高中数学人教版全套优秀教案.pdf
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1、高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案课题:1.1.1正弦定理授课类型:新授课教学目标知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定 理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观 察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学 规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍 联
2、系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程I.课题导入如图1.1-1,固定AABC的边CB及/B,使边AC绕着顶点C转动。八A思考:ZC的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?/显然,边AB的长度随着其对角/C的大小的增大而增大。能否 彳/用一个等式把这种关系精确地表示出来?八BII.讲授新课探索研究(图1.1T)在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt AABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有一=A,_
3、=B,又 c cC=1=c则a b c=-二cABC从而在直角三角形ABC中,思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图1.1-3,当AABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=a B=b A,则c b 同理可得尸=_ 从而(01.1-3)bFcT欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。(证法二):过点
4、A作1AC,由向量的加法可得 AB=AC+CB贝 ij AB=AC+CB.AB=.AC+.CB|y|AB|c o s Goo-aXo+|7|CB|cos fe o o-C)csinA=asmC,BP a=CsmA sinC-h c-同理,过点C作可得 卷二壶 类似可推出,当AA般是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即c-1=B=-C理解定理(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使=k A,=k B,c=k C;(2)r=-等价于c=-,
5、=c从而知正弦定理的基本作用为:A已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如=黄;D已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 A=_ B o一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例 1.在AABC 中,已知A=32.0。,5=81.8。,Q=42.9c m,解三角形。解:根据三角形内角和定理,C=18Oo-(A+B)=18Oo-(32.Oo+81.8o)=66.2o;根据正弦定理,b=asinBsin A42.9sin8L8。sin32.Oo 80.1(c m);欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚
6、为您提供优质的文档!高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案根据正弦定理,asinC 42.9sin66.2oC sin Asin32.Oo74.1(c m).评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2.在AABC中,已知。=20c m,b=28c m,A=40。,解三角形(角度精确到1。,边长精确到1c m)。解:根据正弦定理,sin 5=bsinA28sin4Oo-20-e O.8999.a因为 Oo VBV18O。,所以 8。64。,或 5M16。.当5。64。时,C=18Oo-(A+B)18Oo-(4Oo+64o)=76o,asinCC sin A2Osin76o sin4O
7、o30(c m).(2)当 52n6。时,C=18Oo-(A+B)18Oo-(4Oo+116o)=24o,asinCsin A2Osin24o sin4Oo13(c m).评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。III.课堂练习第5页练习第1(1)、2(1)题。补充练习已知A ABC中,A B C=123求 c(答案:1:2:3)IV.课时小结(由学生归纳总结)(1)定理的表示形式:一=一于二厂=A+:C一();A B C A+B+C或=A,=B,c=C 0(2)正弦定理的应用范围:已知两角和任一边,求其它两边及一角;已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。V.课后作
8、业第10页习题1.1A组第1(1)、2(1)题。板书设计授后记欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案课题:1.1.2余弦定理授课类型:新授课教学目标知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的 解三角形问题。过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的 解三角形问题情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之
9、间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用;教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程I.课题导入如图 1.1-4,在 A ABC 中,设 BC=a,AC二b,AB=c,已知a,b和NC,求边c(图 1.1-4)n.讲授新课探索研究联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题?用正弦定理试求,发现因A、B均未知,所以较难求边C。由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。如图1.A15 9 设 CB=a,CA=b,AB=c,|c|2=c.c=Q-b)(b)+b b.2a b,_=|a|2+|b|2-2a-b从而C2=a 2+上如一2a
10、 be C(图 1.-5)同理可证a 2=b2+C2-2bc c Ab2=a 2+C2-2a c c B欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案于是得到以下定理余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即=b+c-be c o s Ab=+c-o sBc=+b bo sC思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?(由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:c o sA=Z72+C2-22bcc
11、o s 5=Z2+C2-Z?2lacc o sC=Z?2+12-C2I ba理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为:已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之 间的关系,如何看这两个定理之间的关系?(由学生总结)若 A ABC 中,C=9Oo,贝 l Jc o sC=0,这时 c2=q2+/?2由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。例题分析 例 1.在 AABC 中,已知q=2JT,c=4 6+y/2,B=6Oo,求 b 及 A(1)解
12、:V b2=a2+c2-2accosB二(2肉2+(4+622小(+c o s45o=12+(76+/2)2-4x/3(+1)=8A b=2y/2.求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:解法一:Z?2+C2-a 2(272)2+72)2-(22 1C O S A-s-=-=k2bc 2x 272x(76+5/2)2A=6Oo.解法二:Vsin A=:s in5=sin45o,b 2x/2又 V6+V2 2.4+1.4=3.8,26 V 2x 1.8=36欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案
13、:.a c,即 0。V A V 9Oo,A=6Oo.评述:解法二应注意确定A的取值范围。例 2.在AABC 中,已知a=134.6c zn,b=87.8cm,c=161Jcm,解三角形(见课本第8页例4,可由学生通过阅读进行理解)解:由余弦定理的推论得:c o s AZ?2+C2一2 2bc_87.82+161.72-134.62=-2x 87.8x 161.70.5543,人。56。20;c o s 5=。2+2/?2 2caJ34.62+161.7287.82=-2x 134.6x 161.7之0.8398,5。32。53;C=18Oo-(A+B)18Oo-(56o 2O 才能有且只有一解
