第 4 节 正弦稳态电路的相量分析.doc

第 4 节 正弦稳态电路的相量分析
相量分析法
相量分析法是针对正弦量激励下、且电路已进入稳态时的动态电路的分析。因为电路在正弦量的激励下，各处的响应都是同频率的正弦量，因此，将电路的激励和响应都用相量来表示，把电阻、电感、电容元件用复数阻抗或复数导纳表示，将电路定律用相量形式表示，把时域电路转换成相量电路之后，描述动态电路的方程就由时域中的微分方程转换为频域中的复数代数方程，求解复数代数方程，求得各响应的相量，然后再将这些响应的相量转换成时域的正弦函数表达式。
相量分析法的步骤
正弦量用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，画出相量电路；
2 、相量电路中，用电阻电路的分析方法求解各响应的相量；
3 、将求得的响应相量转换成时域的正弦函数表达式。
例 7.4-1 电路如图 7.4-1 （ a ）所示，已知 ，求 uS ， iL 和 ic 。

解：电流 iR 的相量为
感抗
容抗
所以，得到相量电路如图 7.4-1 （ b ）所示。
图 7.4-1 （ b ）中，有
则
由 KCL 得
由 KVL 得

将相量再转换成正弦函数表达式，得

例 7.4-2 电路如图 7.4-2 所示，已知 ， ，电压源的角频率 ，求电流 i1 和 i2 。

解：用节点电压法求解，设节点 a 、 b 的节点电压分别是 和 ，列写节点电压方程，
节点 a ：
节点 b ：
代入参数并整理，得
则，
所以，

因此，，
例 7.4-3 电路如图 7.4-3 所示，已知电压源 ，求电流 。

解：这是一个含有受控源的单回路电路，用相量法分析时，也可将受控源当独立源处理。

由 KVL 得，
代入参数，得
则
一、有功功率
无源二端网络 N 中含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件，阻抗为 。其端电压和端电流分别为 。

二端网络 N 吸收的瞬时功率为

平均功率（ average power ）是指在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，用 P 表示，即

有功功率
在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，称为平均功率，又称有功功率（ active power ），单位为瓦（ W ）。

有功功率是真正由来做功的功率，由网络中的电阻元件产生。 称为二端网络的功率因数（ power factor ）， 又称为功率因数角。

二、无功功率和视在功率

无功功率
无功功率表示网络与电源进行能量交换的规模，由网络中的储能元件产生。单位是乏（ var ）。
视在功率
单位是伏安（ VA ）。

设二端网络的等效阻抗为
则该二端网络的等效电阻为
该二端网络的等效电抗为

图 7.5-1 中， ，则 ， ，根据各功率的定义，可以得到
1 、电阻元件， Z=R ， ， ，则

电阻元件只从电路中吸收能量，而不与电路作能量交换；
2 、电感元件， ， ， ，则

电感元件不耗能，只与电路作能量交换；
3 、电容元件， ， ， ，则

电容元件也不耗能，只与电路作能量交换。
三、复功率

复功率
二端网络的端电压为 ，端电流为 ，设端电流的共轭相量为 ，则定义 和 的乘积为复功率（ complex power ），即

功率守恒
如果二端网络中含有 n 个元件，则有功、无功、复功率都守恒

但是，视在功率不守恒
例 7.5-1 图 7.5-2 所示电路中， ，角频率 ， ，电路吸收的有功功率 P=200W ，求电阻 R 和电感 L 。

解：由 KVL 可得
所以，
因为电路吸收的有功功率就是电阻 R 吸收的有功功率，即
所以，电阻
又
则感抗为
所以，电感
例 7.5-2 图 7.5-3 所示正弦稳态电路中，已知电压源 ，电流源 ，试分别求出电压源和电流源发出的总有功功率。

解：根据功率守恒性，电压源和电流源所发出的总有功功率，就是 1 Ω和 2 Ω电阻吸收的有功功率之和，因此，只要先求出通过 1 Ω电阻的电流 和通过 2 Ω电阻的电流 就可以了。
设电流源两端的电压为 ，列写节点电压方程，
代入参数，得
解得
所以

因此，电压源和电流源发出的总有功功率为
四、最大功率传输
一个含源的二端网络，总可以用一条电压源 和等效阻抗 Zo 相串联的戴维南等效支路来替代，如图 7.5-4 所示。

