应用图形的旋转变换巧解.doc

应用图形的旋转变换巧解“难题”

（一）正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔCP中，此时ΔAP也为正三角形。
⇒
图（1-1-a） 图（1-1-b）
例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，
则APB的度数是________.
⇒
图（1-1） 图（1-2）
简解：在ΔABC的外侧，作BA=CAP，且A=AP=3，连结B。
则ΔBA≌ΔCAP。易证ΔAP为正三角形，ΔPB为RtΔ
∴APB=AP+PB=+=1500
（二）正方形类型
在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCP中，此时ΔBP为等腰直角三角形。
⇒
图（2-1-a） 图（2-1-b）
例2 . 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离 分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
⇒
图（2-1） 图（2-2）
简解：作ΔAED使DAE=BAP，AE=AP连结EP，则ΔADE≌ΔABP（SAS）
同样方法，作ΔDFC且有ΔDFC≌ΔBPC。
易证ΔEAP为等腰直角三角形，又∵AP=1
∴PE= 同理，PF=3
∵EDA=PBA，FDC=PBC
又∵PBA+PBC=900
∴EDF=EDA+FDC+ADC= 900+900=1800
∴点E、D、F在一条直线上。
∴EF=ED+DF=2+2=4，
在ΔEPF中，EF=4，EP=，FP=3
由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF为RtΔ
∴S正方形ABCD =SRtΔEPF+SRtΔEPA+SRtΔPFC=3++=8
例3 .如图（3-1）正方形ABCD中,边长AB=，点E、F分别在BC、CD上,且BAE=300, DAF=150。求ΔAEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)

图（3-1）
简解： 延长CB至使得B=DF，连结A，则RtΔAB≌RtΔADF（SAS）。
∴AE =300 +150=450，FAE=900 -300 -150=450易证ΔAE≌ΔFAE(SAS)
∴EA =FEA=600，∴FEC=600, ∵在RtΔABE中, AB=，BAE=300
∴BE=1, CE=-1, FE=2CE==2(-1), ∴ E=EF=2(-1)
所以,SΔAEF= S△AF’E=AB·E=ÎÎ2(-1)=3-
（三）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中，C=Rt, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔCP为等腰直角三角形。
⇒
图（3-1-a） 图（3-1-b）
例4．如图（4-1），在ΔABC中，ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度数。
⇒
图（4-1） 图（4-2）
简解：在RtΔABC的外侧，作BC=ACP，且C=CP=2，连结P。
则ΔBC≌ΔACP。易证RtΔCP为等腰直角三角形，在ΔPB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，ΔPB为RtΔ为RtΔ，PB=900
∴BPC=CP+PB=450+=1350

例5. 如图（5-1），在ΔABC中，BAC =900，AB=AC，ΔABC内一点O，AO=2cm,如果把ΔABO绕A点按逆时针方向转动900，使AB与AC重合，则O点经过的路径长为__________。

图（5-1）
例6． 如图（6-1），五边形ABCDE中， ABC=AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积等于______________。（2003年宁波市至诚杯竞赛题）
⇒
图（6-1） 图（6-2）
简解：延长DE至使得E=BC，连结A，则ΔAE≌ΔABC（SAS）
∵AB=CD=AE=BC+DE=1，∴CD =D
∴ΔCAD≌ΔAD（SSS）
∴SABCDE=2 S△C’DA=2（11）=1
4