线性代数各章知识及脉络图.doc

一、行列式
知识结构网络图
概念
性质
展开式
计算
证明
应用
经转置行列式的值不变；
某行有公因数k，可把k提到行列式外；
某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和；
两行互换行列式变号；
某行的k倍加至另一行．行列式的值不变；
不同行、不同列的n个元素之积的代数和
（按i行展开）
（按j行展开）
余子式、代数余子式
给定（i,j）元的值
未给定（i,j）元的值
化三角形－加边法、爪型行列式；
公式法－特殊行列式、范德蒙德行列式；
递推、数学归纳法；等
用行列式性质计算；
用矩阵性质计算；
用方阵的特征值；等
克拉默法则；
判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵；
线性相关性的判定；
求矩阵的秩，并判断线性方程组的解存在情况；
求方阵的特征值。
；
0是方阵A的特征值；

行列式

行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多，技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．
行列式的性质
【例】：已知531，252，234都是9的倍数，利用行列式的性质（而不是展开），证明也是9的倍数。
解答：
【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？
解答：设原行列式为，则新的行列式为，

特殊行列式
1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式

2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式

3、分块三角行列式
形式简记为：，
4、范德蒙德行列式

认识范德蒙德行列式
可以将n阶范德蒙德行列式看成式关于n个变量的函数，即。此种类型行列式具有如下三个特点：
从列的角度看：第j列元素从上到下依次为同一个变量的零次幂、1次幂、…、n－1次幂，；
从行的角度看：第i行元素是从左往右依次为的i－1次幂，
从结果看：是关于变量的次齐次函数；而且该齐次函数可以分解为个一次因式之积，其中，即脚标大者与脚标小者之差。（说明：i可以取值为，例当i取值为4时，j只可以取值为3、2、1，即区间中的每一个整数）
当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值。
参见“范德蒙德行列式专辑”
认识余子式（Minor）和代数余子式（Algebraic Minor），及其之间的关系
的元的余子式和代数余子式，仅与位置有关，的取值如何并不影响其余子式和代数余子式的取值。，代数余子式即为带符号的余子式。
利用教材P21例13深入理解余子式和代数余子式及其关系。
【例】：已知4阶行列式D中，第一行元素分别为1，2，0，-4；第三行的4个元素的余子式分别为：。求x的值。
解答：，所以有，
，所以。
【例】：
1、设行列式的元素为，行列式

试证：，其中为在中的代数余子式。
证明：把升阶得到

2、设，是在中的代数余子式，求证

计算技巧：
利用特殊行列式计算，利用公式求行列式值
【例】：计算行列式

令，

加边法专辑
加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单且特殊，从而实现计算的简化。
此种方法其实是反向利用Laplace展开定理，看似复杂化，其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化，更易发现规律。同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变。
【例】：
，其中
解答：

。
解答：

爪型行列式专辑
爪型行列式形如：

方法：将D的第i+1列乘以都加到第1列，得

有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。

【例】：化为爪型行列式的方法：

先采用加边法

加边法与爪型行列式结合可以计算如下行列式值：

范德蒙德行列式专辑
，此4阶行列式并非范德蒙德行列式，并非4个元素的零次至3次幂构成。
解法一：采用降阶法，即利用行列式展开定理，逐步展开行列式。

或者

解法二：利用范德蒙德行列式。但是首先对原行列式增加一行一列，使之成为5阶范德蒙德行列式
，其中（4，5）元素的余子式即是所求。
按第5列展开，即
根据范德蒙德行列式得

