电容放电微分方程.doc

常微分方程知识的应用

1 研究电容器的充电和放电规律，应用一阶微分方程知识
此问题主要出现在机电一体化专业的《电工学》、《电工电子技术》等课程中，主要应用于研究电工电子技术中电容器充电及放电时电容电压Uc、电流 ic、电阻元件的端电压UR分别随时间t的变化规律。所谓电容器是指电学中能储存电荷的装置，电容器是常见的电路元件和电工设备。它的品种和规格很多，但是，就其基本原理而言，都是由两片金属板被绝缘物质隔离而成，并在金属板上引出两根端线。若在电容器二端接上直流电源E，就在金属板上分别聚集等量的正、负电荷Q.当电源撤除之后，电荷仍然积聚在极板上，此时电容器两端有电压Uc.因此，电容器有储存电荷的作用。同时在两极板之间建立电场、并储存电场能量。若电容元件储存的电荷量为Q， 其两端电压为Uc，则Q与Uc之比称为电容元件的电容量C，即C=Q/Uc（F）.电容器能反复的充电与放电，电容器的充电与放电有着重要的实用意义，如电子电路中的滤波电路、振荡电路、微分及积分电路等都是以电容的充、放电为基础进行工作的（如图所示）。
-E
uR
iC
uC
t
i
u
E
t=0
UC
UC
iC
iC
C
C
R
R
UR
UR
(b)
(a)
E
s
2
1
电容放电过程中uC、uR和iC的曲线图

电容的充电电路
s
t=0
UC
iC
C
UR
O
UC
iC
uR
E
i
u
uC、iC和uR的变化曲线
t

〔实例1〕如图所示的RC电路，已知在开关K合上前电容C上没有电荷，电容C两端的电场为零，电源的电动势为E。把开关K合上，电源对电容C充电，电容C上的电压Uc逐渐升高，求电压Uc随时间t变化的规律。
E
K
C
i
R

分析：首先建立微分方程。根据回路电压定律可知，电容C上的电压Uc与电阻R上的电压UR之和等于电源电动势E，即Uc+UR=E.电容充电时，电容上电量Q逐渐增加，根据电容性质，Q与UC有关系式Q=CUC.于是，i=,代入UC+Ri=E中，得到UC（t）所满足的微分方程为RC.然后，求此微分方程的通解与特解，便可得出电容器的充电规律。
解答：（计算过程略）
.
〔实例2〕已知如图所示的RC电路中，电容C的初始电压为U0，当开关K闭合时电容就开始放电，求开关K闭合后电路中的电流强度i的变化规律。

K
C
i
R

解答：（计算过程略）
.
2 研究机械振动现象，应用二阶线性常系数微分方程知识
此问题主要出现在机电一体化专业的《机械设计基础》课程中，主要应用于研究无阻尼简谐振动、阻尼振动、有阻尼强迫振动、共振等现象和规律。在机电工程技术领域中，振动现象比比皆是。例如，机床和刀具在加工时的振动，各种动力机械的振动，控制系统中的自激振动等。随着机械化工业的大力发展，当前不断出现机械振动的新设备和振动新工艺，如振动传输（振动传输机），振动筛选（共筛机），振动研磨，振动抛光，振动沉桩，振动消除内应力等，利用振动原理工作的机械设备，应能产生预期的振动。但是，振动也会给物体带来一定的危害，主要表现为：振动会引起工程结构的变形破坏，会影响精密仪器设备的功能，降低加工精度和光洁度，加剧构件的疲劳和磨损，从而影响机器和结构物的工作性能，并缩短其使用寿命。随着现代化机械结构日益复杂，运转速度日益提高，振动可能造成的危害将更加突出。为此，在机械设计时，必须充分考虑并研究机械的振动现象。
[实例]运用二阶线性微分方程知识，分析、研究阻尼振动现象及特点。
分析：把空气阻力的影响考虑进去。由实验可知，空气阻力F1与物体的运动速度成正比：，其中k1 为比例系数(k1＞0),称为阻尼系数，负号表示阻力与运动方向相反。这时，物体的运动方程为，这是二阶常系数线性齐次方程，其特征方程为，特征根为.然后，分＞0、=0、＜0三种解的情况进行讨论。最后，分析得出阻尼振动现象及特点。
解答：（计算过程略）
当＜0时，、为一对共轭复数，其微分方程的通解为，或改写为.此解含有周期函数，因而物体产生振动，振动角频率.但是随着时间的延续，振幅越来越小，最后位移消失、物体停止振动。这种振幅随时间而减小的振动，称之为阻尼振动。阻尼振动现象在实际应用中很有意义。
3 研究电学中的振荡现象，应用二阶线性常系数微分方程知识
此问题主要出现在机电一体化专业的《电工电子技术》课程中，应用于研究电磁振荡现象和规律。与机械振荡相仿，在有些电路中电荷和电流也会作周期性变化，这称为电磁振荡，能产生电磁振荡的电路称为振荡电路。如图所示的电路，它包括电阻R，电容C，电感L及电动势E=E0cos，则根据电学知识可建立关于电容器上储存的电量Q=Q（ t）的微分方程：
= E0cos (1)
电磁振荡也分为阻尼振荡、受迫振荡、电共振等几种形式。例如共振现象，当方程（1）中电动势的频率等于LRC回路的固有频率时，也会使电路出现共振现象。

C
R
E
Q
L
含有电动势E的LRC回路

[实例]电路由路端电压为V的直流电源、电阻R、自感L和在t=0时接通的开关串联而成，求出电流强度对时间的依赖关系（当t＞0时）。
分析：运用二阶线性常系数微分方程知识求解。
解答：（计算过程略）
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