高三数学理立体几何(三)人教实验版(A)知识精讲.doc

高三数学理立体几何（三）人教实验版（A）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
立体几何（三）

二. 重点、难点：
（一）
1. 在同一个平面内平面向量的所有结论均可使用。
2 A、B、C三点共线
3. 共面向量
均在平面内
（x，y唯一）
4. 空间向量的坐标表示

（1）
（2）
（3）

（二）
直线，m的方向向量为
平面的法向量为
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）

（三）三种空间角的向量法计算公式：
1. 异面直线所成的角：；
2. 直线与平面（法向量）所成的角；；
3. 锐二面角：，其中为两个面的法向量。

【典型例题】
[例1] 如图所示，在四棱锥M—ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱AM的长为，且AM和AB，AD的夹角都等于60°，N是CM的中点。
（1）以为基向量表示出向量，并求CM的长；
（2）求BN的长。

解析：（1）

∴
（2）

∴

∴

[例2] 若A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是（ ）
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 不确定
答案：B
解析：∵

同理，，故△BCD为锐角三角形，因此选B

[例3] 已知A（3，1，5）、B（－2，－1，4），求直线AB与坐标平面的交点M的坐标。
解析：设M（，0，），由条件A、B、M三点共线
∴
∵ ，
∴ ∴
∴ M

[例4] 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），M（0，1，），Q（），设P（x，0，1）
∴

∴
∴ 选D

[例5] 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则与C1B所成的角的大小为（ ）
A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°

答案：B
解析：如图，
，设
∴

∴
[例6] 已知空间三点A（0，2，3）、B（－2，1，6）、c（1，－1，5），求以、为邻边的平行四边形的面积。
解析：

故以、为邻边的平行四边形面积为

[例7] 在直三棱柱A1B1C1—ABC中，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.

答案：A
解析：建立如图所示的坐标系，设BC=1，则A（－1，0，0），F1（，0，1），B（0，－1，0），D1（）
即
∴

[例8] 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为。

解答：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为轴，建立空间直角坐标系，设AE=，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，，0），A（1，0，0），C（0，2，0）
（1）因为=0，
所以
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为

（3）设平面D1EC的法向量
∴ ，
由
令 ∴ ， ∴
依题意

[例9] 如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=AD。
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）设E是棱PD上一点，且PE=PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值。

解析：如图，建立空间直角坐标系

∵ PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60° ∴ ∠PBA=60°
取AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，），D（0，2，0）
（1）∵
∴
∴ AC⊥CD，AP⊥CD，∴ CD⊥平面PAC
CD平面PCD ∴ 平面PCD⊥平面PAC
（2）∵ ∴ ∴
又 ∴
∴
∴ AE与PB所成角余弦值为

[例10] 在四面体O—ABC中，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，若
，则使G与M，N共线的x值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
答案：A
解析：若G、M、N共线，则存在使，即
∴

∴ ∴

[例11] 二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB。已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=，则该二面角的大小为（ ）
A. 150° B. 45° C. 60° D. 120°
答案：C
解析：由条件知，
∴

∴ ∴ ，所以二面角的大小为60°

[例12] 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=，AA1=2，∠ACB=90°，M是AA1的中点，N点是BC1的中点。
（1）求证：MN//平面A1B1C1；
（2）求点C1到平面MBC的距离；
（3）求二面角B—C1M—A1的大小。

解析：（1）如图，以点C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，取B1C1中点D，由已知，得A1（0，，2），B1（，0，2），C1（0，0，2），M（0，，1），N，D

∴
∴ ∴ MN//A1D
又MN平面A1B1C1，A1D平面A1B1C1
∴ MN//平面A1B1C1
（2）B（，0，0），C（0，0，0），
设平面BCM的一个法向量，则
∴ ∴ ∴
∴ C1到平面BMC的距离
（3）三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴ C1C⊥BC 又 ∠ACB=90°
∴ BC⊥平面A1MC1，
设平面BMC1的一个法向量，，
∴
∴ ∴ ∴
∴
∴ ∴ 二面角的大小为

[例13] 正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=2，E、F分别是D1B，AD的中点，。
（1）建立适当的坐标系，求出E点的坐标；
（2）证明：EF是异面直线D1B与AD的公垂线；
（3）求二面角D1—BF—C的余弦值。

解析：（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A、B、C的坐标分别为A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），设D1（0，0，2m）（）则E（1，1，m）
∴ ，，
∴
解得，故E点坐标为（1，1，1）
（2）由（1）可知，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体
又 ∵ FD=1 ∴ F（1，0，0）
∴
∴
∴ EF⊥BD1，EF⊥AD，又
故EF是AD与D1B的公垂线
（3）设n是平面FD1B的一个法向量，则
又 ∵ ∴
解得，则，取
则与DD1所成角等于二面角D1—FB—C的平面角
∴
∴ 二面角D1—BF—C的余弦值为