其中

(1)式与(2)式是的4次多项式的两种表示方式，比较两者的系数，于是得到的系数为
所以

【例】：计算行列式

【例】：计算

解答：将第1行的－1倍加到第2行，再将第2行的－1倍加到第3行，…，最后将第n－1行的－1倍加到第n行，于是原行列式变换为

【例】：计算

解答：依次对每一行提出因子

【例】：设，用范德蒙德行列式证明

解答：给定行列式并非范德蒙德行列式，因此需要对其进行变换化为范德蒙德行列式。

三角形行列式
利用性质将行列式化为三角形行列式进行计算。注意通常化为以下几类三角形行列式：
；

爪形行列式最终将行列式化为三角形行列式计算。
递推法
变换行列式为同类型得较低阶行列式来表示，从而建立起递推关系。
【例】：计算行列式
按第一行展开

。
【例】：计算三对角线行列式（即行列式的非零元素都在对角线上，以及与对角线“平行”的上、下两条斜线上）

解答：将按第1列展开得，建立递推公式

即得：，整理得
递推得到：
，
所以：，即得到递推公式
并依此公式递推：

数学归纳法：
教材习题一5（5）

用数学归纳法证明：
1、当n＝1时，
2、当n＝2时，
3、假设对于n－1阶行列式命题成立，即
那么按第一列展开Dn，

将(1)式带入(2)式，即可得
Cramer法则
线性方程组

当时，该线性方程组称为齐次线性方程组；
当不全为零时，该线性方程组称为非齐次线性方程组

注意：Cramer法则只适用于解决方程个数＝未知量个数且的线性方程组；
齐次线性方程组总有解，总是有零解。

二、矩阵
1.要求：
1.理解矩阵的概念.
2.了解单位矩阵，纯量矩阵、对角矩阵，三角矩阵，对称矩阵以及它们的基本性质.
3.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则.
4.理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充要条件，掌握可逆矩阵的性质.
5.掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法.
6.了解矩阵等价的概念
7.理解矩阵秩的概念并掌握其求法.
2.知识脉络图

3.矩阵运算性质
矩阵加法
运算规律：（都是同型矩阵）
；；；
矩阵数乘
运算性质：
；；；
矩阵的乘法：
运算性质：（假设下列运算有意义）
；；；
注意：一般情况下，不满足交换律；
没有消去律；
（若，则有）
例如：则显然，但。
或
例如：
转置矩阵
运算性质：
；；；
方阵的行列式
运算性质：（均为n阶方阵）；；，且
注意：中只有当均为n阶方阵时才成立。若分别为型矩阵时，未必成立
，；；一般情况下
伴随矩阵
n阶方阵A与其伴随矩阵时可交换的：
运算性质：（均为n阶方阵）
；；；；；
若，则；若，则，n≥2.
逆矩阵
运算性质：（均为n阶可逆方阵）
若，则;；；
n阶方阵A可逆的充分必要条件：
n阶方阵A可逆（即A是非奇异方阵）（即A是降秩方阵）A可以表达成若干个初等矩阵的乘积齐次线性方程组只有零解非齐次线性方程组只有唯一解
求逆矩阵的方法：
以下方法、适用于给定元素值的可逆方阵求逆
伴随矩阵求逆法，；初等变换法，或者
分块对角矩阵求逆法（仅限于方阵的分块矩阵是分块对角矩阵），
，
利用，或者得到（习题二的15，19，20，21，22）
若给出矩阵A满足的关系式，要求与A有关的某个矩阵的逆矩阵，一般情况下，可以将给定的关系式等价的化简为，或者的形式，从而证得可逆，并可以求出

初等矩阵
初等矩阵的逆矩阵仍然为初等矩阵，
；；
分块矩阵
在对矩阵进行分块运算时，要注意分块的合理，保证分块矩阵运算由意义。
一般情况下，
分块对角矩阵,；
若方阵A可逆
利用分块矩阵表达方阵的行列式：例
常用的几种分块方法

设，则

设，则

设，则

对角矩阵
对角矩阵，则；
若可逆，则，。
同阶对角矩阵的和、数乘、乘积结果仍然是对角矩阵。
对角矩阵左乘矩阵：，
对角矩阵右乘矩阵：
方阵的幂运算
由A计算找出规律（例，习题二的8题）
若A可以表示成，其中均为型矩阵，则可以利用矩阵乘法的结合律计算A的幂运算

