居民屋顶保温层厚度.doc

摘 要
本文通过题目给出的条件，建立居民屋顶保温层厚度的数学模型，得出珍珠岩保温层的最佳厚度为8.8 cm 。这样一来，既能保证舒适的室温又能保证经济性最好。同时进行模型的改进，分析了其它几种保温层材料及其最佳厚度。
对于保温层厚度的得出，首先对传热原理进行了分析，并给出了热损失的计算式。然后，引入采暖费用和建造费用，建立了关于采暖总费用与厚度关系的数学模型。通过分析可知，随着保温层厚度的增加，采暖费用会随之降低，而建造费用却随之增加。因而从经济和节能两方面对厚度加以限制，并最终算得了最佳保温层厚度。
对结果进行分析，发现随着保温层厚度的增加，年采暖总费用呈现先减小后增大的趋势。对此，利用MATLAB软件做出了总费用与厚度的关系曲线图。由图可知，当费用最小时，相对应的厚度即为最佳保温层厚度。
对模型进行实际应用时，通过变换材料的导热系数，得出了不同材料的最佳厚度（如表1所示），同时对不同材料的保温性能做了简要分析。

表1 几种首选保温材料及其最佳厚度
保温层材料名称
最佳厚度 cm
年采暖总费用 元/m3
聚氨酯泡沫
7.5
2303.1
珍珠岩保温层
22.6
791.2
聚氨酯保温板
12.09
1457.1
硅酸盐保温板
7.8
2012.4
复合建筑节能保温板
6.9
2474.1

又经过一系列标准得到，最适合的保温材料是聚氨酯保温板，其最佳厚度是3.84cm。
在文章的最后，结合当前社会的发展状况，从节约能源等角度分析了模型的改进方向，并对模型的优缺点做出了评价。
关键词：导热系数；最佳厚度；采暖费用

1．标题：居民楼屋顶保温
2．问题提出：
目前，城市居民楼很多都是简单的平屋顶，假设屋顶由里向外的结构是0.1(cm)涂料，1.5(cm)水泥砂浆20(cm)楼板，2(cm)水泥砂浆，珍珠岩保温层，2(cm)水泥砂浆，1(cm)三毡四油防水材料。
北方地区这样的屋顶，夏季太阳日照下的表面温度最高可以达到摄氏75度，冬季为摄氏零下40度。为了保持室内有较好的舒适温度，又不造成浪费，

（1）保温层厚度应该多厚为好？
（2）如果更换保温层成其它保温材料，你认为那种好，其厚度是多少？
3.1模型假设
（1）假设传导过程无热量损失。
（2）假设无其他外界的条件影响，即是不考虑 人为破坏 材料有问题等。
（3）假设室内有较好的舒适温度。
（4）屋顶结构体及保温层材料均匀，热传导系数是常数。
3.2符号说明

单位面积的透过屋顶损失的热量
(W·s)/ m2

围护结构的传热系数，
W/（m2·K）；

室内外温差，；
℃

年采暖耗热量，；
J/m2

采暖度日数，
℃·d；

空调度日数，
℃·d；

单位面积由里到外各结构材料的传热阻，
m2·K/W；

单位面积保温层的热阻
m2·K/W；

由里到外屋顶结构材料的厚度
m ；

保温层的厚度
m；

单位面积各结构材料的导热系数,
W/(K·m ) ；

单位面积保温层的导热系数
W/(K·m )；

单位面积年采暖总费用
￥/ m2；

单位面积保温层的投资费用
￥/ m2；

单位面积年采暖耗热费用
￥/ m2；

单位面积采暖年运行费用
￥/ m2；

贴现系数；

单位体积保温材料的造价
￥/ m3；

单位重量的煤价
￥/kg；

单位时间的电价
￥/h ；

单位重量煤的发热量
kJ/kg；

空调单位面积单位时间的发热量
J/h；

冬季采暖系统的总效率

夏季制冷系统的总效率

4．模型的建立：
4.1相关概念及公式
1. 导热系数与热阻
在传热学中,用导热系数来表征物质的导热能力，在数值上它等于单位导热面积、单位温度梯度在单位时间内的导热量，单位为。
热阻是反映阻止热量传递能力的综合参量。根据传热学公式，物质的热阻与导热系数满足关系：