[例14] 如图，已知ABCD是矩形，AB=，AD=，PA⊥平面ABCD，PA=，Q是PA的中点，求：（1）Q到BD的距离；（2）P到平面BQD的距离。

解：（1）在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足，连结QE
∵ QA⊥平面ABCD，由三垂线定理得QE⊥BE
∴ QE的长为Q到BD的距离
在矩形ABCD中，AB=，AD= ∴
在中， ∴
∴ Q到BD的距离为
（2）解法一：∵ 平面BQD经过线段PA的中点
∴ P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离
在中，作AH⊥QE，H为垂足
∵ BD⊥AE，BD⊥QE ∴ BD⊥平面AQE ∴ BD⊥AH
∴ AH⊥平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离
在中，∵ ∴
∴ P到平面BD的距离为
解法二：设点A到平面QBD的距离为，
由，得

【模拟试题】
1. 下列三种叙述，其中正确的有（ ）
① 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
② 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③ 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 在下面四个命题中，真命题共有（ ）
① 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 ② 斜三棱柱的侧面一定都不是矩形
③ 底面为矩形的平行六面体是长方体 ④ 侧面是正方形的四棱柱是正方体
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 在以下三个命题中，真命题的个数为（ ）
① 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
② 有一个面是凸多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥；
③ 有一个面是多边形，其余各面都是三角形（而这些三角形可分成两部分，它们分别有公共的顶点）有几何体是棱锥。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D. 棱台各侧棱的延长线交于一点
5. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
D. 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
6. 图（1）是由图（2）中的哪个平面图旋转得到的（ ）

7. 有下列叙述：
① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③ 在圆台上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④ 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的。
其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
8. 上、下底面积分别为36和49，母线长为5的圆台，其两底之间的距离为（ ）
A. 4 B. C. D.
9. A，B为球面上相异的两点，则通过A，B可作的大圆个数为（ ）
A. 只能作一个 B. 可以作无数个 C. 一个没有 D. 一个或无数个
10. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为（ ）

11. 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
12. 如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是（ ）

13. 下列命题中正确的是（ ）
A. 矩形的平行投影一定是矩形
B. 梯形的平行投影一定是梯形
C. 两条相交直线的投影可能平行
D. 一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
14. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
15. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A. B. C. D.
16. 两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，这两个球的半径之差为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
17. 正四棱台的上、下两底面边长分别是方程的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其斜高与高分别为（ ）
A. 与2 B. 2与 C. 5与4 D. 2与5
18. 正四棱锥底面外接圆半径为10cm，斜高为12cm，下面数据正确的是（ ）
A. 高 B. 侧棱长
C. 侧面积 D. 对角面面积
19. 半径为15cm，圆心角为216°的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是（ ）
A. 14cm B. 12cm C. 10cm D. 8cm
20. 正四棱柱的对角线长是9cm，全面积是144cm2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ）
A. 0个 B. 唯一的 C. 两个 D. 无数个
21. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. D. 6
22. 现在建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，那么仓库的容积的最大值是（ ）
A. 300m3 B. 400m3 C. 200m3 D. 240m3
23. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）
A. B. C. D.
24. 正四棱柱底面积为P，过相对侧棱截面面积为Q，则它的体积是（ ）
A. B. C. D.
25. 圆台上、下底面积分别为，4，侧面积为6，则这个圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
26. 已知正六棱台上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
27. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）
A. B. C. D.

28. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（ ）
A. B. C. D.
29. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，其该正三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
30. 两个非零向量平行的充要条件是（ ）
A. B.
C. 存在非零实数，使 D. 存在非零实数，使
31. 已知，给出下列等式：
① ②
③ ④
其中正确的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
32. 若两点的坐标是A（），B（，1），则的取值范围是（ ）
A. [0，5] B. [1，5] C.（1，5） D. [1，25]
33. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ）
（1） （2）
（3） （4）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
34. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是（ ）
（1） （2）
（3） （4）
A.（1）（2） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（4）
35. 设命题是三个非零向量；命题为空间的一个基底，则命题是命题的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
36. 在下列各对向量中，互相垂直的一对为（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
37. 在下列各结论中，不正确的是（ ）
A. 两非零向量和垂直的充要条件为

B. 若向量和，则
C. 已知是两非零向量，则
D. 是或的充要条件
38. 已知向量，若，设，则与轴夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
39. 在下列各命题中，是成立的充分不必要条件有（ ）
（1） （2）或
（3）且 （4）或或
A.（1）（4） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（3）（4）
40. 已知向量是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则且是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【试题答案】
1. A 2. A 3. B 4. D 5. A 6. A 7. D 8. D 9. D 10. A
11. C 12. C 13. D 14. D 15. B 16. C 17. A 18. D 19. B 20. C
21. A 22. A 23. A 24. D 25. A  26. B 27. D 28. B 29. B 30. D
31. A 32. B 33. D 34. A 35. B 36. C 37. D 38. D 39. B 40. B

用心 爱心 专心