四川省成都市树德协进20102011高二数学上学期期中考试试题旧人教版 .doc

树德协进中学2010—2011学年度（上）期半期考试高 2012 级 数 学 试 题
（本卷满分：150分，考试时间：120分钟）
第卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若直线的倾斜角为，则等于 （ C ）
A．0 B． C． D．不存在
2． 抛物线y=4x2的准线方程是 （ D ）
A．x=1 B． C．y=－1 D．
3．.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为　 （D ）
　　A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º
4. 点到直线：的距离为最大时，的值为 （ B ）
A．7 B．5 C．3 D．1
5．“点M在曲线上”是“点M到两坐标轴距离相等”的 ( A )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
6．方程表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则的值
依次为 （ B ）
Ａ．2、4、4； Ｂ．-2、4、4； Ｃ．2、-4、4； Ｄ．2、-4、-4
7．已知椭圆的焦点， ，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是 （ C  ）
　　A．      B．　　C．      D．
8．设a,b,c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线
sinA·x+ay+c＝0与bx－sinB·y+sinC＝0的位置关系是 ( C )
9．已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （D ）
A． B． C． D．
10．已知实数x, y满足，则的最小值是 （ B ）
A． B． C． D．2
11．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 （ A ）
A． B． C． D．
12．（理科）E、F是椭圆的左、右焦点，是椭圆的一条准线，点P在上，
则∠EPF的最大值是 （ B ）
A．60° B．30° C．90° D．45°
P
F1
O
F2
x
y
M
30°
）
（文科）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点 F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为 （ C ）
A． B．
C． D．
树德协进中学2010—2011学年度（上）期半期考试
高 2012 级 数 学 试 题
第卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13．点（1，0）关于直线x+y+1=0的对称点是 （ —1，—2） 。
14．若为圆的弦AB的中点, 则直线AB的方程为_ x－y－3=0_.
15．(理科)过抛物线的焦点作直线交抛物线于A(x1, y1), B(x2, y2)，则=_ －4 。
（文科）设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于、两点，又知点恰好为的中点，则的值是 6 .
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P
的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为 ③④ （写出所有真命题的序号）
三、解答题（本大题6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(12分) 一动点到两定点、的距离之差的绝对值等于，求点的轨迹方程。
解：设点，依题意：
∴ ……………… 4分
将方程移项后，两边平方，得：
整理，得：………………………… 8分
两边平方，得：
整理，得： 为所求曲线的方程 …………………………………… 12分
18. (12分) 将直线绕着它与轴的交点按逆时针方向旋转角后，恰好与圆相切，求旋转角的最小值．
解： 因为直线与轴的交点为P（3，0），
又已知圆的圆心C，半径为， ………………………… 4分
显然切线存在斜率，所以设切线方程为，
由圆心到切线的距离等于半径可知，
解得，和 由题设可知应取 …………………………… 8分
由到角公式知，故旋转角的最小值为．……………… 12分
19. (12分) 已知直线
（1）证明直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记△AOB的面积为S，
求S的最小值，并求此时直线的方程。
解：（1）证明:直线的方程化为
由 得
∴直线过定点 ……………………………………… 3分
（2）由（1）知直线过定点，结合图像可得≥0………… 5分
（3）依题意，有，且＞0……………… 7分
∴
≥……………………………10分
当且仅当，即时，
此时，的方程为： …………………………………………12分
O
A
D
C
B
6m
2m
F
y
x
F
20．(12分) 一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段COD和矩形
ABCD的三边组成，拱的顶部O距离水面5m，水面上的矩形的高
度为2m，水面宽6m，如图所示，一艘船运载一个长方体形的集装
箱，此箱平放在船上，已知船宽5m，船面距离水面1．5m，集装箱
的尺寸为长×宽×高=4×3×3(m). 试问此船能否通过此桥？并说
明理由.
解：建立如图所示的坐标系，使抛物线顶点O在坐标原点，对称轴与y轴重合，
设抛物线方程为x2=ay (a<0) …………………………………………………… 2分
由题设条件知C（3，－3）在抛物线上， ∴9=－3a， a=－3，
即抛物线方程为x2=－3y. ………………………………………………… 5分
要使船能顺利通过，应使集装箱最高处E、F关于y轴对称.
于是设F（1.5, y02=－3y0. ……………… 8分
∴y0=－0.75 此时点F距离水面的高度为5－0.75=4.25.
而集装箱高加船高为3+1.5=4.5>4.25，故此船不能通过此桥 …………… 12分
21．(12分)双曲线的右焦点为F，渐近线上一点满足：直线PF与渐近线垂直。 （1）求该双曲线方程；
（2）设A、B为双曲线上两点，若点N（1，2）是线段AB的中点，求直线AB的方程.
解：(1)设半焦距为，则，直线l1的方程为，直线PF的方程为
解方程组 可得，又已知点坐标为
∴ ∴双曲线方程为………………………… 6分
①
②
（2）设A(x1, y1), B(x2, y2)，则有
②－①, 得. ∴
即直线AB的方程为, 即 ………………………… 12分
22. (14分) (理科)如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，
P
D
C
B
M
N
A
x
y
O
M为CD的中点.
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，
使，且P点到A、B 的距离和为定值，
求点P的轨迹E的方程；
（3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，且，求此直线方程.
解：（1）设点M的坐标为M(x, y)(x≠0)，则
又 由AC⊥BD有，
即，∴x2+y2=1（x≠0）. ……………………… 4分
（2）设P（x, y），则，代入M的轨迹方程有
即，∴P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点）.
要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故
∴ 从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0). ………………… 8分
（3）易知l的斜率存在，设方程为
联立9x2+y2=1，有
设P(x1, y1), Q(x2, y2)，则.
∵，而
∴. 整理，得
∴ 即所求l的方程为……………………… 14分
（文科）双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若直线l： x＝与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
　（1）求双曲线C的离心率e的值；
　（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为，求双曲线c的方程．
　　（2）由（1）得双曲线C的方程为把．
　　把代入得．
　　依题意　　∴　，且．
　　∴　双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为
　　∵　．　∴　．
整理得　．∴　或．
∴　双曲线C的方程为：或．……………14分