其中，d为材料的厚度，为材料的导热系数。

2. 采暖度日数 HDD与空调度日数CDD
根据《夏热冬冷地区居住建筑节能设计标准》中的规定，一年中，当某天室外日平均温度低于18℃时，将低于18℃的度数乘以l天，并将此乘积累加得到的累积度数为采暖度日数（HDD）。
同样，将日平均温度高于26℃的累积度数称为空调度日数(CDD)。
取使室内达到适宜温度时最高温差的一半作为采暖时间内的平均温差，得到采暖（空调）度日数的计算公式为

式中，为屋顶外表面的最低温度（最高温度）与室内冬季（夏季）适宜温度的差值；为采暖（降暖）总日数。
本题中，设屋顶外表面冬季最低温度为（℃），夏季最高温度为（℃），采暖日数为，降暖日数为，则有

4.2热损失计算和推导
在日照情况下，考虑屋顶表面温度不同地方温差不是很大，可看做垂直照射屋顶。

1. 单位面积的热损失
由传热学理论可知，单位面积的换热量Q与成正比，即

式中，Q为单位面积的耗热量；为介质两侧的温差；K为传热系数。
在本题中，围护结构的传热系数K为

式中，为围护结构建筑材料的传热阻；为保温层的传热阻。

2. 单位面积年热损失
单位面积年热损失用采暖（空调）度日数计算，一年分冬、夏两个季节，可得公式

其中，为年采暖耗热量；为时间；和分别代表冬、夏两季室内最适宜温度为18℃和26℃ 时的采暖（空调）度日数。（根据相关标准，也把18℃与26℃分别作为室内冬、夏两季的最适宜温度。）

对于的计算
(秒/天)
因此得到

4.3单位面积年采暖总费用的计算
1. 贴现系数PWF的确定
贴现系数(PWF)是指把今后某一日期收到或支付的款项，折算为当今的现值。贴现系数的确定方法为
若 ；
若，则；
若，则；
则有．
式中，j为银行利率；g为通货膨胀率（%）；N为使用年限；I为贴现率。
2. 单位面积年采暖总费用
年采暖总费用等于保温层的投资费用和采暖耗热费用之和，即

式中，为单位面积年采暖总费用；为单位面积保温层的投资费用；为单位面积年采暖耗热费用。
3. 保温层的投资费用

式中，为单位体积保温材料的造价；为保温层的厚度。
4 . 采暖所用耗热量的费用

式中，为单位面积采暖年运行费用。

5. 采暖年运行费用

考虑实际情况，北方的冬季通常用锅炉供暖，夏季用空调降温， 按一年冬、夏两种季节分别计算。
（1） 冬季——利用煤价计算
（2）

式中，为单位重量的煤价；为单位重量煤的发热量；为冬季采暖系统的总效率．
对于的计算：

式中，为室外管网输送效率；为锅炉的运行效率。通过查阅资料取=0.9，=0.68。
（3） 夏季——利用电价计算

式中，为单位时间的电价；为空调单位面积单位时间的发热量；为夏季采暖系统的总效率。

4.4 最佳厚度的计算式

综合上述各式，整理得到：
（1）
通过问题的分析可知，建筑采暖总费用存在一个最小值，其对应的厚度值即为最佳厚度。因此对总费用函数求导，得最佳厚度的计算式为：

（2）

5.模型求解（算法设计和计算机实现）：
5.1珍珠岩保温层最佳厚度
题中给出夏季屋顶表面最高温度为摄氏75度，冬季表面最低温度为摄氏零下40度。
（1） 冬季参数：

通过上网查阅今年辽宁煤炭价格,2012年辽宁地区煤价：600-750元/吨;发热量：20.9～25.1MJ/Kg。因此取定：
=600元/吨；
=30 MJ/Kg；
=0.680.9=0.612．
（2） 夏季参数：