设电压源的等效阻抗为 ，负载阻抗为 。
则电路中的电流
电流的有效值为
负载 获得的有功功率实际就是 中的电阻部分 获得的有功功率，所以，负载获得的功率为
1 、负载 的电阻部分 和电抗部分 皆可调
式中， ，欲使 PL 达到最大，可先令 ，即 ，这时，
再调节 RL ，使 PL 达到最大，令 ，即
解得：
因此，当负载阻抗与电源等效阻抗互为共轭复数， 时，即
负载获得最大功率，称为共轭匹配（ conjugate matching ）。这时获得的最大功率为
2 、负载 的阻抗角 固定，而阻抗模 可变
有些情况下，负载是电阻性设备，即 ， ，这时， ， ，通过调节 RL 使负载获得最大功率。

负载获得的功率为
令 ，即
解得：
当负载为一个电阻时，负载获得最大功率的条件是负载电阻与电源等效阻抗的模相等，即模匹配（ modular matching ）。
模匹配时负载电阻获得的最大功率为
结 论
1 、当负载 和 皆可调时，采用共轭匹配，
2 、当负载为纯电阻 时，采用模匹配，
3 、一般情况下，负载在模匹配时获得的最大功率比共轭匹配时要小。
例 7.5-3 电路如图 7.5-5 所示， ，负载为以下两种情况：（ 1 ）负载 为可变电阻，（ 2 ）负载 为可变阻抗（ RL 、 XL 均可调），试问负载分别为何值时获得最大功率，并求最大功率值。

解： 电压源的等效阻抗为
（ 1 ）负载为可变电阻时，欲使负载获得最大功率，则应采用模匹配，，即负载 ZL=RL=7.07 Ω时获得最大功率，最大功率为
（ 2 ）负载为可变阻抗，即 RL 、 XL 均可调时，欲使负载获得最大功率，则应采用共轭匹配，，即负载 时获得最大功率，最大功率为，显然，负载采用共轭匹配时获得的最大功率比采用模匹配时要大。
第6节 电路的谐振
谐 振
含有电感、电容元件的无源二端网络，在特定的条件下，端电压和端电流的相位差为零，即和同相，此时，称该二端网络发生了谐振（resonance）。
一、RLC串联电路的谐振
图7.6-1所示电路为一个RLC串联电路，在正弦电压源的激励下已处于稳态。

当正弦电压源的频率发生变化时，电路的阻抗Z会随着频率的变化而变化，即阻抗是角频率的函数，

发生谐振时，电压和电流的相位差为零，即，则

所以，谐振频率为

2、电压谐振
电路发生谐振时，，，则，则

电容电压和电感电压大小相等、方向相反，电压源的电压全部降在电阻上，称为电压谐振。电感和电容之间周期性地进行能量交换，不从电源吸收无功功率，称为电磁振荡。

3、品质因数
谐振时，以为输入，或为输出，则

若，则在输出端得到比输入大得多的电压。定义为RLC串联电路的品质因数。

注 意：Q越大，谐振或接近谐振时，电感或电容上就会出现比输入电压高得多的输出电压，这往往会使电感或电容元件损坏。在电力传输系统中又要尽可能地避免产生谐振。
二、RLC并联电路的谐振
图7.6-2所示电路是RLC并联电路，在正弦电流源的激励下已处于稳态。

根据谐振的定义，当导纳角等于0时，电压与电流同相，电路发生谐振，则

所以，RLC并联电路的谐振角频率为

并联谐振的特征
1、导纳角，电流与电压同相位；
2、导纳模达到最小，即；当电流源的有效值IS一定时，电压达到最大，即；
3、，。电感电流与电容电流之和等于0，即它们的大小相等，方向相反，而电流源的电流全部流过电阻，所以又称为电流谐振。
4、。定义为RLC并联电路的品质因数。Q值越大，在电感或电容上会产生比输入电流大得多的输出电流。
例7.6-1 图7.6-3所示的正弦稳态电路，求发生谐振时端电压u的角频率。

解：设端电压、端电流的相量分别为和，感抗为

容抗为

则

所以，二端网络的等效阻抗为

欲使电路发生谐振，则，即

因此，谐振角频率为

例7.6-2 图7.6-4所示电路中，已知，，，现调节电容C的值，使，求这时的电容C为多大？并求此时的电流、和。

解：
，
由题意，有

则

这就说明电感L2与电容C的电流是大小相等，方向相反，互相抵消，不从电源吸取能量，L2与C之间发生了谐振，所以，L2与C的等效电纳必为0，即

则电容为

所以，电流只流过R1和L1，

故

电感L1上的电压为

所以，电感L2上的电压为

则第7章 必做习题
习题7-1 已知电压，电流，求(1) 和的有效值、最大值、角频率、频率、周期、初相位；（2）和的相位差，并说明是电压超前还是电流超前。
习题7-2 写出下列正弦量的相量，，，并画出相量图。
习题7-3图题7.3所示电路中，已知，，，，求、、，并画出相量图。

