鄞中物理奥赛培训教材第一版知识框架第1-10讲.doc

第一讲 力的种类和受力分析
【赛点知识】
一、自然界中常见的力
我们在日常生活中会遇到各种各样的力，如重力、绳中的张力、摩擦力、地面的支撑力和空气的阻力等，从最基本的层次看，上述各种力属于四大范畴：（1）引力；（2）电磁力；（3）弱力；（4）强力。
这里我们只介绍开头列举的那几种常见的力。
（一）万有引力
宇宙间存在于任何两个有质量的质点之间的相互吸引力称万有引力。

式中，Nm2/kg2 ，为万有引力常量；为A，B两质点的质量，表示两质点的距离。
重力来源于地球对物体的吸引。在地球表面附近，物体的重力大小，方向竖直向下。
物体的各个部分都受到重力的作用，我们把它等效地认为是作用在物体的重心上。
在一般情况下，在地球表面附近的小范围可以认为重力是不变的。
若在大范围内考虑，并计及地球自转的影响，则同一物体的重力是可变的，重力将随距地面的高度、不同的纬度而不同，它实际上是万有引力的一个分力。
（二）弹力
物体在受力产生形变时，有恢复原状的趋势，这种抵抗外力力图恢复原状的力就是弹力。
对于弹簧的弹力，在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧伸长（或压缩）的长度成正比

式中，为弹簧的劲度系数，由弹簧本身性质所决定（如匝数、材料及弹簧的粗细等）；为弹簧的形变量，负号表示弹力的方向与形变的方向相反，弹簧伸长时取正。其它弹力的大小只能据状态求。
弹力的方向：应为恢复形变的方向，在实际问题中可理解为垂直接触面的方向；对绳子或柔软体，沿绳方向；对二力杆则沿杆方向。
弹簧的连接：
（1）弹簧的串联：将劲度系数分别为的几个弹簧串联，串联后等效的劲度系数为，则。
（2）弹簧的并联：将劲度系数分别为的几个弹簧并联，在形变相同的情况下，并联后等效的劲度系数为，则。
（三）摩擦力
两个相互接触的物体间有相对运动或者有相对运动趋势时，这两个物体的接触面上就会出现阻碍相对运动的进行或阻碍相对运动发生的力，这就是摩擦力。前者是滑动摩擦力，后者是静摩擦力。方向与相对运动或相对运动趋势方向相反，沿接触面的切线方向。
静摩擦力大小：
式中，为最大静摩擦力，；为静摩擦系数，它由相互接触物体的质料和表面情况决定，并且有。
滑动摩擦力大小：
摩擦力的起因及微观机理，尚有许多未知领域，有待进一步探讨。但实验指出，接触面过于粗糙或过于光滑又清洁时，摩擦因数都会增大。相对速度过小或过大。滑动摩擦因数也要变化，不过在通常情况下，这种变化不明显，可以忽略不计。所以在一般的分析计算中，都认为摩擦因数不受接触面积、接触面粗糙程度和滑动速度的影响，一般给出的摩擦因数，都是在通常条件下，有实验测出的平均值。
滚动摩擦：滚动摩擦的产生是由圆柱体和地面接触处的形变引起的。滚动摩擦一般远小于滑动摩擦，所以它对物体的影响我们常不予考虑。
以上谈的都是固体之间的摩擦问题，下面简短谈谈流体与固体之间的摩擦。流体（气体或液体）不会对与它相对静止的物体施加摩擦力，但要对在其中运动的物体施加阻力。粗略地说，在流体的粘滞性较大，运动物体较小、较慢的情况下，阻力正比于和粘滞性（分别为运动速度，横截面积）；在相反的情况下，阻力正比于和，但与粘滞性无关。通常在空气中坠落、行驶或飞翔属于后一种情况。
二、受力分析
研究力学问题的第一步工作就是对研究对象进行受力分析，正确的受力分析是解力学问题的前提。
受力分析可按三种不同性质的力依次进行，简称四步曲。
（1）先确定研究对象，并将“对象”隔离出来，必要时“转换”研究对象。
（2）分析“对象”受到的外力，按先重力、次弹力、再摩擦力的顺序进行分析，不要边分析边处理力，画出示意图。
（3）根据具体情况将力的合成或分解。
（4）写出运动条件，解方程，而后分析讨论结果。