经查阅,2P空调的制冷功率约为3.5 KW，耗电功率约为800W。 假设选用2P空调，经换算得单位时间单位面积的发热量为=25003600=9000（KJ）。
根据有关数据，一般供热系统的效率为：60%－65%。
2009年辽宁地区电价：0299元／千瓦时．
因此取定：
=元／千瓦时；
=9000 KJ；
=60%．
（3） 相关银行利率：

依据2009年央行公布的信息，得到如下数据：
贷款利率；
通货膨胀率g＝4.5%；
设定使用年限N＝10；
贴现率I=1.03%。
经计算可得：贴现系数PWF=3.216。

（4） 采暖度日数
认为年采暖日数为4个月，降暖日数为2个月，即有=120,=60（单位：天）。
(℃·天)
=1470(℃·天)
（5） 结构材料的相关参数

由里到外屋顶结构材料的传热阻和厚度列表（如表2所示）：

表2 各种结构材料的厚度与导热系数
结构材料
厚度 cm
导热系数 W/ (K·m )
传热阻 m2·K/W
涂料
0.1
0.041
0.024
水泥砂浆
1.5
0.930
0.016
楼板
20
0.706
0.283
水泥砂浆
2
0.930
0.021
珍珠岩保温层
——
0.058
——
水泥砂浆
2
0.930
0.021
三毡四油防水材料
1
0.062
0.161

5.2其它保温材料的最佳厚度比较分析
5.2.1其他保温材料最佳厚度的模型建立
通过查阅相关资料，得知各种常见保温材料的导热系数及单位造价（见表3）。

表3 ：不同保温材料的导热系数单位造价及环保性能
保温层材料名称
导热系数 W/(K·m)
单位造价 （x）￥/m3
环保性能
聚氨酯泡沫
0.020
580
二级
珍珠岩保温层
0.058
185
二级
苯板
0.047
300
五级
挤塑板
0.025
430
五级
聚氨酯保温板
0.028
320
一级
聚乙烯PEF
0.038
320
四级
EPS聚苯乙烯泡沫板
0.038
260
四级
酚醛泡沫保温板
0.022
750
三级
硅酸盐保温板
0.040
860
三级
复合建筑节能保温板
0.020
670
二级

利用上述求解最佳厚度的公式，代入不同的导热系数，可得不同材料的最佳厚度及采暖总费用。

5.2.2模型的求解：
将不同保温材料的导热系数代入上述求解最佳厚度的公式中，得到不同材料的最佳厚度及采暖费用如表4所示。

表4：不同保温材料的最佳厚度及采暖费用
保温层材料名称
导热系数 /(K·m)
单位造价 （x）￥/m3
最佳厚度(d) cm
年采暖总费用 (W)元/m3
聚氨酯泡沫
0.020
580
2.62
2303.1
珍珠岩保温层
0.058
185
8.8
791.2
苯板
0.047
300
5.49
1107.2
挤塑板
0.025
430
9.7
1781.9
聚氨酯保温板
0.028
320
3.39
1457.1
聚乙烯PEF
0.038
320
4.82
1261.7
EPS聚苯乙烯泡沫板
0.038
260
5.43
1137.8
酚醛泡沫保温板
0.022
750
2.34
2501.3
硅酸盐保温板
0.040
860
2.73
2012.4
复合建筑节能保温板
0.020
670
2.33
2474.1

5.2.3对所得结果的分析：
从上表可以看出珍珠岩保温层的厚度最大，但是最经济，费用最少，然而其体积最大，对建筑物的负荷也最大；酚醛泡沫保温板、聚氨酯泡沫、硅酸盐保温板、复合建筑节能保温板等虽然价格比较高，但是其需求的厚度较小（即其体积最小）。如果从减少建筑物负荷的角度来说这四种材料的保温层是比较适合的。

