自主招生(数学).doc

自主招生交流试题(清华、北大、交大等)
2009，11
清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章
自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。
应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70%
2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围
3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。
几个热点问题
方程的根的问题：
1. 已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结论．（08交大）
2. 设，试证明对任意实数：
（1）方程总有相同实根；
（2）存在，恒有．（07交大）
3.（06交大）设
4. （05复旦）在实数范围内求方程：的实数根．
5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．
6. 解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大)
凸函数问题
1. (2009复旦)
如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足
，则称这个函数时下凸函数，下列函数（1） （2）
（3）（） （4）
中是下凸函数的有-------------------。
A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
2. （06复旦）设x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：
(1)（tanx1+tanx2）>tan; (2) （tanx1+tanx2）<tan;
(3)（sinx1+sinx2）>sin; (4) （sinx1+sinx2）<sin
A． (1),(3) B．(1),(4) C．(2),(3) D．(2),(4)
3.（09，清华）证明：
柯西不等式

1．(03交大)已知，x+2y＝1，则的最小值是______________．
2. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值。
3．P为△ABC内一点，它到三边BC、CA、AB的距离分别为，S为△ABC的面积，求证：．（09南大）
4. 给定正整数n和正常数a，对于满足不等式的所有等差数列a1,a2,a3,…,和式的最大值=_______.（07复旦）
A.; B.; C.; D..
5. （07复旦）当a和b取遍所有实数时，则函数所能达到的最小值为_____________.
A.1; B.2; C.3; D.4.
基础题
1. 求的单调区间及极值.(2007年清华)
2.设正三角形边长为，是的中点三角形，
为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和.
求.(2007年清华)
3. 圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，
求ABCD的外接圆半径．(北大2009)
4. 已知一公差为正整数无穷项等差数列，其中有3项：13，25，41．
求证：2009为数列中一项．（2009，北大）
5. 求最小正整数，使得为纯虚数，并求出．(06,清华)
6. 已知为非负数，，求的最值．(06,清华)
7. 已知为等差数列，为等比数列，求的值．(06,清华)
8. 比较与的大小并说明理由．（04复旦）
9. 求证：边长为1的正五边形对角线长为（08北大）.
10. 四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC。
（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。
（2）设底面为BCD，设另外三个面与面BCD所形成的二面角为α，β，γ。
求证：cosα+cosβ+cosγ=1。（08北大）
11.（09清华）（1）证明：
（2）已知x，y，z>0，a，b，c是x，y，z的一个排列。求证：。
12. 求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。
13. 求所有满足
的非直角三角形（这里表示不超过的最大整数）
(2009年南京大学自主招生试题)
14. 求由正整数组成的集合，使中的元素之和等于元素之积(06，清华)。
15. 的整数部分为A，小数部分为B。
（1）求A,B； （2）求；
（3）求。（09，清华）
16．（09复旦）.定义全集X的子集AX的特征函数为
这里，表示A在X中的补集。那么，
对A，BX，下列命题中不准确的是_______________.
A．AB≤，∀X
B．，∀X
c. ，∀X
D. +，∀X
17．（09复旦）.半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球，则小球半径r的最大可能值是_______________。
A． B. C. D．
中等题
18. 给出一个整系数多项式，
使有一个根为（2009清华）
19.．通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，．设，，表示和中相对应的元素不同的个数．
（１）问存在多少个5元数组 使得；
（２）问存在多少个5元数组 使得；
（３）令，，，
求证：．（08交大）
20．证明：若f（f（x））有唯一不动点，f（x）也有唯一不动点（09交大）
21. 已知，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线一支上.
(1)求证B、C关于直线对称；
(2)求△ABC的周长.(07,清华)

22. 是否存在实数x，使均为有理数？(09，北大)
23．对于集合，称M为开集，当且仅当，，
使得.
判断集合与是否
为开集，并证明你的结论.(2007年清华)。
25．定义在R上的函数， n=2,3,…
(1) 求； (2) 是否存在常数M>0，，有．（05复旦）
26．已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标．（07交大）
27．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面？并证明。（抛物线内部指焦点所在的一侧）（09清华）
28． 数列满足，且，其中
①求证：；
② 求证：。
29.(03交大)求证：为最简分式．
30.（04复旦）若存在，使任意（为函数的定义域），都有，则称函数有界．问函数在上是否有界？
31．对于集合，称M为开集，当且仅当，，
使得. 判断集合与是否为开集，并证明你的结论.(2007年清华)。
32．已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,
∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1
   求证：△ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半（08，北大）
较难题
33．定义闭集合S，若，则，．(1) 举一例，真包含于R的无限闭集合．(2) 求证对任意两个闭集合S1,S2R，存在，但．（03复旦）
34．排球单循坏赛，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍。
求证：冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）(08北大)
35．已知满足：对实数有，且，
求证恒为零． (05清华)
(可用以下结论：若，为一常数，那么)

36已知对x，恒成立，求a+b的最大值．(09北大)

37．某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不及格，
6道及以上为优秀，考场中每人做题数目不全同奇偶．
问：不及格者与优秀者哪个多？(09北大)
38. 已知
(08北大)
39。证明:正整数列是常数列的充要条件是其满足性质p:
对数列中任意2n项,存在一种方法将这2n项分为两类(每类n个数)，
使得两类数之和相等.（09清华）
40．

（2010年北大自主招生试题）
1、A、B为正五边形边上的点，证明：AB最长为(25分)
2.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。(25分)
3.向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0时取得最小值，问当0<t0<1/5时，求夹角的取值范围。(25分)
4.存不存在0<x<π/2，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列。(25分)

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