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傅里叶变换分析信号的缺点
基于傅里叶(Fourier)变换的信号频域表示,揭示了时间函数和频谱函数之间的内在联系,在传统的平稳信号分析和处理中发挥了极其重要的作用,很多理论研究和应用研究都把傅里叶变换当作最基本的经典工具来使用.但是傅里叶变换存在着严重的缺点:
1.傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能
傅里叶变换及其逆变换表示如下：
(1)
(2)
由以上两式可知,傅里叶变换是一种整体变换,对信号的表征要么完全在时域内,要么完全在频域内,ω和t是互相排斥的两个变量.用傅里叶变换的方法得到某一个频率的频谱分量S(),必须从-∞～+∞的整个时间轴上进行积分.如果要从频谱得到信号在某一时刻的值s(),则需要对S(ω)在整个频率轴上进行积分.因此,傅里叶变换得到的是信号s(t)在整个时间范围内的频率特性,它不能告诉人们在某段时间里信号发生了什么变化,也无法获得某一频率出现的时刻信息,因此,它不具有时间和频率的定位功能
2.傅里叶变换对于非平稳信号的局限性
信号的瞬时频率,表示了信号的谱峰在时间-频率平面上的位置及其随时间的变化情况,一般平稳信号的瞬时频率为常数,而非平稳信号的瞬时频率是时间t的函数.从傅里叶变换变换的表达式可以看出,S(ω)是单变量ω的函数,信号的傅里叶变换不随时间的变化而变化,因此,傅里叶变换仅仅适用于平稳信号.但是,在实际工作中,我们分析和处理的往往是时变的或非平稳的信号,它们的频率随时间变化而变化,其相关函数、功率谱等也是时变信号,用傅里叶变换进行分析,得到的信号频谱反映的是整体信号中包含的某一频率分量的平均值.所以傅里叶变换不能反映信号瞬时频率随时间的变化情况,仅仅适用于分析平稳信号.对频率随时间变化的非平稳信号,傅里叶变换只能给出其总体效果,不能完整地把握信号在某一时刻的本质特征
3.傅里叶变换在时间和频率分辨率上的局限性
分辨率是信号处理的基本概念之一,包括频率分辨率和时间分辨率.在时域分析中,信号处理的目标是尽可能地同时获得高的时间分辨率和频率分辨率.然而,可以证明时域窗和频域窗乘积恒定且大于等于12,也即不可能同时获得高的时频分辨率,这就是著名的不确定性原理.傅里叶变换在这方面的表现尤其不尽如人意.傅里叶变换可以改写成内积的形式,即
.(3)
由于傅里叶变换等效于s(t)和基函数做内积,而对不同的ω构成一族正交基,因此S(ω)精确地反映了s(t)在该频率点的分量大小.基函数在频域是位于ω处的δ函数,因此,当用傅里叶变换来分析信号的频域特性时,具有最好的频率分辨率.但是在时域对应的是正弦函数,其在时域的持续时间是-∞～+∞,因此,其时域分辨率最差.对于傅里叶逆变换,分辨率的情况正好相反.这一结果既体现了信号的时频不确定性原理,也反映了傅里叶变换在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾.显然,傅里叶变换本身不可能根据信号的特性来自动调节时域和频域的分辨率。
时频分析
时频分析（JTFA）即时频联合域分析（Joint Time-Frequency Analysis）的简称，作为分析时变非平稳信号的有力工具，成为现代信号处理研究的一个热点，它作为一种新兴的信号处理方法，近年来受到越来越多的重视。时频分析方法提供了时间域与频率域的联合分布信息，清楚地描述了信号频率随时间变化的关系。
时频分析的基本思想是：设计时间和频率的联合函数，用它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度。时间和频率的这种联合函数简称为时频分布。利用时频分布来分析信号，能给出各个时刻的瞬时频率及其幅值，并且能够进行时频滤波和时变信号研究。信号时频分析具有重要的意义。我们很有必要对信号的时频进行研究分析。
时频分析的几种方法：
1、短时傅里叶变换
其基本想法为：傅里叶变换是频域分析的基本工具，为了达到时间域上局部化，在傅里叶分析中的基本变换函数之前乘上一个时间上有限的时限函数，即窗口函数 ，然后再用它们来作傅里叶分析，这样 起频限作用， 起到时限作用，合起来，就可起到时频双限制作用。其中 是有紧支集（即窗口外数据为零）的函数。 为被分析的信号。
