高三数学-第二篇-第四节-二次函数与幂函数课时精练-理-北师大版.doc

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一、选择题
1．(2009年黄冈模拟)设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(　　)
A．1,3　　B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
【解析】　分别验证a＝－1,1，，3知当a＝1或a＝3时，函数y＝xa的定义域是R且为奇函数．
【答案】　A

2．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于(　　)
A. B．－
C．± D．无法确定
【解析】　∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝
＝－(∵a<0，c>0)．
【答案】　B
3．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是(　　)
A．0<a≤1 B．a<1
C．a≤1 D．0<a≤1或a<0
【解析】　当a＝0时，x＝－，故排除A、D；
当a＝1时，x＝－1，排除B，
【答案】　C
4．(2008年济宁调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1,3)和(1,1)，若0<c<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．[2,3] B．[1,3]
C．(1,2) D．(1,3)
【解析】　
⇒a＋c＝2⇒c＝2－a.
∵0<c<1，∴0<2－a<1，∴1<a<2.
【答案】　C
5．(2009年山东淄博)

幂函数y=x-1及直线y=x，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如右图所示)，那么幂函数y=x的图象经过的“卦限”
是(　　)
A．④⑦ B．④⑧
C．③⑧ D．①⑤
【解析】　由0＜x＜1，y＝＞x，x＞1时，y＝＜x知，y＝x的图象经过①⑤“卦限”．故选D.
【答案】　D
二、填空题
6．已知幂函数f(x)＝xn满足3f(2)＝f(4)，则f(x)的表达式为________．
【解析】　∵3f(2)＝f(4)，∴3·2n＝4n.
∴2n＝3，即n＝log23.∴f(x)＝xlog23.
【答案】　f(x)＝xlog2 3
7．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
【解析】　∵x2＋mx＋4<0，对x∈(1,2)恒成立．
∴mx<－x2－4，即m<－对x∈(1,2)恒成立．
又根据函数单调性定义知f(x)＝x＋在x∈(1,2)上为递减函数，
∴4<x＋<5，－5<－<－4，
∴m≤－5.
【答案】　m≤－5
8．(2008年丰台月考)已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，若f(x)在区间[m，n]上的值域是[m，n]，则m＝________，n＝________.

【解析】　f(1+x)=f(1-x)
∴对称轴x=1，
∵f(0)=0，f(1)=1.
如右图．
∴当x∈[m，n]的值域是y∈[m，n]，
∴m=0，n=1.
【答案】　m=0，n=1
三、解答题
9．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范围．
【解析】　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.
∵m∈N＋，∴m＝1,2，
又∵函数图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，
12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
而y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a＋1)－＜(3－2a)－等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a.
解得a＜－1或＜a＜.
故a的取值范围为{a|a＜－1或＜a＜}．
10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，
且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式．
【解析】　∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)．
∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0.因而
f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②
因为方程②有两个相等的根，所以
Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
即5a2－4a－1＝0.解得a＝1或a＝－.
由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①得f(x)的解析式f(x)＝－x2－x－.
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