圆锥曲线复习讲义教师版.docx

江苏省丹阳高级中学高一数学创新班 圆锥曲线复习讲义
圆 锥 曲 线 复 习 讲 义2
一、 填空题：
1、 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则___________ 9
2、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是__________
3、已知点、，动点，则点P的轨迹是______抛物线
4、如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是_____
5、对于椭圆和双曲线有下列命题：
① 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;
③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.
其中正确命题的序号是 .①② 　
6、已知椭圆的两个焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，，则该椭圆的离心率为
7、抛物线上的点到直线的距离的最小值是
8、抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标 。（）
9、椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 7倍
10．若曲线的焦点为定点，则焦点坐标是 .; （0，±3）
11、在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
12、设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为 .
13、已知F1、F2是椭圆=1(5＜a＜10）的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是
14、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为___________ 9

二、解答题：
15、已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.
解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。， ∴，
，故所求椭圆的标准方程为+；
（II）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：、（0，-6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，， ∴，
，故所求双曲线的标准方程为-。
16、已知抛物线，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．
[解析]：设M（），P（），Q（），易求的焦点F的坐标为（1，0）∵M是FQ的中点，∴ ，又Q是OP的中点∴ ，∵P在抛物线上，∴，所以M点的轨迹方程为.

17、已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
（1）解：依题意e ， ∴a＝3，c＝2，b＝1，
又F1(0，－2)，对应的准线方程为
∴椭圆中心在原点，所求方程为
(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分
∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m ，由消去y，整理得
(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0，∵l与椭圆交于不同的两点M、N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0 即m2－k2－9＜0 ①
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ②
把②代入①式中得，∴k＞或k＜－
∴直线l倾斜角

18、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为
，
(II)设，由，
，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，
(最好是用向量点乘来)，
，
，解得，且满足.
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为

19、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为﹒ （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒
解：（I）设椭圆E的方程为,由已知得：椭圆E的方程为
（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则
由得

所以 对于任意的值，为定值，所以，得，
所以；
②当直线的斜率不存在时，直线
由得综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为﹒

y
O

.
.
.
M

x
.
20、我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
解：（1） ，
，于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．
．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；
若，当取得最小值时，点的横坐标是或．