解三角形及应用归纳整理.doc

解三角形及应用举例
公式篇
知识点归纳 同角关系式
1倒数关系：，，
2商数关系：，
3平方关系：，，
知识点归纳 和差倍半
1．和、差角公式
；
；
．
2．二倍角公式
；
；
．
3．降幂公式
；；．
4．半角公式
；；．
5．万能公式
；；．
6．积化和差公式
；；
；．
7．和差化积公式
；；
；．
8.三倍角公式：
sin3= cos3=
9.辅助角公式：

知识点归纳
1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径
即 （其中R表示三角形的外接圆半径）
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）
2余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
第一形式，=，第二形式，cosB=
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
3三角形的面积：△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则
①；②；
③；④；
⑤；⑥（其中）
4三角形内切圆的半径：，特别地，
5三角学中的射影定理：在△ABC 中，，…
6两内角与其正弦值：在△ABC 中，，…
7三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中

解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”
∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°
在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边并常用正弦（余弦）定理实施边角转化
用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长
用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补

题型讲解
例1 在ΔABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及边c．
解：由正弦定理得：sinA=,
因为B=45°<90°且b<a,
所以有两解A=60°或A=120°
(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°，
c=,
(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，
c=
例2 △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B
分析析：研究三角形问题一般有两种思路一是边化角，二是角化边
证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得
sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC
－=sinBsin（A+B）
（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）
sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），
因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0
所以sin（A－B）=sinB
所以只能有A－B=B，即A=2B
例3 已知锐角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=
（1）求证：tanA=2tanB；
（2）设AB=3，求AB边上的高
分析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，以（1）为铺垫，解决（2）
（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，
∴
=2
∴tanA=2tanB
（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=
∴tan（A+B）=－，
即=－
将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，
解得tanB=（负值舍去）
得tanB=，
∴tanA=2tanB=2+
设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=
由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+
例4 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值
分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值
解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc
在△ABC中，由余弦定理得
cosA===，∴∠A=60°
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，
∵b2=ac，∠A=60°，
∴=sin60°=
解法二：在△ABC中，
由面积公式得bcsinA=acsinB
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB
∴=sinA=
例5 在中，，，，求的值和的面积．
解法一：　先解三角方程，求出角A的值．

又,

解法二：　由计算它的对偶关系式的值．
①

,
②
　 ①　+　②　得　　
　 ①　－　②　得　　
从而　．
以下解法略去．
例6 设函数，其中向量

（１）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；
（２）若函数y=2sin2x的图象按向量(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值
解：（１）依题设可知，函数的解析式为
＝2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+)
由1+2sin(2x+)=1－，可得三角方程
sin(2 x +)=－．　
∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，即x=-．
（２）函数y=2sin2x的图象按向量平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象
由（１）得 f(x)=2sin2(x+)+1
∵|m|<，∴，
例7 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．
（１）用a，表示S1和S2；
（２）当a固定，变化时，求取最小值时的角．
讲解　（１）∵
∴
设正方形边长为x
则BQ=

（２）当固定，变化时，

令
令
任取，且，
．
，
是减函数．
取最小值，此时
例8 某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离（不要求作近似计算）
解：在△AOB中，设OA=a，OB=b
因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°
则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，当且仅当a=b时，“=”成立又O到AB的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α所以a=，b=，
ab=·=
==
=≥，
当且仅当α=22°30′时，“=”成立
所以|AB|2≥=400（+1）2，
当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立
所以当a=b==10时，|AB|最短，其最短距离为20（+1），即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离为20（－1）