高三一轮复习数列第一课时.doc

第五章　数　列

第一节 数列的概念与通项公式
夯实基础　
【学习目标】
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
3．会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项．
4．会用数列的递推关系求其通项公式．
【基础检测】
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
2．数列－3，7，－11，15，…的通项公式可能是(　　)
A．an＝4n－7 B．an＝(－1)n(4n＋1)
C．an＝(－1)n(4n－1) D．an＝(－1)n＋1(4n－1)
3．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．
【知识要点】
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和

2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系

图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中

通项通项法
把数列的通项使用公式表示的方法

递推公式法
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法

3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
4．数列的分类
单调性

递增数列
∀n∈N*，an＋1>an

递减数列
∀n∈N*，an＋1<an

常数列
∀n∈N*，an＋1＝an

摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

周期性
周期数列
∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an
典 例 剖 析　
考点1　由数列的前几项求数列的通项公式
根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：
(1)4，6，8，10，…；
(2)－，，－，，…；
(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；
(4)9，99，999，9 999，….

【点评】由数列的前几项求数列通项公式的策略
(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
考点2　由递推公式求通项公式
数列{an}分别满足下列条件，求数列{an}的通项公式：
(1)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)．
(2)a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)．
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
(4)a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．

【点评】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解；当出现an＝xan－1＋y时，待定系数构造等比数列；当出现an＋1＝时，取倒数构造等差数列求解．
变式练习1
(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
(2)若a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1，则an＝________.

考点3　an 与Sn关系的应用
例题31．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋3，则数列{an}的通项公式an＝________.
2．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.
3．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.

【点评】数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
变式练习2
(1) (2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．
(2)(2018·广州二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．
(3)（2015新课标）设Sn是数列{an}的前n项和,且a1＝－1,an＋1＝SnSn＋1,则Sn＝________.

方 法 总 结　
1．利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质．
2．利用递推关系式求通项公式时要注意转化与化归思想的应用．
3．应用公式an＝是求数列通项公式或递推关系式的常用方法之一，同时应注意验证a1是否符合一般规律．
走 进 高 考　　
(2014全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ.
（2015新课标Ⅰ）为数列的前项和，已知，
（1）求的通项公式：