【赛题精析】
例1．均匀长棒一端搁在地面上，另一端用细线系在天花板上，如图所示。若细线竖直，试分析棒的受力情况。

例2．如图所示，木板A质量为M，以相对地面的速度在水平面上向东运动，木板上放一质量为的木板B，各接触面间滑动摩擦因数为，当木块B也有相对地面向东的速度时，试分析A、B木块的受力情况。

例3．如图所示，质量为的物体恰好能在倾角为的固定斜面上匀速下滑，如在物体上施加一个力使物体沿斜面匀速上滑，为了使力取得最小值，这个力与斜面的倾斜角为多大？这个力的最小值是多少？

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【习题精选】
1． 画出图中各种情况下静止物体A的受力示意图（小球均光滑）。

2． 如图所示的皮带传动装置中，O1 是主动轮，O2是从动轮，A，B分别是皮带上与两轮接触的点，C，D分别是两轮边缘与皮带接触的点（为清楚起见，图中将两轮与皮带画得略为开些，而实际上皮带与两轮是紧密接触的）。当O1顺时针起动时，若皮带与两轮间不打滑，则A，B，C，D各点所受摩擦力的方向分别是（ ）
A．向上、向下、向下、向上
B．向下、向上、向上、向下
C．向上、向上、向下、向下
D．向下、向下、向上、向下

3． 如图所示，两木块的质量分别为和，两轻质弹簧的劲度系数分别为和，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为（ ）
A． B．
C． D．

4． 质量为的小木块，停放在水平地面上，它与地面的静摩擦因数为，一人想用最小的作用力使木块移动，则最小的作用力=______________。

5． 如图所示，两根劲度系数分别为和的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑细绳连接，把一光滑的轻滑轮放在细绳上，求当滑轮下挂一重为的物体时，滑轮下降的距离多大？

6． 如图所示，质量为的木块与水平面间无摩擦，静止时各弹簧均处于原长，在图中两种情况下，求受一水平向右的力作用平衡后，木块移动的距离。

7． 如图所示，人字形梯置于铅垂平面内，A，B两处相同，当人爬至D处时系统失去平衡，此时A，B两处何处先滑动。

第二讲 有固定转动轴的物体平衡
【赛点知识】
力可以使物体发生转动，物体转动时，它的各点都沿圆周运动，圆周的中心在同一直线上，这条直线叫转动轴，而一个力使物体转动的效果取决于力矩（力×力臂）。如果有几个力作用在物体上，那么这几个力共同对物体的转动效果取决于它们力矩的代数和，力矩的代数和不等于零，物体将作变速转动；力矩的代数和等于零，物体将保持静止或匀角速转动。
实验证实：有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和等于零或者说合力矩为零，即
或

【赛题精析】
例1．由边长的两个正方形均匀薄板构成“硬封面簿”，夹在水平放置的、半径为的光滑圆木上。两板用带有铰链的轻杆相连结，此系统处于平衡状态，求两板间的夹角为多大？

例2．离地面高cm处，水平轴P上装有均匀杆，杆的长度cm，质量kg，杆偏离竖直方向夹角，靠在位于地面上的半径cm的球面上，整个系统处于平衡状态，试求球与地面之间以及球与杆之间的摩擦力。

例3．一支杆秤，其秤锤已丢失，仅留下杆秤及一根细线，不用其他器材，如何确定丢失的秤锤的质量？

例4．如图所示，三根长度均为的轻杆用铰链连接并固定在水平天花板上的A，B两点，A，B两点相距为，今在铰链C上悬挂一个质量为的重物，要使CD杆保持水平，则在D点上应施的最小力为多大？

【习题精选】
1． 如图所示，重球置于一光滑木板AB和光滑竖直墙壁之间，木板AB重力不计，可绕固定光滑铰链A转动，在B端施一始终竖直向上的力，使B端缓慢落下，直至AB成水平位置，这个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．力及其力矩都变大
B．力及其力矩都变小
C．力变大，力矩变小
D．力变小，力矩变大

2． 一均匀的直角三角形木板ABC，可绕通过C点的水平轴竖直于纸面转动，如图所示，现用一始终沿直角边AB的作用于A点的力，使BC边缓慢地由水平位置转至竖直位置，在此过程中，力的大小随角变化的图线是图（ ）

3． 如图所示，两根均匀杆AB和CD，长均为，重均为，AB杆的A的端用铰链固定在墙壁上，其端与CD杆的C端用铰链连接在一起，使两根杆均可在竖直平面内转动，现于杆上某点施一竖直向上的力，使AB杆和CD杆都保持水平，那么施力的作用点到杆的A端的距离为多少？所施加的大小又为多少？