5.3利用其他材料的保温方式
5.3.1定量分析其他材料最佳保温方式模型的建立
究竟哪种材料是最合适的， 由此进行了一系列的定量分析。根据材料成本和年采暖费用的数据，求最小经济成本即最便宜的保温方式。由于体积过大会造成建筑施工的难度，影响美观，所以 将体积乘以系数2000，以平衡定量分析的结果。定量分析的公式如下：

5.3.2模型的求解
按照上述方法进行处理后可得如下结果：
表5：不同保温材料总成本（衡量值）的比较
保温层材料名称
总成本（衡量值）
单位造价 （x）￥/m3
最佳厚度(d) cm
年采暖总费用 (W)元/m3
聚氨酯泡沫
32695.1
580
2.62
2303.1
珍珠岩保温层
33351.2
185
8.8
791.2
苯板
34047.2
300
5.49
1107.2
挤塑板
85201.9
430
9.7
1781.9
聚氨酯保温板
23153.1
320
3.39
1457.1
聚乙烯PEF
32109.7
320
4.82
1261.7
EPS聚苯乙烯泡沫板
29373.8
260
5.43
1137.8
酚醛泡沫保温板
37601.3
750
2.34
2501.3
硅酸盐保温板
48968.4
860
2.73
2012.4
复合建筑节能保温板
33696.1
670
2.33
2474.1

由此可见，聚氨酯保温板和EPS聚苯乙烯泡沫板是最合适的材料，其外观的经济性成本都能达到较低。

5.4模型的改进（环保材料）
为了响应可持续发展建设和谐社会的要求， 决定将材料的环保性能考虑在内。由此， 在上题的模型基础上进行改进。

5.4.1模型的建立
为了能将环保性能与总成本联系起来， 将环保性能的级数乘以系数5000，得到新的衡量值，衡量值越小，表示其越适合做保温材料。

5.4.2模型的求解
按照上述方法进行处理后得到如下结果：
表6：最佳的保温材料比较
保温层材料名称
总衡量值
环保性能
总成本（衡量值）
最佳厚度(d) cm
年采暖总费用 (W)元/m3
聚氨酯泡沫
42695.1
二级
89303.1
2.62
2303.1
珍珠岩保温层
43351.2
二级
84411.2
8.8
791.2
苯板
59047.2
五级
95307.2
5.49
1107.2
挤塑板
110201.9
五级
85201.9
9.7
1781.9
聚氨酯保温板
28153.1
一级
78833.1
3.39
1457.1
聚乙烯PEF
52109.7
四级
89581.7
4.82
1261.7
EPS聚苯乙烯泡沫板
49373.8
四级
81893.8
5.43
1137.8
酚醛泡沫保温板
52601.3
三级
103001.3
2.34
2501.3
硅酸盐保温板
63968.4
三级
136172.4
2.73
2012.4
复合建筑节能保温板
43696.1
二级
94934.1
2.33
2474.1

