凸透镜成像的数学模型.doc

“凸透镜成像的数学模型”-------凸透镜数据成像基本原理的探究

简介：本文突破了传统透镜成像作图法的羁绊，改模拟的、近似的定性分析方法为定量的精确的分析方法。通过在坐标系中深入探究 “线段的凸透镜成像”规律, 创建了全新的“凸透镜成像数学模型”。它可精确确定每一像点的位置及“无穷远”的方位。一切物体都可以“凸透镜成像数学模型”绘制出“数据光路图”，得到该物体的凸透镜精确成像。从而为进一步创建“空间物体凸透镜数据成像”奠定基础。
可广泛应用于复合透镜设计与误差分析、精密光学仪器的研究、 制造。并提供可靠数据和理论依据 。
关键词：凸透镜成像数学模型 精确 数据光路图 数据成像

一．目的:
在几何光学的学习中，每当讨论物体的凸透镜成像，必然要使用“透镜成像作图法”。然而实践证明，当两条特征光线接近平行时，用这作图方法根本无法确定交点的位置。另外，实际生活中见到的都是有形状、大小的真实物体，当真实物体从无穷远处经过2f、f移至镜面时，其凸透镜所成之像如何变化？尤其是经过界面f时究竟是如何发散的，能否画出它的影像？
我们的目的就是要找出描绘真实物体凸透镜成像的有效方法 ，精确确定它的位置。
二.方法、步骤:
1.应用“凸透镜成像的基本原理”,也就是体现理想凸透镜光学本质的三条特征光线。
2.思路：
1) 任何复杂物体都可以用相对比较简单的几何图形来“逼近”。例如,球体可用正多面体来逼近。增加它的面数,即可提高它的精度。圆形可用正多边来逼近 · · ·
2） 三维空间的物体可用正投影的方法,先将它投影到平面上。再用平面的凸透镜成像方法确定其三维空间的像的位置。
3) 平面几何图形的凸透镜成像问题可归结为线段的凸透镜成像: 在同一光路图中分别画出组成该几何图形的所有线段的光路图, 即可得到整个几何图形的凸透镜成像。
3. 重点是要借助于数学方法“非线性变换”，实现精确定位 。
三． 凸透镜成像数学模型的建立:
透镜成像作图法误差太大。为精确定位物点（光点）的凸透镜成像位置，我们建立数学模型：
首先，假设透镜为理想透镜。即1. 透镜相对于物体足够大。2. 透镜足够薄，以至于可以认为厚度为零。3.具有凸透镜三条特征光线的基本性质。4.不考虑色散。 将一光点从无穷远S0以平行于光軸的方式移至凸透镜表面Sn，对其成像轨迹进行分析。
建立直角坐标系。把透镜光心放在坐标原点O,光軸与 OX軸重合。参考图1.
设透镜焦距为 f，物点S0的坐标为(X0, Y0) ,X0的范国从负无穷到0;其像点的坐标为(X, Y)。
设像点与光心(即原点)连线的方程为 Y=KX，由通过光心光线的基本性质，
其对应的物点也必在此直线上, 故 K=Y0/X0
所以得连线方程为 Y=Y0*X/X0 (1)
由平行于光轴光线的基本性质，物点凸透镜成像轨迹为过焦点的一直线。 直线斜率为 –Y0/f，截距为Y0。
所以此直线方程为 Y=-Y0*X/f+Y0 (2)
则物点S对应像点S'的位置必须由方程(1)、(2)决定。
解之 …… 得 X=X0*f/(X0+f) (3)
Y=Y0*f/(X0+f) (4)
结论: 对任何物点S，只要已知它的坐标(X0,Y0), 其像的位置（X,Y）便可由公式(3) 、(4)唯一确定

，并精确计算出来。 此结果被称之为 “凸透镜成像数学模型” 。

图1
四．讨论：
1. “凸透镜成像数学模型”公式证明了: 当物点从无穷远S0平移移至镜面Sn时，其像为一“直线”。它 从焦点F’出发，延直线SnF’经S5’、S7’移至无穷远S9’，然后再从直线SnF’的另一端的S9’ 经S11’返还到点Sn 。此“直线”中间断开、两端发散，方程为 Y=-Y0*X/f+Y0。 如图1。