4． 有六个完全相同的刚性长条薄片，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均可不计，现将六个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起搭在碗口上，另一端的小突起位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将一质量为的质点放在薄片上的一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起的距离，求薄片中点所受的压力。

5． 有一长为，重为的均匀杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙面间的静摩擦系数为，B端用一强度足够且不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C点，木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为，如图所示，求：
（1）杆能保持平衡时，与应满足的条件，
（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在，若在A点与P点间任一点悬挂重物，则当重物的重量足够大时总可以使平衡破坏，而在P点与B点之间任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏，求出这一点P与A点的距离。

6． 轻质横杆OB，O端用铰链固定在墙上，B点用轻绳拉紧，使杆处于水平状态，在B点挂重为的物体，如图所示，AB和OB的夹角为，在把重物的悬点向O端移动的过程中，求墙对杆的作用力的最小值。

7． 三个直径和重力都相同的圆木柱垛在一起，如图所示。问：圆木柱之间摩擦因数最小为何值时，它们才不会滚散？（设圆木在地面上不可能滑动）

8． 一根长度为的杆AB重为，B端压在粗糙的地面上，A端用一根足够牢的轻绳斜拉在地上，绳与杆的夹角为，如图所示，在离B端处有一水平作用力，问：
（1）杆B端与地面之间的动摩擦因数至少为多大，才能维持杆静止？
（2）如果B端与地面之间的动摩擦因数为，那么在AB上有一点D，在AD之间不论施加上多大的水平力，都不会破坏AB杆的平衡，求D点的位置。

9． 人对均匀细杆的一端施加力，方向垂直于杆，要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬到竖直位置，试求杆与地板间的最小摩擦系数。

10． 如图所示，用一段橡皮管将质量为的钢喷管接到竖直水管的一端，试问：水的消耗量为多少才使喷管处于水平位置？（喷管的横截面积为，长度为，摩擦不计）

11． 三根重为，长为的均质杆对称搁在地上，底端相距也均为，如图所示，求：
（1）A杆顶端所受作用力的大小？
（2）若一重为的人坐在A杆中点，则A杆顶端所受作用力变为多少？

12． （山东省1979年复赛题）今用一均匀的长为、重为的撬棒把一块长为、重为的均匀预制板支起达平衡位置，如图所示，问垂直作用于撬棒上端点的作用力是多少？（假定预制板与撬棒的接触处是光滑的，地面是粗糙的，角和角都是已知的）

第三讲 一般物体的平衡
【赛点知识】
一般物体的平衡条件是指物体既满足平动的平衡条件，又满足转动的平衡条件，即

其中，是指所有力对任一点的力矩的代数和为零，在满足，的条件下，可以证明，当所有力对于某一点的力矩的代数和为零时，对任一点的力矩的代数和都等于零。因此，在实际应用时可以选择适当的转轴O，使方程得以简化。
上面所表示的只是平衡方程的基本形式，并不是唯一形式。平面一般力系的平衡方程还可以表示为以下两种形式。
1．两个力矩平衡方程形式，即三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程，可写为：

其中，A，B两点的连线AB不能与轴垂直。
因为满足时，力系不可能简化为一个力偶，只可能简化为通过A点的一个合力。当也同时被满足时，若有合力，则它必通过A，B两点。但因为连线AB不能与轴垂直，故当也成立时，就充分证明了力系的合力必成立。故其一定是平衡力系，如图所示。
2．三个力矩平衡方程形式，即三个平衡方程都是力矩方程，可写为：

其中，A，B，C三点不能共线。这一结论读者可自行论证。
这样，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，每一种形式都只包含有三种独立方程。因此，对一个受平面一般力系作用的平衡物体，可以也只能列出三个平衡方程，求解三个未知数。任何第四个方程都是前三个方程的线性组合，而不是独立的。至于在实际应用中采用何种形式的平衡方程，完全决定于计算是否简便，要力求避免解联立方程的麻烦。
【赛题精析】
例1．有两个质量分别为，的光滑小环，套在竖直放置且固定的光滑大环中，并用细绳连接。平衡时细绳与竖直线的夹角为，如图所示。已知细绳所对的圆心角为，试证明：。

例2．如图所示，两个质量分别为，的小环能沿着一轻绳光滑地滑动，绳的两端固定于直杆上的A，B两点，杆与水平成角，在杆上又套上1个轻小环，绳穿过轻杆，并使，在其两侧，环与直杆间无摩擦，系统处于平衡时，角如图所示，求的值。