由上表可知，总衡量值最小的为聚氨酯保温板。即聚氨酯保温板为最适合的保温材料,且其最佳厚度是3.39cm。

6．结果（数据、图形）

采用珍珠岩保温层，查阅相关资料可知，其导热系数在0.058～0.064（单位：W/(K·m )）之间，现在的市场价格为：185元/立方米。

总热阻：

利用公式（1）计算总费用：

利用公式（2）计算最佳厚度：

综上所述，珍珠岩的最佳保温层厚度d=8.8cm；最小费用为 = 38.84元/m2。

利用MATLAB软件做图，得到珍珠岩保温层厚度d与采暖总费用W的关系，结果如图所示。

图： 保温层厚度d与采暖总费用W的关系

由上图可知，随着保温层厚度d的增加，年采暖总费用呈现先减小后增大的趋势。在建筑采暖过程中，实际上保温层的投资费用随保温层厚度d的增加呈线性增大的趋势，而年采暖（降暖）所用耗热费用与保温层厚度d之间是非线性关系：开始随d增大而迅速降低，当d达到一定值时，变得平缓，从而导致单位面积年采暖总费用随着d的增加，先是减小而后增长．
7．结果分析和检验（如误差分析、统计检验、灵敏性检验）：
7.1误差分析
在分析题目时将冬季夏季每天的温度看做一恒定值，但实际问题中，每天的气温大致呈正态分布。用定值表示每天的气温，导致温度没有浮动性，同时便造成了误差。
8．优缺点，改进方向：
8.1模型的优点
1．在求解采暖年运行费用时，采用冬季采暖用煤，夏季降暖用空调的方法，符合北方居民住房的实际情况；
2．经过检验，在保温材料不同的情况下，由本模型计算出的结果与实际数值比较接近，说明模型具有较好的稳定性，可应用于实际；
3．从考虑材料之间的导热关系入手，在大量查阅相关数据的基础上，给出了结果的表达式，具有一定的应用价值；
4. 参考了《民用建筑节能设计标准》、《夏热冬冷地区居住建筑节能设计标准》等多项建筑标准和规定，使结果更加准确，增强了模型的可行性。
8.2模型的缺点
1.没有考虑随机因素（如某年气温的异常）的影响；
2.在计算费用的过程中，模型没有考虑节能环保方面的问题。
8.3改进方向
（1）计算通过围护结构的负荷时，普遍使用室外平均计算温度，然而实际上热流随着外界气候、环境、时间等因素时刻发生变化。为此，应建立动态负荷和保温层厚度之间的关系式。
（2）本文是着重从经济学的角度来确定最佳保温层厚度，然而实际上保温层厚度的选择不仅关系到节约能源问题，同时也关系到环境保护问题，环境污染的现状使得环保观念在国内乃至全世界都显得十分重要和必须。倘若在围护保温层材料的选择上考虑其对环境的影响，以及对其所需消耗热源燃料产生的污染物量进行评估，可使得所选取的保温层厚度在经济和环境两方面达到最佳效益。
（3）根据《民用建筑节能设计标准》中的规定，设置集中采暖的建筑物，其围护结构的传热阻应根据技术经济比较确定，且应符合国家有关节能标准的要求。其最小传热阻应满足一定的要求，因此对于居住平顶屋等建筑围护结构的最小热阻应按相关公式计算并进行附加。

9．参考文献
[1]陈日耀. 金属切削原理. 北京: 机械工业出版社, 1985:33-36
[2]张钰, 王丹, 张风和等. 一种新的疲劳可靠寿命计算方法.东北大学学报(自然科学版), 2000, 21(1): 42-45

[3] 孙长荣，太阳辐射作用下混泥土形截面桥梁温度场的计算与研究[J]，哈尔滨：哈尔滨建筑工程学院学报，1998（1）：92-101.
[4] 温立书，郑忠武，曲坤，高寒地区平屋顶保温层厚度反演[J]，大连：大连铁道学院学报，2006，27（1）：14-17.
[5] 房琳，曲德林，刘福祯，空调建筑外墙和屋顶经济绝热厚度的计算，北京：太阳能学报，2000，12（6）：711—714.
10．附录（程序、更多的计算结果、复杂的推导、证明等）
计算不同材料最佳厚度的程序：
a1=[580 185 300 430 320 320 260 750 860 670];
a2=[0.02 0.058 0.047 0.025 0.028 0.038 0.038 0.022 0.04 0.02];
x=[0.0746 0.2262 0.1567 0.0974 0.1209 0.1380 0.1553 0.0669 0.0778 0.0687];
w=a1.*x+192.45./(x+0.528.*a2)

珍珠岩厚度与年费用的比较图：
syms x y;
x=0:0.05:0.45;
y=x.*185+2.64./(x+0.029);
plot(x,y)

参考文献
[1] 陈日耀. 金属切削原理. 北京: 机械工业出版社, 1985:33-36
[2] 张钰, 王丹, 张风和等. 一种新的疲劳可靠寿命计算方法.东北大学学报(自然科学版), 2000, 21(1): 42-45
[3] …………

18