14、;否则无解。2.当A为锐角时,如果三,那么只有一解;如果 ,那么可以分下面三种情况来讨论:(1)若 A,则有两解;(2)若=A,则只有一解;(3)若 A,则无解。(以上解答过程详见课本第9-10页)评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当A为锐角且A 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案(1)在AABC 中,已知a=Q b=100NA=o,试判断此三角形的解的情况。(2)在AABC中,若a=l,c=1,ZC=0,则符合题意
15、的b的值有 个。(3)在AABC中,a=x c,b=2c,NB=o,如果利用正弦定理解三角形有两解,求x的取值范围。(答案:(1)有两解;(2)0;(3)2x A是直角o AABC是直角三角形 a 2 b2+C2 o A是钝角o AABC是钝角三角形a 2 2+32,即 2b2+C2,AABC是钝角三角形。随堂练习2(1)在AABC中,已知 A B C=1 2 3判断AABC的类型。(2)已知AABC满足条件a c A=bc B,判断A ABC的类型。(答案:(1)AABC是钝角三角形;(2)AABC是等腰或直角三角形)例3.在A ABC中,A=Q,b=l,面积为*,求.a+bCl的值分析:可
16、利用三角形面积定理=:a b C=;a c B=;bc A以及正弦定理 乙 乙 乙a _ b _ c _ a+b+c-R=-B=-_A7_C解:由=1bc A=可得c=2,贝ij 2=bz+C2-2bc c A=3,BP a,=3?III.课堂练习(1)在AABC中,若=,b=l,且此三角形的面积=22073,求角C(2)在AABC中,其三边分别为a、b、c,且三角形的面积=艺土更,求角c(答案:(1)。或 120。;(2)o)IV.课时小结(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;(2)三角形各种类型的判定方法;欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,
17、如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案(3)三角形面积定理的应用。V.课后作业(1)在AABC中,已知=4,c=l,B=3,试判断此三角形的解的情况。(2)设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长,求实数x的取值范围。(3)在AABC 中,A=,=1,+c=2,判断AABC 的形状。(4)三角形的两边分别为3c m,5c m,它们所夹的角的余弦为方程5X2 x-=的根,求这个三角形的面积。板书设计授后记欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案
18、课题:2.2解三角形应用举例第一课时授课类型:新授课 教学目标知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测 量相关术语过程与方法:首先通过巧妙的设疑,顺利地引导新课,为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情 况,采用“提出问题一一引发思考一一探索猜想一一总结规律一一反馈训练”的教学过程,根据大纲要求以 及教学内容之间的内在关系,铺开例题,设计变式,同时通过多媒体、图形观察等直观演示,帮助学生掌握 解法,能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论,开放多种思路,引导学生发现 问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观:激发
19、学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表 达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型,画出示意图教学过程I.课题导入1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形?2、设置情境请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题,“遥不可及的月亮离 我们地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方 法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度等,存在着许多可
20、供选择的测量方案,比如可以 应用全等三角形、相似三角形的方法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实 背景下,某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法 会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在 科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。II.讲授新课(1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的条件和所求转 换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解例题讲解(2)例1、如图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量
21、者在A的同侧,在所在的河岸 边选定一点C,测出AC的距离是55m,ZbAC=51,ZaCB=750求A、B两点的距离(精确到0.Im)欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案图 1.2-1启发提问1:AABC中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当?启发提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边AB的 对角,AC为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角,应用正弦定
22、理算出 AB边。解:根据正弦定理,得A5=AC sin ZAC B sinZAB CAB=AC sinZAC BsinZAB C_ 55sinZAC BsinZAB C-55sin75sinQ8(P 51。75。)=55sin75。sin54%65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a k m,灯塔A在观察站C的北偏东30。,灯塔B在观察站C南偏东60。,则A、B之间的距离为多少?老师指导学生画图,建立数学模型。解略:/2 a k m例2、如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A、B两点间距离的方法。分析:这是例1的变式题
23、,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形,所以需 要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出AC 和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!高中数学人教版全套教案-高中数学教案优秀教案图 1.2-2解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD二a,并且在C、D两点分别测得/BCA二a,N ACD=p,ZCDB=y,ZBDA=8,在A ADC和A BDC中,应用正弦定理得AC 二 a sin-+3)sin|180P-(p+Y+
24、8)BC=a sinysin|180P-(a+p+Y)sin(P+y+8)a siny sinQ+P+y)计算出AC和BC后,再在A ABC中,应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB=ylAC 2+802 2 AC X B C c o s a分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测得/BCA=60。,ZACD=30,ZCDB=45,NBDA=60。略解:将题中各已知量代入例2推出的公式,得AB=20花评注:可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些过程较繁复,如 何找到最优的方法,最主要的还
25、是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页,了解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子。III.课堂练习课本第14页练习第1、2题IV.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形 的数学模型(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解V.课后作业课本第22页第1、2、3题板书设计授后记欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请
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