习题7-4 图题7.4所示的二端网络中，，，，，，求a、b两端的等效阻抗。

习题7-5 电路如图题7.5所示，，，，，试用网孔电流法求流过电阻R3的电流。

习题7-6 图题7.6所示的正弦稳态电路中，已知，，求电流源的电流。

习题7-7 3个负载并联接到有效值为220V的正弦电压源上，它们取用的电流和功率分别为：，（感性）；，（感性）；，（容性）。求各负载的功率因数、电源供出的电流（有效值）、及整个电路的功率因数，并判断整个电路是呈感性、容性还是阻性。
第7章 选做习题
选做题7-1 图题7.1所示电路中，已知电压源，，，求电流。

选做题7-2 图题7.2所示电路中，电压源，求电流。

选做题7-3 求图题7.3所示电路的功率因数。

选做题7-4 图题7.4所示电路中的N是一个无源二端网络，已知端电压，端电流，求N的有功功率和无功功率。

选做题7-5 图题7.5所示的正弦稳态电路中，已知，是可调负载，在下列两种情况下：（1），（2），负载调到何值时获得最大功率？并求此时的最大功率值。

选做题7-6 电路如图题7.6所示，已知，，，，求电路的谐振角频率，并求谐振时的电流和。

第7章 必做习题精解
习题7-1
解：(1) 电压，所以，
最大值
有效值
角频率
频率
周期
初相位
电流 ，所以，
最大值
有效值
角频率
频率
周期
初相位
（2）电压和电流的相位差

电压落后电流为，或者说，电流超前电压为。
习题7-2
解：根据相量的定义，电流相量为

电压相量为

显然，电流超前电压。相量图如图解7.2所示。

习题7-3
解：电容电流为

电阻电流为

由KCL，得电压源的电流为

电流相量图如图解7.3所示。

习题7-4
解：先求电阻与电容并联的等效导纳，

则
所以，a、b两端的等效阻抗为

习题7-5
解：图题7.5所示电路共有2个网孔，设网孔电流分别为、，如图解7.9所示。

网孔电流方程为

代入参数，得

经整理，得

解方程组，得 ，
所以，流过电阻R3的电流为

习题7-6
解：由题意，流过6Ω电阻和j8Ω电感支路的电流，由替代定理，可把该支路断开，并设c点为参考点，如图解7.6所示。

由分压公式，得a点的电位为

b点的电位为

所以，a、b两端的开路电压

又因为，则，代入上式，得

因此，电流源的电流为

习题7-7
解：由题意，。电路吸收的有功功率为，所以，3个负载的功率因数分别为

负载1呈感性，阻抗角
负载2呈感性，阻抗角
负载3呈容性，阻抗角
设电压源的电压为，则3个负载的电流分别为，，，
电压源供出的总电流为

所以，电压源供出的电流有效值为

电路的阻抗角
整个电路的功率因数

因为，所以电路呈感性。

第7章 选做习题精解
选做题7-1
解：用相量法求解，图题7.4电路的对应的相量形式如图解7.4所示。电压源的电压相量为

电路的阻抗为

所以，电流相量为

电流的三角函数表达式为

选做题7-2
解：由KVL得

又因为 ，代入上式，得

所以，电流

选做题7-3
解：二端网络的等效阻抗为

阻抗角
所以，该二端网络的功率因数为

选做题7-4
解：从题7.13图中可知，二端网络N的端电压与端电流呈非关联参考方向，则

二端网络的功率因数角为

所以，二端网络的有功功率

无功功率

选做题7-5
解：由图题7.14可知，可看成电源的内阻抗。
（1） ，即负载具有可调电阻和电抗。由最大功率传输定理，当负载阻抗与内阻抗共轭匹配时，负载获得最大功率，即

最大功率为

（2） ，即负载只具有可调电阻，无电抗。由最大功率传输定理，当负载阻抗与内阻抗模匹配时，负载获得最大功率，即

这时，流过负载的电流为

负载获得的最大功率为

选做题7-6
解：设电容两端电压为，如图解7.6所示。电容和电感并联后的等效导纳为

谐振时，电路呈阻性，则

所以，电路的谐振角频率

这时，等效导纳，即电路的阻抗，流过电阻R的电流

故电阻上的电压也为0，电容电压为

电容电流为

故，