随着τ的位置变动， 所确定的“时间窗”在t轴上移动，使逐步进入被分析的状态。窗口函数 ，一般为实的偶函数，窗口外数据为零（紧支集）或很快趋于零。这时傅里叶变换结果不再为 ，而是 ，这里 大致反映了 在时刻 时频率为 的“信号成分”的相对含量。时频局部化就是希望找一种信号的表示方法，它能同时提供时域和频域的局部化信息。而这种变换确实能反映函数在窗口内部（τ附近）的频谱特征。窗口傅里叶变换可使信号达到局部平稳,更好地研究局部范围的特性。窗口函数 的傅里叶变换，它在有限区间之外数据恒等于零。用 乘 ，即在 附近开窗口，为窗口傅里叶变换。
Gabor只做了高斯窗 的傅里叶变换，它是窗口傅里变换的一种。尽管窗口傅里叶变换是一种时频分析，是信号处理的重要工具，并得到广泛的应用，但是窗口傅里叶变换的一个主要缺点是时域和频域的采样间隔都是常数，即这种窗口大小和形态与频率无关，是固定不变的，不能使变换窗口大小随频率而变化。但在处理实际问题，我们希望时域的采样间隔随着频率的增高而减小，同时窗口傅里叶变换不管如何离散化均不能使它成为一组正交基。为此，J.Morlet等人对窗口傅里叶变换进行了改造，引入了小波变换。
2.1、 Wigner-Ville分布
维格纳—威利时频分布的最早形式，是由诺贝尔奖获得者维格纳建立并于1932 年发表的。在物理学与信息论关于信号瞬时频率与瞬时频谱的研究中，为克服短时傅立叶变换特点，1948 年，威利将这个分布函数引为信号分析领域。WVD是一种双线性时频分布，信号s(t)的维格纳分布为：
WVDt,w=12πs*t-12τst+12τe-jτωdτ
=12πs*ω-12θsω+12θe-jtθdθ

S (w)为s(t)频谱函数，S∗ (t) 为s(t)复值共轭形式WVD 有许多优良的性质，时频聚焦好，比线形时频有较高分辨率。如果信号在中间某段时间为零，但WVD 在信号为零的时间不一定为零，同样在频谱为零的地方，WVD 不一定为零，这个现象称为交叉项或干扰项，在分析多分量信号时，WVD 的双线形引起的交叉项出现在时频分布中信号能量本应为零的位置。WVD 虽存在交叉项，但不存在窗函数或母小波的选取问题，再者，其时频聚焦性好，因而受到人们的喜爱。
2.2、伪Wigner-Ville 分布（简称PWVD）
尽管WVD 存在明显的交叉项，但由于交叉项的振荡特性，可通过对WVD 的平滑来实现对交叉项的消除，在时域加一个平滑的窗函数，便得到伪Wigner-Ville 分布：
PWst,w=hτs(t+τ2)s*(t-τ)e-jwtdτ
h(t)是一个窗函数，所加窗函数在时域上越短，在频域上的平滑效果越明显，消除交叉项的效果也越好，但WVD的有用性质如频率紧支集性，满足边缘条件等被破坏的也严重，交叉项的消除是以分辨率的降低为代价的。
PWVD 在频率方向进行平滑，信号的频率分辨率变差了。
2.3、平滑的伪WVD（简称SPWVD）
PWVD 实际上只在频率方向进行平滑，如同时能在时间方向上也进行平滑， 效果更好， 这即平滑的伪WVD（SPWVD），定义为：
SPWst,w=h(τ)gu-ts(u+τ2)s*u-τ2due-jwtdτ
上式中当g(t) = s(t)时，成为PWVD，由于SPWVD 在时域也加平滑窗，因此交叉项的影响要小得多，是牺牲时域分辨率换来得，在时域或频域中越平滑，在时间或频率域中分辨率越低。SPWVD 的交叉项最小，但在时间和频率两个方向都进行平滑，它的时间分辨率和频率分辨率在三种分布中是最差的。
3、Gabor变换
Ｇａｂｏｒ变换是Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ不确定准则下的最优短时傅里叶变换，是具有高斯窗函数的短时傅里叶变换，高斯窗函数是短时傅里叶变换时间分辨率和频率分辨率最优的窗函数。与传统的时频分析方法（如短时傅里叶变换）相比，Ｇａｂｏｒ变换具有更好的时间－频率分辨率，在诸如地震信号非平稳信号处理中，Ｇａｂｏｒ变换发挥着积极的作用。
4、 Cohen类时频分布
Cohen 类时频分布是建立在Wigner2Ville 分布基础上的分布的统称,通过对Wigner2Ville 分布加不同的核函数来抑制交叉项的影响。Cohen 类时频分布在模糊域(相关域) 的表现形式为
Ct,w=Aθ,τφ(θ,τ)e-j(θt+wτ)dθdt
式中,θ、τ分别为频移与时移(文中θ表示的是归一化频率的偏移量,τ表示的是采样点数的偏移量) ; t、ω分别为时间和角频率; A (θ,τ) 是信号的模糊函数; φ(θ,τ) 为核函数,给定不同的核函数就得到不同的分布。