
∵，当x>0时，，
即f(x)在内为减函数，故，
∴，即，
此式对一切都成立. 故成立. ……………………（9分）
（Ⅲ）∵，由（Ⅱ）可知，
∴
利用错位相减法求得
因为，所以，
于是，故……………………（14分）