是一个数，所以
当时，，则（例，习题二的23，24题）
矩阵多项式
设有的次多项式，将用阶方阵替代时，就成为了矩阵多项式：
（注意常数项被替代成）。
它有如下性质：
1) 也是阶方阵；
2) 阶方阵的两个多项式总是可交换的（尽管矩阵乘法不满足交换律），即（因此，普通多项式的乘法规则与因式分解规则也适用于矩阵多项式，）；
3) 若，则；
4) 若时，则
4.利用矩阵性质计算行列式
4.1求方阵的行列式值
例1：设4阶矩阵，其中均为4维列向量，且求
解答：，注意一般情况下，因此利用行列式的性质。
，则

（注意此题中矩阵加法与行列式加法的区别）

例2：设均为3维列向量，，已知求。
解答：解法一、

所以
解法二、根据矩阵乘法，
所以
关于方阵的行列式值
n阶方阵A可逆（即A是非奇异方阵）
（即A是满秩方阵）
A可以表达成若干个初等矩阵的乘积
齐次线性方程组只有零解
非齐次线性方程组只有唯一解
A的n个特征值全不为0
n阶方阵A不可逆（即A是奇异方阵）
（即A是降满秩方阵）
A不可以表达成若干个初等矩阵的乘积
齐次线性方程组有非零解
非齐次线性方程组没有解或者有无穷多解
A的n个特征值中至少有一个为0
4.2有关伴随矩阵
n阶方阵A与其伴随矩阵时可交换的：.
4.3矩阵行和相等、列和相等
矩阵各行元素之和相等
设矩阵中，各行元素之和相等，即
则：；
若是阶可逆方阵，则的各行元素之和也相等，为
矩阵各列元素之和相等
设矩阵中，各列元素之和相等，即
则：
若是阶可逆方阵，则的各行元素之和也相等，为
例：若是阶可逆方阵，如果中各行元素之和是6，则的各行元素之和为。

初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一个运算，而初等矩阵是对单位矩阵实施一次初等变换所得矩阵。教材第3章定理1就是利用初等矩阵将初等变换与矩阵乘法联系了起来。初等矩阵主要用于某些理论上的推导和证明。例如：利用初等行（列）变换求逆矩阵的方法就是利用初等矩阵理论推导得到（参见教材P64－65）。
矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵的一个重要、本质的属性。
对于型矩阵全体可以根据其秩，即依据“矩阵的非零子式的最高阶数”，将型矩阵全体划分为个类。
秩，由英语rank一词译来，原意表示排序、秩序。引入这个概念就是要在中建立一个大小秩序。对于秩的理解和把握应贯穿于本课程的全部学习过程。
，与A秩相同的矩阵可以构成一个集合，在这个等价类集合中最好的“代表”就是A的等价标准形，它具有最简单的形式。A的等价标准形的主要意义用于理论推导.
行阶梯型与行最简型应用归纳
行阶梯形：
1、求矩阵的秩；
2、求矩阵的列向量组的最大无关组
行最简形：
1、求矩阵的秩；
2、求矩阵的列向量组的最大无关组；
3、求矩阵的列向量组的线性关系；
4、求解线性方程组，求其基础解系；
5、当方阵A可逆时，将( A,E )化为行最简形求A的逆矩阵；
6、当方阵A可逆时，将( A,B )化为行最简形求矩阵方程AX＝B的解；
行最简形矩阵的作用
例如：第3章引例，
其中是行最简形矩阵，而不是行最简形矩阵。但是在求解线性方程组时具有与行最简形矩阵相似的功能。
由写出对应的同解方程组，即
但是这样得出答案会随着自由未知量的不同而不同，对于，若，只要能够正确地找到个自由未知量，进而写出含有个常数的通解，都是可以的（参见第4章例12）。

非零矩阵的行最简形与行阶梯形
行最简形与行阶梯形都由矩阵经过初等行变换得到。即任何一个非零矩阵总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形与行最简形
非零矩阵
行阶梯形
行最简形
初等行变换
初等行变换

任何一个非零矩阵经过有限次初等行变换化为行阶梯形不是唯一的，但是行最简形却是唯一的（它是矩阵经过初等行变换能得到的“最简单”的形状）。

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