7.3--二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教学文案.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,柯桥中学高三数学组 何利民,第七编 不等式,7.4 二元一次不等式(组)与,简单的线性规划问题,在平面直角坐标系中，不等式,A,x,+B,y,+C 0,表示在直线：,A,x,+B,y,+C=0,的某一侧的平面区域,1.二元一次不等式表示平面区域,x,y,o,A,x,+B,y,+C=0,(1),结论,：二元一次不等式A,x,+B,y,+C0 在平面直角坐标系中表示直线A,x,+B,y,+C=0某一侧所有点组成的平面区域。,(2),判断方法,：由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧,取一个特殊点(,x,0,y,0,),，从A,x,0,+B,y,0,+C的,正负,可以判断出A,x,+B,y,+C0表示哪一侧的区域。,一般在C0时，,取,原点,作为特殊点,。,应该注意的几个问题：,1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，否则应画成实线。,2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。,2.简单的线性规划,有关概念,由,x，y,的不等式(或方程)组成的不等式组称为,x，y,的,约束条件,。,关于,x，y,的一次不等式或方程组成的不等式组称为,x，y,的,线性约束条件,。,欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称为,目标函数,。,关于x，y 的一次目标函数称为,线性目标函数,。,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为,线性规划问题,。,满足线性约束条件的解（x，y）称为,可行解,。,所有可行解组成的集合称为,可行域,。,使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为,最优解,。,解线性规划问题的步骤：,（2）,移,：在线性目标函数所表示的一组平行,线中，利用平移的方法找出与可行域有公共,点且纵截距最大或最小的直线；,（3）,求,：通过解方程组求出最优解；,（4）,答,：作出答案。,（1）,画,：画出线性约束条件所表示的可行域；,基础自测,1.下列各点中,不在,x,+,y,-10表示的平面区域的,是 （）,A.（0，0）B.（-1，1）,C.（-1，3）D.（2，-3）,C,2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2,x,+,y,+,m,=0的两侧，则,m,的取值范围是 （）,A.,m,10 B.,m,=-5或,m,=10,C.-5,m,0,）仅在点(3,0)处取得最大值，则,a,的取值范围为,。,题型三 线性规划的简单应用,【,例3,】,某公司仓库,A,存有货物12吨，仓库,B,存有货物,8吨,现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、,丙三个商店.从仓库,A,运货物到商店甲、乙、丙,每吨,货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库,B,运货到,商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、,5元.问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库,运货物到三个商店的总运费最少？,由于题目中量比较多，所以最好通过列,出表格以便清晰地展现题目中的条件.,设出仓库,A,运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商,店的货物吨数，列出可行域，即可求解.,思维启迪,解,将已知数据列成下表：,设仓库,A,运给甲、乙商店的货物分别为,x,吨，,y,吨，,则仓库,A,运给丙商店的货物为(12-,x,-,y,）吨,从而仓库,B,运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-,x,)吨、(8-,y,),吨、5-(12-,x,-,y,)=(,x,+,y,-7)吨,于是总运费为,z,=8,x,+6,y,+9(12-,x,-,y,)+3(7-,x,)+4(8-,y,)+5(,x,+,y,-7),=,x,-2,y,+126.,甲,乙,丙,A,8,6,9,B,3,4,5,商店,仓库,每,吨,运,费,线性约束条件为,目标函数为,z,=,x,-2,y,+126.,作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中,阴影部分所示.,作出直线,l,:,x,-2,y,=0,把直线,l,平行移动,显然当直线,l,移,动到过点(0,8)时,在可行域内，,z,=,x,-2,y,+126取得最小,值,z,min,=0-28+126=110,即,x,=0,y,=8时总运费最少.,安排的调运方案如下:仓库,A,运给甲、乙、丙商店的货,物分别为0吨、8吨、4吨，仓库,B,运给甲、乙、丙商店,的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓,库运货物到三个商店的总运费最少.,解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分,析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函,数:(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答.,探究提高,知能迁移3,（2009四川，10）,某企业生产甲、乙,两种产品,已知生产每吨甲产品要用,A,原料3吨、,B,原,料2吨；生产每吨乙产品要用,A,原料1吨、,B,原料3吨.,销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可,获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗,A,原,料不超过13吨、,B,原料不超过18吨,那么该企业可获,得的最大利润是 （）,A.12万元 B.20万元,C.25万元 D.27万元,解析,设生产甲产品,x,吨、乙产品,y,吨，,则获得的利润为,z,=5,x,+3,y,.,由题意得,可行域如图阴影所示.,由图可知当,x,、,y,在,A,点取值时，,z,取得最大值，,此时,x,=3，,y,=4,z,=53+34=27(万元).,答案,D,题型四 线性规划的综合应用,【,例4,】,（12分）实数,x,y,满足,（1）若 求,z,的最大值和最小值，并求,z,的取值,范围；,（2）若,z,=,x,2,+,y,2,，求,z,的最大值与最小值,并求,z,的取值,范围.,(1)表示的是区域内的点与原点,连线的斜率.故 的最值问题即为直线的斜率的,最大值与最小值.（2）,z,=,x,2,+,y,2,的最值表示的是区域,内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值.,思维启迪,解,作出可行域如,图阴影部分所示.,表示可行域内任一点与,坐标原点连线的斜率，4分,因此 的范围为直线,OB,的斜率到直线,OA,的斜率,(,OA,斜率不存在）.,z,max,不存在，,z,min,=2,z,的取值范围是2，+）.7分,解题示范,(2),z,=,x,2,+,y,2,表示可行域内的任意一点与坐标原点的两,点间距离的平方.9分,因此,x,2,+,y,2,的范围最小为|,OA,|,2,（取不到），最大为,|,OB,|,2,.,由 得,A,(0，1)，,|,OA,|,2,=0,2,+1,2,=1，|,OB,|,2,=1,2,+2,2,=5.,z,max,=5，,z,无最小值.,故,z,的取值范围是（1，5.12分,探究提高,本例与常规线性规划不同，主要是目标函,数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意,义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：,(1),表示点（,x,y,）与原点（0，0）的距离;,表示点（,x,y,）与（,a,b,）的距离.,(2)表示点(,x,，,y,)与原点(0，0)连线的斜率;,表示点(,x,，,y,)与点(,a,，,b,)连线的斜率.,理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键.,1.平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与半平,面的对应性.对于,A,0的直线,l,：,Ax,+,By,+,C,=0，,Ax,+,By,+,C,0对应直线,l,右侧的平面；,Ax,+,By,+,C,0,当,A,0时表示直线,l,:,Ax,+,By,+,C,=0右侧的平面；当,A,0时，截距 取最大值时，,z,也取,最大值；截距 取最小值时，,z,也取最小值；当,b,-1,S,ABC,=|,a,+1|=2,a,=3.,答案,D,2.,(2009安徽理,7),若不等式组 所表示,的平面区域被直线 分为面积相等的两部,分，则,k,的值是 (),解析,不等式组表示的平面区域如图所示.,由于直线,y,=,kx,+过定点,因此只有直线过,AB,中点时,直线,y,=,kx,+能平分平面区域.,因为,A,(1,1),B,(0,4),所以,AB,中点,答案,A,3.若实数,x,y,满足条件 目标函数,z,=2,x,-,y,则 （）,A.,z,max,=B.,z,max,=-1,C.,z,max,=2 D.,z,min,=0,解析,如图所示，当,z,=2,x,-,y,过 时,C,4.已知点,P,（,x,y,）满足 点,Q,(,x,y,)在,圆(,x,+2),2,+(,y,+2),2,=1上,则|,PQ,|的最大值与最小值为,（）,A.6,3 B.6,2 C.5,3 D.5,2,解析,可行域如图阴影部分,设|,PQ,|=,d,，则由图中圆心,C,(-2,-2)到直线4,x,+3,y,-1=0的,距离最小,则到点,A,距离最大.,得,A,（-2，3）.,d,max,=|,CA,|+1=5+1=6，,B,5.,（2009湖北理，8）,在“家电下乡”活动中，某,厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货,车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用,400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用,300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则,该厂所花的最少运输费用为 （）,A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元,解析,设需甲型货车,x,辆，乙型货车,y,辆，由题意知,作出其可行域如图所示，,可知目标函数,z,=400,x,+300,y,在点,A,处取最小值，,z,min,=4004+3002=2 200(元).,答案,B,6.,(2008海南、宁夏文,10),点,P,(,x,y,)在直线4,x,+3,y,=0,上,且,x,y,满足-14,x,-,y,7,则点,P,到坐标原点的距离,的取值范围是 （）,A.0,5 B.0,10,C.5,10 D.5,15,解析,如图所示，可知直线,4,x,+3,y,=0分别与直线,x,-,y,=-14,x,-,y,=7,的交点为,P,1,(-6,8)，,P,2,(,3，-4)，,易知|,OP,1,|=10,|,OP,2,|=5.,故|,OP,|的取值范围为0，10.,B,二、填空题,7.,（2009陕西文，14）,设,x,y,满足约束条件,则,z,=,x,+2,y,的最小值是_,最大值是_.,解析,如图所示，由题意得,A,（3，4）.由图可以看,出，直线,x,+2,y,=,z,过点（1，0）时，,z,min,=1,过点(3,4),时,z,max,=3+24=11.,1,11,8.,（2009山东文,16）,某公司租赁甲、乙两种设备,生产,A,，,B,两类产品，甲种设备每天能生产,A,类产品5,件和,B,类产品10件,乙种设备每天能生产,A,类产品6件,和,B,类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产,A,类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为,_元.,解析,设需租赁甲种设备,x,台，乙种设备,y,台，,目标函数为,z,=200,x,+300,y,.,作出其可行域，易知当,x,=4,y,=5时，,z,=200,x,+300,y,有最,小值2 300元.,答案,2 300,9.已知实数,x,y,满足不等式组 目标函数,z,=,y,-,ax,(,a,R,).若取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数,a,的取值范围是_.,解析,如图所示，依题意直,线,x,+,y,-4=0与,x,-,y,+2=0交于,A,(1,3),此时取最大值，,故,a,1.,(1,+),三、解答题,10.若,a,0,b,0,且当 时，恒有,ax,+,by,1,求以,a,b,为坐标的点,P,(,a,b,)所形成的平面区域的面积.,解,作出线性约束条件,对应的可行域如图所示，,在此条件下，要使,ax,+,by,1恒成立,只要,ax,+,by,的最大,值不超过1即可.,令,z,=,ax,+,by,则,因为,a,0,b,0,此时对应的可行域如图，,所以以,a,b,为坐标的点,P,（,a,b,）所形成的面积为1.,11.,A,、,B,两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨,而,D,、,E,、,F,三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每,千吨的运价如下表.怎样确定调运方案,使总的运费,为最小？,解,设从,A,到,D,运,x,千吨,则从,B,到,D,运(8-,x,)千吨;,从,A,到,E,运,y,千吨,则从,B,到,E,运(6-,y,)千吨;,从,A,到,F,运(12-,x,-,y,)千吨,从,B,到,F,运(,x,+,y,-6)千吨,运价(万元/千吨),到,D,到,E,到,F,从,A,4,5,6,从,B,5,2,4,则线性约束条件为,线性目标函数为,z,=4,x,+5,y,+6(12-,x,-,y,)+5(8-,x,)+2(6-,y,)+,4(,x,+,y,-6)=-3,x,+,y,+100,作出可行域，可观察出目标函数在(8，0)点取到最小,值，即从,A,到,D,运8千吨，从,B,到,E,运6千吨，从,A,到,F,运,4千吨，从,B,到,F,运2千吨，可使总的运费最少.,12.在,R,上可导的函数,当,x,(0,1)时取得极大值,当,x,(1,2)时取得极小值,求点(,a,b,)对应的区域的面积以及 的取值范围.,解,函数,f,(,x,)的导数为,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+2,b,当,x,(0,1),时,f,(,x,)取得极大值,当,x,(1,2)时,f,(,x,)取得极小值,则方程,x,2,+,ax,+2,b,=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,2,b,的图象与方程,x,2,+,ax,+2,b,=0根的分布之间的关系可,以得到,在,aOb,平面内作出满足约束条件的,点(,a,b,)对应的区域为,ABD,(不包,括边界),如图阴影部分,其中点,A,(-3,1),B,(-1,0),D,(-2,0),ABD,的面积为,(,h,为点,A,到,a,轴的距离).,点,C,(1,2)与点(,a,b,)连线的斜率为,返回,