例3．如图所示，AOB是一把等臂夹子，轴O处的摩擦可以忽略。若想在A，B处用力夹住一圆柱形物体C，则能否夹住与哪些因素有关？如果这一装置能夹住C，这些因素应满足什么条件？（不考虑C的重力）

例4．如图所示，匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之间，其质量为，半径为，与墙和木板间的摩擦因数均为，板很轻，其质量可忽略。板的一端O与墙用光滑铰链相连，另一端A挂有质量为重物，OA长为，板与竖直墙夹角，，试问：至少需要多大才能使系统保持平衡？并对结果进行讨论。

例5．如图所示，质量为，自然长度为，弹性系数为的弹性圈，水平放置于半径为的固定性球上，不计摩擦。
（1）设平衡时绳圈长，，试求。
（2）设，求绳圈的最后平衡位置及长度。

【习题精选】
1． 如图所示，水平放置的两个固定的光滑硬杆OA和OB成角，在两杆上各套轻环P，Q，两环用轻绳相连，现用恒力沿OB杆方向向右拉环，当两环稳定时绳的拉力多大？

2． 跨过两个光滑滑轮的线上，挂有三个质量分别为，和的重物，如图所示。两滑轮离悬挂点同一高度。求当整个系统处于平衡状态时，三个重物的质量之间的关系？这些条件是否总是能满足？（不计摩擦）

3． 质量分别为和的两个小球用长为的轻质硬杆相连，在如图所示位置处于平衡状态。杆与桌边缘部分摩擦因数为，桌长为，球和竖直壁间没有摩擦。为使杆平衡，问参数，，，，和应满足什么条件？

4． 如图所示，小圆环A吊着一个重为的砝码套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线，其一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个重为的砝码。如果小环、滑轮、绳子的大小和质量以及摩擦都可以忽略不计，绳子又不可以伸长，求平衡时弦AB所对的圆心角。

5． 四个半径相同的均质球在光滑水平面上堆成锥形（俯视见图所示），下面三球用细绳缚住。绳与三球心共面，各球重为，求绳内张力大小。

6． 如图所示，将一长为，质量为且分布均匀的链条套在表面光滑的圆锥上，当链条静止时，其张力为，求圆锥顶角。

7． 如图所示，边长为，质量为的立方块置于倾角为的固定斜面上，半径为，质量为的圆柱依次搁置成一排，物块与圆柱、圆柱之间、圆柱与斜面均为光滑接触，但物块底面粗糙，其与斜面之间的静摩擦系数为，试求保持系统静止时，最多可依次放置多少个这种圆柱体？

8． 如图所示，AB，BC，CD和DE为质量相等，长度为的四根均匀细杆，四根杆通过位于B，C，D的光滑铰链而铰接起来，并以端点A和E置于粗糙水平面上，形成对称弓形，而且在竖直平面内保持平衡，若平面与杆间摩擦系数等于0．25，试求AE的最大距离及C点离水平面的相应高度。

9． 半径为，质量为的三个相同的球放在水平桌面上，两两相互接触，用一高为的无底圆筒将三球刚好套于筒内，各处保持无变形接触。现取一质量亦为，半径为的第四球置于三球正上方，俯视如图所示，设各处静摩擦系数均为，试求取何值时，用手竖直轻轻上提圆筒，能将四球一起提起来。

10． 把4块完全相同的均匀砖块由下而上依次叠放在桌子边缘，如图所示。要使最上面的砖块伸出桌子边缘最多，砖应如何叠放？砖块伸出桌子边缘的最大水平距离是多少？（设砖长为）

11． 两个相同长方体处于如图所示位置，问当角为多少，它们才可能平衡？（长方体与台面间摩擦因数为，长方体长为，宽为，它们之间摩擦不计。）

12． 如图所示，在一个置于水平面上的表面光滑的半径为的半圆柱面上，置有一条长为的均匀链条，链条的质量为，其两端刚好分别与两侧的水平面相接触。问：此链中张力的最大值为多少？

13． 质量为，长为的均匀杆AB下端靠在墙上，借助绳DC保持倾斜状态，如图所示，绳的一头系在墙上C点，而另一头系在杆上D点，。绳和杆分别与墙成角和，试求杆与墙之间一切可能的摩擦因数值。

14． 如图所示，一光滑半球形容器，直径为，其边缘恰好与一光滑竖直的墙壁相切，现有一均匀直棒AB，其A端靠在墙上，B端与容器底相接触，当棒倾斜与水平成角时，棒恰好静止，求棒的长度。

