思科数学第10讲对数与对数函数.doc

第10讲　对数与对数函数

基础梳理
1．对数
(1)对数的概念
如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么，数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数．
(2)常用对数
通常将log10N叫做常用对数，记作lg_N.
自然对数：通常将以无理数e＝2.718 28 …为底的对数叫做自然对数，记作ln_N.
(3)对数的性质
①零和负数没有对数；②loga1＝0(a>0，且a≠1)；
③logaa＝1(a>0，且a≠1)；④alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．⑤logaam＝m(a＞0，a≠1)．
2．对数的运算性质
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(4)logaM＝(c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质

关于对数的底数和真数
从对数的实质看：如果ab＝N(a＞0且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，即b＝logaN.它是知道底数和幂求指数的过程．底数a从定义中已知其大于0且不等式1；N在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的．
对数函数的定义域及单调性
在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域应为{x|x＞0}，对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
双基自测
1．函数y＝的定义域是________．
解析　由题意知，log0.5(4x2－3x)≥0＝log0.51，
由于0＜0.5＜1，所以
从而可得函数的定义域为∪.
答案　∪
2．(2011·泰州市学情调查)若函数f(x)＝
则f(log43)＝________.
解析　f(log43)＝4log43＝3.
答案　3
3．(2011·盐城市检测)已知f(x)＝lg(－x2＋8x－7)在(m，m＋1)上是增函数，则m的取值范围是________．
解析　由－x2＋8x－7＞0，得x2－8x＋7＜0，解得1＜x＜7.又由－x2＋8x－7＝－(x2－8x)－7＝－(x－4)2＋9，得f(x)的增区间为(1,4]，于是有(m，m＋1)⊆(1,4]，所以1≤m≤3.
答案　[1,3]
4．(2011·盐城市检测)已知f(x)＝log3x＋2(x∈[1,9])，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．
解析　∵f(x)＝log3x＋2(x∈[1,9])，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中x满足1≤x≤9且1≤x2≤9.∴1≤x≤3，
∴0≤log3x≤1.
所以y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x＋2)2＋log3x2＋2
＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
所以当x＝3时，ymax＝13.
答案　13
5．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过一定点是________．
答案　(2,2)　　

考向一　对数式的化简与求值
【例1】►(1)计算；
(2)设3a＝4b＝36，求＋的值．
[审题视点] (1)利用对数的运算法则；
(2)将指数转化为对数，利用换底公式即可．
解　(1)＝＝＝1.
(2)由3a＝36,4b＝36得a＝log 336，b＝log436.
由换底公式得：＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
(1)利用换底公式及logamNn＝logaN(a＞0，a≠1，N＞0)，尽量转化为同底的和、差、积、商的运算；
(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算．
【训练1】 计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
解　(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5
＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.
考向二　对数函数图象及其应用
【例2】►已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m＜n且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为________．
[审题视点] 画图象求解，由图可先确定m与n的取值范围．

解析　y＝f(x)＝|log2x|的图象如图所示，于是由0＜m＜n时，f(m)＝f(n)，得0＜m＜1＜n，又由f(m)＝f(n)，得|log2m|＝|log2n|，即－log2m＝log2n，log2(mn)＝0，所以mn＝1.因为0＜m2＜m＜1，且f(x)在(0,1)上单调递减，所以f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝|log2m2|＝－2log＝2，解得m＝，从而n＝2，故m＝，n＝2.
答案　　2
数形结合是解函数问题的基本方法之一，将函数部分项加上绝对值，通过分类讨论或图象法求解往往较为方便．
【训练2】 (2011·泰州学情调查)已知函数f(x)＝|lg x|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．

解析　由题意，知0＜a＜1＜b，于是由|lg a|＝|lg b|，得－lg a＝lg b，所以lg ab＝0，ab＝1，所以a＋2b＝a＋，可判断此函数在(0,1)上为减函数，所以a＋2b＞3.
答案　(3，＋∞)
考向三　对数函数的单调性及其应用
【例3】►(2011·南京模拟)已知f(x)＝loga(a＞0，a≠1)是奇函数．
(1)求m的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
[审题视点] (1)利用奇函数的定义有f(－x)＋f(x)＝0，可求m；(2)可采用导数讨论．
解　(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga＝0对定义域内的任意x恒成立，
∴＝1，
∴(m2－1)x2＝0，m＝±1.
当m＝1时，＝－1，函数无意义，∴m＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝loga，
∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
设t＝g(x)＝＝1＋.
①当a＞1时，f(t)＝logat在(0，＋∞)上为增函数，
g(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上为减函数，
∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上是减函数；
②当0＜a＜1时，f(t)＝logat在(0，＋∞)上为减函数，g(x)在(－ ∞，－1)与(1，＋∞)上为减函数，∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上是增函数．
研究与对数函数有关的复合函数的单调性时，一种方法是利用导数，这时应注意正确地进行求导运算，另一种方法是根据复合函数单调性的判断规则“同增异减”进行判断，对于含有参数的函数，必须进行分类讨论．
【训练3】 已知函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)对任意的x∈[2，＋∞)，恒有|f(x)|≥1成立，则a的取值范围是________．
解析　若0＜a＞1则x∈[2，＋∞)时，f(x)＝logax＞0，所以|f(x)|＝f(x)＝logax在[2，＋∞)上是增函数，因此由|f(x)|≥1对任意x∈[2，＋∞)恒成立，得loga2≥1，解得1＜a≤2.
若0＜a＜1，则x∈[2，＋∞)时，f(x)＝logax＜0，所以|f(x)|＝－f(x)＝－logax在[2，＋∞)上是增函数，因此由|f(x)|≥1对任意x∈[2，＋∞)恒成立，得－loga2≥1，
解得≤a＜1.
综上，得1＜a≤2或≤a＜1.
答案　(1,2]∪　　

难点突破6——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法

指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．
一、与对数函数有关的求值问题
【示例】 (2011·陕西卷)设f(x)＝则f(f(－2))＝________.

二、与对数函数有关的解不等式问题
【示例】 (2011·辽宁卷改编)设函数f(x)＝
则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．