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《有理数》全章复习与巩固（基础）
撰稿：张保平
【学习目标】
1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.
2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4. 理解科学记数法，有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用；
5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.
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【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1.有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：

要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数

2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如.
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0.
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负.
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
数a的绝对值记作.
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) .
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同0相乘，都得0.
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·(b≠0) .
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0.
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3.
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36.
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， .
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a; ②乘法交换律:ab=ba;
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
(3)分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法
1. 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法.例如：200 000=.
2.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.如：
0.000 27有两个有效数字：2，7.
注意：万=，亿=10
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．
【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1
【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.
举一反三：
【高清课堂：有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】
【变式】(1)的倒数是　 ；的相反数是　 　；的绝对值是　 　.
-（-8）的相反数是 ；的相反数的倒数是_____
(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 .
(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m／min.
(4) 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则____ .
(5) 近似数0.4062精确到 位，有 个有效数字;
近似数 5.47×105精确到 位，有 个有效数字;
近似数3.5万精确到 位，有 个有效数字.
(6) 3.4030×105保留两个有效数字是 ，精确到千位是 .
【答案】（1）； ； ；-8；2 （2）降价5.8元，70.2 元；（3）；（4）3；
（5）万分，4；千，3；千，2 （6）3.4×105，3.40×105
2． 如果(x-2)2+|y-3|＝0，那么(2x-y)2005的值为( )．
A．1 B．-1 C．22006 D．32005
【思路点拨】利用非负数的性质，求出的值再代入计算．
【答案】A
【解析】 因为(x-2)2，|y-3|都是非负数，且(x-2)2+|y-3|＝0， 所以由非负数的性质先求出x=2，
y =3的值，代入得： (2x-y)2005=12005=1．
【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性.
3.在下列两数之间填上适当的不等号：
________．
【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．
【答案】 ＜
【解析】法一：作差法
由于，所以
法二：倒数比较法：因为
所以
【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用.
举一反三：
【变式】比较大小：(1)________0.001； (2)________-0.68
【答案】（1）＜ （2）＞
类型二、有理数的运算
【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】
4．(1) (2)
(4)
(5)
【答案与解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等.
举一反三：
【变式】计算：（1） ；
（2）
【答案】（1）
（2）原式

类型三、数学思想在本章中的应用
　5.（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系.

A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a
（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．
（3）转化思想：计算：
【答案与解析】（1）将-a在数轴上标出，如图所示，
得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a.
所以正确选项为：D
（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5
因为|y|＝3，所以y为3或-3．
当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2
当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8
当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8
当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2
故（x-y）的值为±2或±8
（3）原式=
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”.
举一反三：
【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?
【答案】 当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；
当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；
当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．
所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．
类型四、规律探索
6. (2009·山东聊城)将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：

请你写出第20行从左至右第10个数是________．
【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．
【答案】
【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是．
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．