15． A，B为全同物块，按如图所示铰接于M，N，P三处，M，N在同一水平面上，A，B的重量可不计。顶边水平，且各长3m；侧边竖直，高4m。今在B的顶上距P 1．5m处加竖直力N，求B对铰链P的作用力。

第四讲 平衡的种类和液体静平衡
【赛点知识】
一、物体平衡的种类
物体平衡的种类有：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。
它是处于重力场以及其他有势场的物体在场作用下的三种平衡情况，处于势场的物体和场一起具有势能，而物体都有向势能较小位置运动的趋势。
a．稳定平衡
当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。而且因稳定平衡是使物体处于势能最小位置时的平衡，所以一旦对它有微小的扰动而使它离开平衡位置，外界就必须对它做功，这样势能就增加。
b．不稳定平衡
当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受到的力或力矩使它偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平。所谓的不稳定平衡也是指物体处于势能最大时的平衡，使它离开平衡位置，外界不必对它做功，任何微小扰动，总引起重力对它做功，势能减小，这样它将继续减小势能，再也回不到原来那个势能最大的位置。
c．随遇平衡
当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡。所谓的随遇平衡是指处于平衡状态的物体，受到微小扰动后，势能始终保持不变。因此可以在任意位置继续保持平衡。
二、物体平衡种类的判别法
（一）受力分析法
当质点受到外界的扰动稍微偏离平衡位置后，如果所受合外力指向平衡位置，则此质点的平衡是稳定的；如果所受的合外力背离平衡位置，则此质点的平衡是不稳定的；如果所受的合外力为零，则此质点处于随遇平衡状态。
（二）力矩比较法
对于有支轴的刚性物体，当它受外界扰动而偏离平衡位置时，如果外力会引起一个回复力矩，此力矩有把物体拉回到原平衡位置的倾向，则称物体处于稳定平衡状态；如果外力会引起一推斥力矩，它有把物体推离原平衡位置的倾向，则称物体处于不稳定平衡态；如果物体所受合力矩仍为零，则称物体处于随遇平衡态。
（三）重心升降法
对受重力和支持力作用而平衡的物体（包括质点和刚性物件），判断其平衡种类时，常可用重心升降法。即若使物体稍微偏离平衡位置，如是重心升高，则称稳定平衡；若物体稍微偏离平衡位置，如其重心降低，则为不稳定平衡；而若物体偏离平衡位置如其重心高度不变，则为随遇平衡。
（四）支面判断法
具有支面的物体平衡时，物体所受重力的作用线一定在支面内，如果偏离平衡位置后，重力作用线仍在支面内，物体就能回到平衡位置，属于稳定平衡；但如果物体倾斜较大时，重力的作用线超出支面，重力的力矩，会使物体继续远离原来的位置，即原来的平衡被破坏，利用这一点，常能为处理平衡种类的一些问题找到解题的突破口。
三、液体静平衡
（一）静止流体中的压强
液体内部某点处的压强与方向无关，可用公式计算，式中的是指从该点到液面的竖直距离，而不是到液面的距离。对于连通管来说，凡是在相连通的同种液体的相同高度处其压强必相等，若不是同种液体，或者虽是同种液体，但中间夹有其他种液体或气体时，上述关系就不一定能成立。对于盛有多层不同液体的容器内的压强应分层计算，然后叠加起来。
（二）浮力
液体对物体的浮力表示为，式中的为物体浸没于液体部分的体积，为液体的密度。液体对浸在其中的物体的浮力来自于液体的静压强，而液体的静压强则来自于液体的重量，当液体作加速运动时，其视重改变了，液体内的静压强以及液体对浸在其中的物体的浮力也随之而改变。
例：木块漂浮于水面上，若把它们放于以加速度上升的升降机中，由于液体、木块超重的倍数相同（液体的超重相当于液体的密度变为原来的倍），因而木块浸入水中的体积将不发生变化。
（三）浮体平衡的稳定性
浮在流体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等、方向相反，处于平衡状态，浮体平衡的稳定性，将因所受扰动方式的不同而异。显然，浮体对铅垂方向的扰动，其平衡是稳定的，对于水平方向的扰动，其平衡是随遇的。
浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，其平衡的稳定性视具体情况而定。以浮于水面的船体为例：当船体向右倾斜（即船体绕过质心的水平对称轴转动一小角度）时，其浮心B将向右偏离，浮力与重力构成一对力偶，力偶矩将促使船体恢复到原来的方向，如图所示，可见船体对这种扰动，其平衡是稳定的，但如果船体的重心太高，船体倾斜所造成的力偶矩也可能使船体倾斜加剧，这时船体的平衡就是不稳定的，如图所示。

