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超声波在液体中相速与群速的测量
王政力 2012301020096
摘要: 简要叙述了相速与群速的定义,并用实验测量了超声波在不同液体中的相速与群速.
关键词: 相速; 群速; 超声波

1 引 言
声波是机械纵波, 可在固体、液体和气体中进行传播. 频率大于20 kHz 的称为超声波. 对波的传播, 一般都是指理想的简谐波. 简谐波的波速是指其相位传播的速度, 也即相速度, 而实际传播的往往是非简谐波, 即由多种频率成分组合的波. 在有些媒质中, 相速与波的频率无关, 该媒质称为无色散媒质, 如空气. 在无色散媒质中传播时, 不同频率的简谐波具有相同的波速, 在传播过程中波形始终不变, 波形传播的速度就是相速.而大多数媒质具有色散, 即波在该媒质中的相速与频率和波长有关. 因此在该媒质中由多种频率成分所组合的波在传播时, 随着时间的的推移, 波形将发生变化, 此时各简谐波波形移动的速度不同, 因而定义在合成波包峰(最大位移)的传播速度为群速, 群速也指能量和信息传播的速度.

2 实 验
2.1实验目的
了解相速度及群速度及其测量的重要意义

2.2实验原理
设有频率为的振动波，,,其传播方向由A向B. A与B同相,则波由A传播到B的速度定义为相速,要保持相位不变的条件是:
常数 (1)
将(1)式两侧微分,得,由定义可知相速为
(2)
然而,实际上波的传播往往是由多种频率成分所组合,即波包在传播.则在合成的波包上确定某一点的传播速度定义为群速.为了能简便有效地说明问题,设有2列振幅相等频率相差很小的波组合而成的波包传播,其振动方程为:

可令,则有
,
,
是微小量,其中与分别是2列波的平均圆频率与平均波数. 因此两波叠加的和为
(3)
由式(3)可知,波群可以看成是以振幅为缓慢变化的正弦波,其中波群上的任意一点的传播速度就是该波的群速.所以等幅值的方程为
常数 (4)
将式(4)两侧微分,得则群速为
(5)
由于均很小,可用替代,将式(2)代入式(5) ,则:
(6)
将(6)式整理后,可得:
(7)
式(7)表示了相速与群速的关系.当时,.当时,则相速大于群速,反之则相速小于群速.

2.3相速与群速的测量
实验系统框图如图3所示,信号发生器通过超声头输出超声波,超声由水槽壁的一端传向另一端. 将压电接收头放入水槽中,同时将信号输入到示波器中,压电接收头的移动距离可以在刻度尺上读出来.信号发生器可以选择”正弦”或”脉冲”的方式输出,分别用来测量相速和群速.

图3 实验系统框图
1) 相速的测量
当信号发生器输出正弦波时,示波器显示图4所示波形,当发射器与接收器之间的距离有改变时,接收信号的相位为
(8)
当等于的整数倍时,则
(9)
由式(8)和式(9)可知:
(10)
只要测出的关系图,波长可以从图形的斜率得出,当信号的频率已知,那么相速就可以通过式(2)求出.

图4 相速测量波形图
2) 群速的测量
信号改用脉冲输出,由傅氏分析可知,脉冲是由基频与多次谐频的信号组合而成,是多种频率的组合信号,示波器上的显示见图5.由图5可以清楚地观察到波包以及脉冲信号的延迟时间.移动接收头,改变,用示波器测量出延迟的时间,根据式(5)作出特性曲线, 其斜率即群速.

图5 群速测量波形图
2.4实验结果
表1 相速测量
1
n
0
10
20
30
40
50
60
L(cm)
9.09
10.81
12.61
14.42
16.21
18.01
19.81
(cm)
0
1.72
3.52
5.33
7.12
8.92
10.72
2
n
0
10
20
30
40
50
60
L(cm)
5.82
7.61
9.40
11.21
12.99
14.80
16.60
(cm)
0
1.79
3.58
5.39
7.17
8.98
10.78
3
n
0
10
20
30
40
50
60
L(cm)
6.91
8.79
10.49
12.29
14.09
15.89
17.70
(cm)
0
1.88
3.58
5.38
7.18
8.98
10.79
故可得
表2 群速测量
1

0
10
20
30
40
50
60
70
80
90

5.01
6.39
7.81
9.30
10.78
12.29
13.71
15.21
16.80
18.18

2

0
20
40
60
80
100

5.18
7.91
10.81
13.72
16.69
19.71

3

0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50

4.19
4.85
5.55
6.29
7.01
7.71
8.45
9.19
9.96
10.7
11.45

故可得

3 总结
本文通过实验讨论了相速与群速间的关系:. 波速的大小与周围环境的温度有一定的关系,但本文中的实验均在室温中进行的,故没有讨论波速与温度的关系.

参考文献:
实验讲义