例1: 用公式（3）、（4）计算并分析物点从无穷远移至镜面，其像的坐标位置及大小变化。
1）当物点 S在高度为 Y0的无穷远处S0时,其像 S0' 的位置为
X= X0 * f /(X0+ f) = f /(1+ f /X0)= f (当X0= -∞时, f /X0趋于0)
Y= Y0 * f /(X0+ f) = 0 (当X0= -∞时, Y0* f / (X0+ f)趋于0)
即S0'的坐标为 (f, 0),它的像就是焦点F’。
2) 当物点S在S3 (-4f, Y0)时,
X= -4f * f / (-4f + f) = 4f /3
Y= Y0 * f / (-4f + f) = -Y0/3
像点S3'的坐标为(4f /3, -Y0/3)。若把它看成一蜡烛，其像则为一缩小三倍的倒立实像。
3) 同理可以算得,对物点S5 (-2f, Y0)有像点 S5'(2f, -Y0)。
其像为等高倒立实像。
4) 物点S7 (-3f /2, Y0)有像点S7'(3f, -2Y0)。
为放大二倍的倒立实像。
5) 当物点S在S9 (-f, Y0)时,像点S9'的坐标为
X= -f * f / ( -f + f) = -∞
Y= Y0 * f /( -f + f)= +∞
像点被定位在直线Y=-Y0*X/f +Y0的无穷远“端点”处。
6) 当物点S在S11 (-f /2, Y0)时
X= (-f /2) * f /((- f /2)+ f)= - f
Y= Y0* f / ( (-f /2)+ f) = 2Y0
即像点S11' (-f, 2Y0),为一正立放大二倍的虚像。

通过此例可清晰地看到，物点从无穷远、两倍焦距2f外移至f和小于f时，它的像从一焦点逐渐变为倒立缩小实像、倒立放大实像，至无穷远，然后转化为正立放大虚像的完整过程。
凸透镜成像的数学模型公式(3)、(4)同时也证明了，任何线段的凸透镜成像均为一“直线”。而当线段跨越界面F时，此直线便分裂成两半，发散至无穷。

图2
例2.利用凸透镜成像的数学模型(3)、(4)，精确画出一跨越界面2F的圆，和一跨越界面F的三角形的凸透镜成像。如图2、图3。
只要设定图形拐点坐标，利用公式(3)、(4)计算出对应像点坐标，便可在直角坐标系中精确描绘出它的图像。需要精细的部位，可适当增加几个点。
若使用“EXCEL”或“几何画板”，则数据表和图像可自动生成，更方便、快捷。

图3
2.使用 凸透镜成像的数学模型(3)、 (4)不但可以计算出物像的精确位置, 也可以在已知物点的像的坐标位置时, 寻找到物点的位置。
解方程组(3)、(4)：···
可得
X0 = - X * f /(X- f) (5)
Y0 = - Y * f /(X- f) (6)

3. 用“凸透镜成像的数学模型”验证“高斯定理”：
由图1可见, 此时U=-X0 , V=X, 由公式(3) ,
1/U十1/V=1/(-X0 )十1/X
=1/(-X0)十(X0十f)/(X0* f)
=(- f +X0+ f) /(X0* f)
= X0/(X0* f)
= 1/ f
这就是物距、像距和焦距之间的经典凸透镜成像关系式“高斯定理”

4. 在空间直角坐标系中，若置透镜于OYZ平面，光轴与OX轴重合。用建立平面凸透镜成像数学模型类似的方法，可得空间物体凸透镜成像的数学模型。便可在空间直角坐标系中精确绘出空间物体的凸透镜成像。

五.结论:
1.本文突破了传统透镜成像作图法的羁绊，通过在坐标系中深入探究 “线段的凸透镜成像”规律,创建了全新的“凸透镜成像数学模型”。它可精确确定每一像点的位置及“无穷远”的方位。一切物体都可以此“凸透镜成像数学模型”绘制出“数据光路图”，得到该物体的凸透镜精确成像。从而为进一步创建“空间物体凸透镜数据成像”奠定基础。
2. 本文所建立的凸透镜成像数学模型由于能精确地计算出物体像的位置, 可广泛应用于透镜设计与误差分析、精密光学仪器的研究、 制造，并提供可靠数据和理论依据 。
3.此方法同样适用于其它各类透镜、反射镜等，也可推广到三维空间。

参考文献

1. 林虎 《例谈凸透镜成像问题中的数学技巧》
《中学物理教学参考》 JUN．2007 V01．36 NO．6
2. 郑凯元 《用数学原理解释凸透镜成像规律》
《发明与创新》 2013.10. 25
3. 王家伟  《巧用数学法解凸透镜成像问题》
《中学物理》  2013, 31(8):89-89