【赛题精析】
例1．如图所示，固定在竖直平面内的椭圆环，其长轴沿竖直方向，有两个完全相同的小圆环套在椭圆环上，不计质量的轻线将两个小圆环连接在一起，轻线跨过位于椭圆焦点F的水平轴，小圆环与轻线系统处于平衡状态，不计各处的摩擦，小圆环的大小忽略不计。试分析说明，系统属于哪一种平衡状态？

例2．如图所示，半径为的均质圆柱体置于水平位置的半径为的圆柱上，母线互相垂直，设两圆柱间静摩擦系数足够大，不会发生相对滑动，试求稳定平衡时，和应满足的关系。

例3．儿童玩具“不倒翁”高m，质量g，相对轴KD对称分布，不倒翁的下部是半径cm的部分球面，如图所示。如果不倒翁放在与水平面倾斜成角的粗糙面上，当它的轴KD与竖直方向偏角，则处于稳定平衡状态，如图所示。为了使它在水平桌面上失去稳定平衡，就要在头顶K点上固定塑泥，试问最少需加多少塑泥？

例4．一根均匀细杆悬在水面上不动，如图所示，杆可绕杆上端的水平轴O在竖直平面内转动。杆的长度为，杆的材料密度为（小于水的密度）。当缓慢放下轴时，杆浸入水中。试求杆与竖直线的偏角与从轴到水面距离的关系。

【习题精选】
1． 在蜡烛的底部插入一个铁钉后，竖立在水中，蜡烛露出水面1cm，已知蜡烛的密度为水的密度的0．9倍，现将蜡烛点燃，蜡烛燃烧多长后才可熄灭？

2． 用轻绳连接的三个动滑轮组成动滑轮组，如图所示。挂在左、右两侧滑轮上的重物的质量均为，为使系统处于平衡状态，求挂在中间滑轮上的重物的质量应为多大？两侧滑轮与支架之间的摩擦因数应为多少？这种平衡是否稳定？（图中角为已知）

3． 一根质量为的均匀杆，长为，下端可绕固定水平轴转动，有两根水平弹簧，劲度系数相同，拴在杆的上端，使其处于竖直位置，如图所示，问：弹簧的劲度系数为何值，才能使杆处于稳定平衡？

4． 如图所示，用均匀材料制成的浮子，具有由两个半径皆为的球冠围成的外形（像一粒豆子），浮子的厚度，质量为，沿浮子的对称轴向浮子插入一根细辐条，穿过整个厚度，辐条长，质量为，当将浮子辐条向下浸于水中时，浮子只有少数体积没于水中，浮子的状态是稳定的吗？

5． 如图所示，边长为的均匀立方体，平衡地放在一个半径为的圆柱面顶部，假设静摩擦因数很大，足以阻止立方体下滑，试证物体的平衡条件为。

6． 如图所示，将一根长度为的硬铅丝弯成等臂直角形框架，在两臂的端点各固定一个质量为的小球，在直角的顶点焊一根长为的支杆，支杆平分这一顶角，将杆支在支座上。试证：当时平衡为随遇的；当时，平衡成为稳定的（不计支杆、铅丝的质量）。

7． 如图所示，半径为的球浮于密度分别为和的分层液体的界面处，该分界面正好位于球的直径平面上，求球所受到的浮力有多大？

8． 用一根细线竖直悬挂一根长为的均匀细木杆，置于水桶内水面上方，如图所示，当水桶缓慢上提时，细木杆逐渐浸入水中，当木杆浸入水中超过一定深度时，木杆开始出现倾斜现象，求（已知木杆密度为，水的密度为）。

9． 有一密度为，半径为的半球放在盛有密度为的液体的容器底部，它与容器底部密切接触（即半球表面与容器底面间无液体），如图所示，若液体深度为，问半球体对容器底部的压力是多大？

10． 在图中有一根细而均匀的棒长为，一端悬以重为的小球（球的体积可忽略不计）。设棒的浮出水面，求棒的重力。

11． 半径为的圆环绕其铅垂直径轴以角速度匀速转动，两质量为的珠子用长为的轻杆相连套在圆环上，可在圆环上无摩擦地滑动，试求细杆在圆环上的平衡位置，用环心O与杆心C的连线与铅垂轴的夹角表示，并分析平衡的稳定性（如图所示）。

