线性代数期末试卷及答案(2005A).pdf

1南京工业大学南京工业大学线性代数线性代数课程考试试卷（课程考试试卷（A A A A）(江浦、浦江 2005-2006 学年第 1 学期)所在系(院)班 级学号姓名题分一二三四五六七八总分一一填空题填空题(每空 3 分，共 15 分)1、若n阶 方 阵 A 满 足02=+EAA(E为 单 位 阵)，则A的 逆 矩 阵=1A_.2、设矩阵B是由矩阵A划去某一列所得,则秩(B)_秩(A).3、若1111320=zyx,则=222431111zyx_.4、若向量=0112k与=110k正交，则=k_.5、已知三阶矩阵A的特征值为,2,1,1设,223AAB=则B的三个特征值为_.二二单项选择题单项选择题(每题3分，共15分)1、齐次线性方程组0=xA的一个基础解系为123212131,100010001 =，则A的秩为（）5)()(=ARA4)()(=ARB3)()(=ARC2)()(=ARD2、设有m个n维向量)(nm，则（）2)(A必线性相关)(B必线性无关)(C不一定)(D无法确定3、设A为n阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是（）()AAA()BCAC（C为任意n阶方阵）()CAA()()DAA B（B为任意n阶方阵）4、设A与B均为n阶方阵，若A与B相似，则下面论断错误的是（）)(A存在M，且0M，并有AMMB=)(B A与B有相同的特征值BEAEC=)()(D A与B均可对角化5、若向量组321,线性无关，向量组421,线性相关,则（）)(A4必不可由321,线性表示)(B4必可由321,线性表示)(C2必不可由431,线性表示)(D2必可由431,线性表示三.(12 分)求n阶行列式:)1(100000220000111321nnnn。3四(12 分)设=410011103A，且有关系式 AX=A+2X，求矩阵 X.五(12 分)求向量组1234(1,1,0,1),(2,0,1,3),(0,2,1,1),(0,1,1,1),=5(6,1,3,9)=的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。4六(16 分)已知二次型22212312323(,)4332f x xxxxxx x=+。（1）写出二次型f的矩阵A；（2）用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵；（3）判别二次型的正定性5七1.(江浦学生做江浦学生做)(12分)问a为何值时，线性方程组=+=+=+=+773922323215432142143214321xxxxxxxaxxxxxxxx无解，有解？有解时求其通解。2(浦江学生做浦江学生做)(12 分)判别非齐次线性方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx+=+=+=+=是否有解，若有解，求其通解。6八.1.(江浦学生做江浦学生做)(6 分)设A是 3 阶矩阵，321,是 3 维向量，若向量组321,线 性无 关，且321122+=A，321222=A，321322=A.（1）求矩阵A的特征值；（2）设EAB=*2，其中E是 3 阶单位矩阵，*A是A的伴随矩阵，求B的行列式B的值。2.(浦江学生做浦江学生做).(6 分)假如321,是某齐次线性方程组0AX=的一个基础解系,问213213,2,是不是齐次线性方程组0AX=基础解系?为什么？7南京工业大学南京工业大学线性代数线性代数课程考试试卷（课程考试试卷（A A A A）解答）解答(江浦、浦江 2005-2006 学年第 1 学期)一、1、AE，2、，3、2，4、1=k，5、-4,-6,-12二、1、D，2、A，3、C，4、D，5、B，三第n,3,2 列加到第1列：)1(100000220000101322)1(+=nnnnnnD4 4 4 4=100220(1)200(1)n nn+4 4 4 4=2)!1()1(1+nn4 4 4 4四(12 分)解：(2)AE XA=3 3 3 31(2)321130122111031110145224323223XAEA=五(12 分)解：81234512006120061021101102(,)01113000111311900000 =6 6 6 6秩为3；（8 8 8 8）极大线性无关组为134,；（10101010）21351342,62=。（12121212）六.(16分)解:（1）400031013A=4 4 4 4（2）2|(4)(2)AE=，得特征值 2，4，4。7 7 7 7对于=2，得特征向量10011,2112p=单位特征向量为;12323000000001140110011 000,0110011000100,1.01xxx =当时，解方程此方程组的基础解系为这是一组正交向量组230110,2012pp =将特征向量单位化得101010109取正交变换1230101102211022yXPYyy=。则222123244fyyy=[phone]（3）因为特征值都大于 0，所以二次型是正定二次型16161616七(江浦学生江浦学生)(12)解：15111151110722107221(,)072440000301448800000aaA ba+6 6 6 6（1）当3a时，方程组无解；8 8 8 8（2）当3a=时，有无穷多组解，10101010通解为1213313777424777010001Xkk=+。12121212七(浦江学生浦江学生)(12 分)解：15111151110722407224(,)072440000001448800000A b6 6 6 6,()(ArAr=b b b b)=24，方程组有无穷多解。9 9 9 910通解为1213313777424777010001Xkk=+。12121212八(江浦学生江浦学生)(6 分)（1）123123122(,)(,)212221A =2 2 2 22(1)(5)EA=+,A的特征值为 1，1，5；2 2 2 2（2）5,AA=的特征值为：，B 的特征值为：(11),(11),1.,(11)(11)1121.B=2 2 2 2八.(浦江学生浦江学生).(6 分)解.是2 2 2 2(1)由于321,是某齐次线性方程组0AX=的解.则它们线性组合213213,2,是0AX=的解;1 1 1 1(2)由于321,线性无关,可得213213,2,线性无关;2 2 2 2(3)由于0AX=基础解系中含 3 个解向量,从而213213,2,是组0AX=基础解系.