概率论基础阶导数应用笔记.doc

一阶导数应用
1、函数的极值
①P82，定义：如在邻域内，恒有， ，则称为函数的一个极大（小）值。
可能极值点， 不存在的点与的点。（驻点）
驻点 ←极值点
极小值
极大值
②判别方法
P82，ⅰ、导数变号。 ⅱ、，
例1、 设满足关系式，且,
，则在点处 A
A、取得极大值 B、取得最小值
C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减

例2、 已知函数对一切满足
如，，则 A
A、 是的极小值
B、是的极大值
C、是曲线的拐点
D、不是的极值，也不是曲线
的拐点

例3、 设函数在的某邻域内可导，且，
，则是的极 大 值。

2、函数的最大值与最小值
(1) 求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。
(2)在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值
如是极大值则为最大值
(3)如分别为最小, 最大值
(4)实际问题据题意可不判别。

例1、 在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作
切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。
解：设切点为，切线方程为
即
∴ 三角形面积：

，令 （唯一）
∴
故 为所求点

3、曲线的凹凸、拐点及渐近线
在I上可导
如则曲线是凹（凸）的,
在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。
可能的拐点 和 不存在的点

例1、 设，试讨论的性态。

x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,1)
1
(1,+ ∞)
y’
+
0
-
间
断
+
0
+
y’’
-
-
-
-
0
+
y
单调增
上凸
极大值

单减
上凸
单增上凸
拐点
(1,0)
单增
下凸
渐近线 如 则称为水平渐近线
如 则称为垂直渐近线

例2、 求 渐近线 （斜渐近线不讨论）
解： ∵ ∴ 为水平渐近线
∵ ∴ 垂直渐近线

例4、 曲线的渐近线有 4 条

4 证明不等式
（1）利用中值定理（R，L）；
（2）利用函数单调性；
（3）利用最值；
（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；
（5）利用函数凹凸性；
（6）利用泰勒公式。

例1、 当，试证：
即
证： 设 ，在连续，可导，
由拉格朗日中值定理
∵ ，即
∴

例2、设，证明
证： 设
单增，当 ∴
设

单增，当
∴
例3、当 证明
证： 令
驻点唯一，
∵
∴ 极小
∴ 为最小值
即

例4、 P91 ， 习题22
当
证明
证: 设

令 , 驻点唯一
,
当 , → 在上
最大值为 ,最小值为
∴

例5、 设，证明
证明：即 证
设 ， 时
∴ 单减 当
即

例6、 设在上可导，且单调减，
证明： ，
证： 令

∵ 单调减
， ，
∴ ，即单调减
，
即