12． 如图所示，大容器内盛有密度为的液体，其内放一个底面积为的圆筒形小容器，其底部接进一个长为的小口管，两容器固定不动，往小容器内注入密度为的有色液体（），直到液体高度为时为止。此时小容器的液面与大容器液面相平。打开小口管下端开口处，就会发现重液体从小口管内流入大容器，但过一会儿轻液体又开始从小口管上升，然后又重复这一过程，假设两种液体不相混合，又忽略表面张力，试求中液体首次从小容器流出的质量是多少？轻液体每次流入小容器的质量是多少？以后每次循环从小容器流出的重液体的质量又是多少？

第五讲 质点运动的基本概念
【赛点知识】
力学中研究的运动，是指物体位置的变动，称为机械运动。这是最简单、最基本的运动形式，它存在一切运动形式之中。如何描述运动使之可以量化处理需要一些基本的运动学概念。
一、参考系
机械运动时物体位置在空间中的变动，但是任何物体的位置及其变动只有相对于现实选定的物体或彼此无相对运动的物体群才有明确的意义。这种被选作运动依据的物体或物体群成为参考物。与参考物固连的三维空间称为参考空间。另外，位置变动总是伴随着时间的变动，所谓考察物体的运动，也就是考察物体的位置变动与时间的关系。参考空间与固连的时钟的组合称为参考系。一般来说，研究运动学的问题，只要描述方便，参考系可以随便选取。但是在考虑动力学问题时，参考系的选择就受到一定限制，因为有些重要的动力学规律（如牛顿三定律）只对特定的参考系（惯性系）成立。
参考系选定后，为了定量地标定物体相对于参考系的位置，还必须在参考系上建立适当的坐标系。所谓坐标系就是固定在参考空间的一组坐标轴和用来确定物体位置的一组坐标。常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系和柱坐标系。物体的运动完全由参考系选择决定，与坐标系的选取无关。坐标系的不同，只是描述运动的变量不同而已，对应的物体的运动状态相同。
二、质点
实际物体都有一定的大小、形状和内部结构。在考察物体运动时，我们仅考察物体的整体运动，或物体本身的大小比所考察运动的线度小得多，就可以不计物体各部分运动状况的差别把它抽象成一个点，称为质点。
质点是一种理想模型，它突出了物体具有质量和占有位置这两个主要因素，而忽略了形状、大小及内部结构等次要因素。运动学中的质点概念使量化物体位置成为可能，而更复杂的物体运动可以看成质点的组合。
三、位移和路程
在直角坐标系中质点的位置可以用从坐标原点O指向质点P位置的有向线段来表示，的长度给出质点到O点的距离，的方向可用方向余弦，和决定，由于

故有向线段是由，，及的长度中任意三个参量决定。有向线段是一个特殊的矢量，称为位置矢量，简称位矢，用表示。当质点运动时，位矢的大小和方向都随时间变化，表示某时刻质点的位置，即

位矢在一段时间内的变化量称为位移，用表示：

如图所示，位移既有大小又有方向，是一个矢量，所以上述运算遵循矢量运算法则。
路程是物体通过的实际轨迹的长度。路程只有大小，没有方向。可以这样认为，一段时间内的位移是每瞬间内位移的矢量和，而路程是这些瞬间位移大小的标量和，即：
，
要注意的是位移反映的是物体的运动，所以位移总和某段时间相对应，如图所示中是表示时间内的运动量的大小和方向，而是表示瞬间的运动量的大小和方向。
四、速度
物体以恒定快慢程度在一直线上运动，称为匀速直线运动。匀速直线运动是最简单的一种运动。在匀速直线运动中，任意时间内的位移和所用时间的比值都为常量，可以用来描述运动的快慢叫做匀速直线运动的速度。

非匀速直线运动或曲线运动质点在任意到的比值不再为常量，仍用某段时间间隔内的位移和该段时间间隔的比值来描述该段运动的大致快慢程度，称为该时间间隔中质点的平均速度，用表示。

方向沿位移方向，这实际上是用一段匀速运动对原运动的等效替代。
当考察的时间间隔足够小时，此时间内各质点运动的快慢和方向可能存在的差别也必然非常小，以致可以忽略不计，于是当时，上述平均速度的极限就可以精确描写时刻质点运动的快慢和方向，此极限称为时刻的瞬时速度，简称速度，用表示：

五、加速度
一般情况下质点的速度往往随时间变化，与速度的定义类似我们可以先寻找最简单的变速运动——匀变速直线运动。

由于速度随时间线性变化则平均速度为：

则其运动位移、时间、速度及加速度有如下关系：

注意上述运算遵循矢量运算法则，由于是一直线上的矢量，故可设定正方向后以标量的代数和形式运算。
同样也可以得出平均加速度和瞬时加速度，分别为：
，
如图所示。

六、运动图像
图像是描述各种运动的另一种重要形式，匀变速直线运动的图像如图所示，图像中的斜率和面积也有重要含义，合理运用可以很直观地反映运动。对于平面曲线运动及空间曲线运动则需要对运动在坐标系中分解，各方向分运动分别描述。

【赛题精析】
例1．如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅汽雾拖尾的照片（俯视）。两列车沿直轨道分别以速度km/h和km/h行驶，行驶方向如图所示。求风速。

例2．一总质量为的卡车拖着一质量为的车厢在水平路面上匀速行驶，已知所受阻力和车重成正比。某时刻，后面所挂车厢脱落，司机维持原有牵引力不变继续行驶了距离后发现车厢脱落，于是关闭发动机，问当卡车停下时候与车厢相距多少距离？

例3．蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心距离成反比。当蚂蚁爬到离巢中心m的A点处时速度是cm/s。试问蚂蚁从A点爬到距离巢中心m的B点需要多少时间？

例4．一些很小的球从竖直对称轴附近，高度处，无初速度情况自由落下。碰到半径为的凹形球面上，小球与球面的碰撞是完全弹性的，试证明在第一次碰撞后，每个小球都落在球面的最低点（小球间不发生碰撞）。

例5．两位小朋友乙和丙，他们打算玩一会旋转木马。乙在半径为的旋转木马上，丙在半径为的旋转木马上。开始时两位小朋友的位置如图所示，考虑到两个木马相互接触并以相同的角速度向同一方向旋转。试问：从乙观察丙的运动有什么特点？

【习题精选】
1． 一架飞机在高度为10 km上空飞行，机上乘客看见太阳升起。试估计在飞机正下方地面上的观察者还要经过多少时间可以看见太阳。

2． 身高的人以的速度在水平面上从路灯的正下方匀速走过，在某一时刻，人的影长为，经过时间，人的影长为，求路灯距地面的高度。

3． 如图所示为两个光滑的斜面，两斜面高度相同，且AB+BC=AC，今让小球分别从斜面（a）中的A点和斜面（b）中的点无初速释放，若不计小球在B点损失的能量，试问哪种情况下，小球滑至斜面底端历时较短？

4． 将光滑细管弯成圆角的长方形，如图所示固定在竖直平面，B角比C角低，从A角同时放进两个小球，一个沿AB，一个沿AC滑到D角，问哪个球先到达D角？

5． 如图所示，一辆小车在轨道MN上行驶的速度可以达到50 km/h，在轨道外的平地上行驶的速度可达到40 km/h，与轨道的垂直距离为30 km/h的B处有一基地，如图所示，问小车从基地B出发到离D点100 km的A处的过程中最短时间需要多少？

6． 快艇系在湖面很大的湖的岸边（湖岸线可认为是直线），突然系艇的绳松脱，风吹着快艇以恒定的速度km/h沿与湖岸成的角漂去。人可沿湖岸以速度km/h行走或在水中以km/h游泳，那么能否追上快艇？当快艇速度最大为多大时人可以追上？

7． 两个物体沿直线相向运动，初速度分别是和，而加速度为和，加速度方向分别与相应的初速度方向相反，要使两物体在运动过程中迎面相遇，试求它们间的最大起始距离。

8． 如图所示，一质点自倾角为的斜面上方O点，沿一光滑斜槽OA下降，如欲使此质点到达斜面所需的时间最短，问斜槽OA与竖直线所成之角度应为何值？

9． 如图所示，在竖直平面内有一半径为的圆环，同一平面内有一点A，由点A到圆环上任一点M连接光滑直线。在重力作用下，一金属小环从A点由静止出发滑到M。问M点位于何处时，滑动所用的时间最短？

10． 如图所示，AOB是一个内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（图中纸面）上，夹角（为了能看清楚，图中夸大了）。一个质点从C处以速度m/s射出，其方向与AO间的夹角，且OC = 10 m。设质点与桌面间的摩擦可以忽略不计。质点与OB面